等差数列的前n项和教案3

等差数列的前n项和教案3

‎“等差数列的前n项和”教案、教案说明及点评 教案 一、教材分析 ‎● 教学内容 ‎《等差数列前n项和》现行高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。 ‎ ‎● 地位与作用 ‎ 本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。 ‎ 二、学情分析 ‎ ‎● 知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。‎ ‎● 认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。‎ ‎● 任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。‎ 三、目标分析 ‎1、教学目标 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：‎ ‎● 知识技能 ‎ (1)掌握等差数列前n项和公式;‎ ‎ (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程;‎ ‎ (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。‎ ‎● 数学思考 (1) 通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；‎ (2) 通过公式的运用体会方程的思想；‎ (3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。‎ ‎● 解决问题 创设由探索1+2+3+……+100的和,推广到探索一般的等差数列前n项和的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法, 并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。 ‎ ‎● 情感态度 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。‎ ‎2、教学重点、难点 ‎　● 重点 等差数列前n项和公式的推导和应用。‎ ‎● 难点 ‎ 等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。‎ 9‎ ‎● 重、难点解决的方法策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。‎ 四、教学模式与教法、学法 本课采用“探究——发现”教学模式。‎ 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。‎ ‎ 学生的学法突出探究、发现与交流。‎ 五、过程设计 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下： ‎ 公式应用与 议练活动（1）‎ ‎（5分钟）‎ 探究等差数列 前n项和公式 ‎（18分钟）‎ 创设情景 提出问题 ‎（2分钟）‎ ‎ ‎ 图片欣赏 数形结合 新课引入 类比化归 ‎ ‎ ‎ 前后呼应 公式应用 公式应用与 议练活动（2）‎ ‎（9分钟）‎ ‎ ‎ 归纳总结 ‎（2分钟）‎ 公式的认识与理解 ‎（4分钟）‎ ‎ 前后呼应 知识回顾 五、教学过程 教学 环节 教 师 活 动 ‎ ‎ 学 生 活 动 活 动 说 明 新课引入 创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？‎ 问题2：何老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2007年1月，我第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2007年1月银行贷款利率为基准利率,那么到2026年12月最后一次还款为止，何老师连本带利一共还款多少万元？‎ 现实模型： ‎ ① 图片欣赏 ‎② 生活实例 模 型 直 观 用实际生活引入新课。‎ 首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？‎ 设等差数列{}前n项和为 ,则 ‎ 学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050‎ 学生 9‎ 探 索 公 式 探 索 公 式 问题1‎ 老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？‎ 老师：但是否刚好配对成功呢？‎ （1） n为偶数时：‎ ‎ ‎ （2） n为奇数时：‎ 老师：那么该如何解决落单的呢？‎ 同过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式：‎ 但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？ ‎ 问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？‎ 方法一：‎ 两式相加得：‎ ‎：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于 。‎ 学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。‎ 当n为偶数时刚好配对成功。‎ ‎ 当n为奇数时，中间的一项落单了。‎ ‎（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。）‎ 学生：观察的脚标与 ‎ ‎ 脚标的关系，即：‎ ‎ 学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。‎ ‎ ‎ ‎（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）‎ ‎ 学生：利用倒序相加求和法。‎ 高斯求和众所周知，学生能快速解答。‎ ‎ 这里用到了等差数列脚标和性质 ‎ 从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。‎ 对中间项的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。‎ 9‎ 议 练 活 动 认 方法二 同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：‎ 两式相加得：‎ 引导学生带入等差数列的通项公式，换掉 整理得到公式2。‎ 例1：计算 ‎　（1）1+2+3+…+n ‎　（2）1+3+5+…+(2n-1)‎ ‎　（3）2+4+6+…+2n ‎ （4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n ‎ 教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释。‎ 变式练习：课前提出的房贷问题。‎ 解:由已知每月还款数成等差数列,设为：‎ 问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？‎ ‎ 教师提示将求和公式与梯形建立联系。‎ 将中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。‎ 学生类比方法一与方法二的联系与区别。‎ 学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式。‎ ‎ 观察多媒体课件演示。‎ 学生：要求总还款额实际就是对一个等差数列求和。‎ 学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。‎ 倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。‎ 在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程 通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活 9‎ 识 公 式 认 识 公 式 议 练 活 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ n 剖析公式：‎ ‎ ‎ 教师提示，从方程中量的关系入手。‎ 例2 等差数列-10，-6，-2，2， …前多少项的和为54？‎ ‎ 解：设题中的等差数列是，前n项和为：‎ ‎ 则＝－10，d＝－6－（－10）＝4 ‎ 学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。‎ ‎．‎ 学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。‎ 利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。‎ 例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。‎ 9‎ 动 课 ‎ ‎ 堂 总 结 ‎ 令＝54，由等差数列前n项和公式，得：‎ ‎ 解得 ＝9，＝－3（舍去）‎ 因此,等差数列的前9项和是 54 ‎ 例3： ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ 本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成。‎ ‎1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．‎ ‎2、课后作业：‎ 教材118页：1、2、3、5、6、7‎ ‎ 课后思考：‎ ‎ 等差数列的前n项和的求和方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?‎ ‎3、对求和史的了解 ‎ 我国数列求和的概念起源很早，在北 朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“‎ 学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但发现条件不够，不能解出这些基本量，教师做适当的引导。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．‎ ‎（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.‎ ‎（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.‎ ‎（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。‎ ‎ ‎ ‎ 了解我国古代研究等差数列求和的情况。‎ 紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。‎ 通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。‎ 9‎ 并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。”‎ 板书设计：‎ ‎§3.3 等差数列前n项和 和和 一、等差数列前n项和 二、公式的推导 方法1：‎ 方法2：‎ 方法3：‎ 三、剖析公式：‎ 公式1：‎ 公式2：‎ ‎ ‎ ‎ (主板书) ‎ 四、例题及解答 ‎ (副板书)‎ 议练活动 ‎ (辅助性板书)‎ 六、教学反思 根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下五点反思：‎ ‎（1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。‎ ‎（2）本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。‎ ‎（3）由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。‎ ‎（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。‎ ‎（5）目标达成 ‎ 本课注重在课堂教学活动中实现目标。‎ ‎ 提出实际问题 知识与技能目标1‎ ‎ 例题讲解 知识与技能目标2‎ ‎ 深化理解 知识与技能目标3‎ ‎ 活动参与 过程与方法目标 ‎ 感悟数学史 情感与价值目标 教案说明 9‎ 本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，学情分析，目标分析，教学方法，过程设计和教学反思。设计反映了等差数列求和公式推导过程中数学思想方法——倒序相加法的生成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节。以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从六个环节进行具体的设计。下面从如下几个方面进行详细说明。‎ 一、教学内容的数学本质及教学目标定位 等差数列前n项和 ，这是教材给出的前n项和的定义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课要推导的等差数列的前n项和的数学本质是寻求与n的一个函数关系式，如果这个关系式能够用解析式来表达，那么我们就完全把握了这个求和公式。本节课是等差数列的前n项和的第一课时，从知识点来说，掌握求和公式对没个学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中渗透倒序相加求和的思想方法，因此，依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，我首先对学情进行了具体分析，并结合学情分析，制定了本节课的教学目标。‎ 首先，高一学生已学习了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特 殊的数列求和，并且高一学生的抽象逻辑推理能力基本形成，抽象辩证，逻辑推论能力开始产生，能在教师的引导下独立地解决问题。另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生有些粗心，处理抽象问题的能力还有待进一步提高．‎ 于是，结合以上的学情分析，我从 “知识技能”、“数学思考”、“解决问题”和“情感态度”设定目标。其中知识技能目标是：(1)理解等差数列前n项和的概念意义与公式意义的区别与联系;(2)掌握等差数列的前n项和公式的推导过程;(3)会灵活运用等差数列的前n项和公式. “数学思考”则是：(1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学思想.(2)通过公式的运用体会方程的思想. (3)通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．以此来解决如何推导等差数列前n项和的问题。并且从过程渗透了本课的情感态度目标：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。以上是对教学目标定位的说明。 ‎ 二、学习基础及作用 本节内容是现行高中教材第三章第三节的第一课时，本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用． ‎ 对求和公式的认识中，将公式1与公式2与梯形的面积公式建立了联系，同时也回顾了以往推导梯形面积公式的方法，同样用到了倒序的思想，前后呼应。‎ 三、教学诊断分析 ‎1、根据教学经验及学生反馈的信息，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于如何在推导等差数列前n项和的过程中渗透倒序相加的思想方法，这就意味着如何自然地给出倒序相加求和法，是本课设计环节中的一个重点内容。我首先让学生回顾高斯求和法，学生容易进行类比，将首末两项进行配对，但很快遇到问题，即奇偶项数的数列要分别进行讨论，于是这里引导学生观察脚标的特点，从而突破这一难点。但此法不是最好方法，为了实现这一创造过程的自然，设计中联想到堆木料的例子，引导学生实现从一个数列“配对”的方法发展到两个数列的“配对”，接下来的分析和应用也就水到渠成。‎ 9‎ ‎2、在对公式的认识中，学生不容易想到将两个公式与梯形面积公式建立联系，此时教师可做适当的提示，一旦给出提示后，学生便能迅速找到二者的关系。认识过程中再次强调倒序相加的思想方法。‎ ‎3、由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。‎ ‎4、本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。‎ 四、教法特点及预期效果分析 根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”教学模式．引导学生在活动中进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导， 学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。 ‎ 根据学生具体情况，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究的课堂气氛。2、掌握求和公式的方法特点，并能从梯形面积的角度认识公式。3 、提高学生类比化归，数形结合的能力。由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标。‎ 点评 本课从实际问题出发，很自然地引出课题，充分利用多媒体技术，调动了学生主动参与自主探究的的积极性，在教师主导下推导出了等差数列求和公式，并恰当地进行了公式的初步应用且赋予几何解释，很好地完成了数学目标。从而显示出教师具有较高地驾驭教材的能力。‎ 教案说明中将数学目标定为会灵活运用求和公式有些偏高，因为这只是求和公式的第一节课，定为简单运用比较妥当。而求和公式的推导应该是本节课首要的重点。‎ 引入新课中小高斯求1+2+3+…+100和的经典范例似乎在公式推导中起到负迁移作用，学生模仿小高斯求S= a1+a2+a3+…+an时，不得不分n为奇数、偶数引来麻烦。何不将小高斯求和的例子延伸为求S=1+2+3+…+100+101，让同学去求。如果在复习提问中再增加三角形面积公式、梯形面积公式是如何推导出的，就可为本课中所用的倒序相加法作铺垫。我们不能局限于“复制”小高斯，更应为培养出创新人才——新型的高斯而努力。‎ 9‎