高中数学（人教A版）必修4综合测试题（含详解）
本册综合测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( )
A．sin B．cos
C．tan D．cos2α
解析 ∵2kπ－<α<2kπ(k∈Z)，
∴kπ－<
0，
∴∠A为锐角．
∴sinA＋cosA>0.
∴sinA＋cosA＝.
答案 A
8．若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，且a与b的夹角为30°，则a·b的值为( )
A. B.
C. D．2
解析 a·b＝|a||b|cos30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝2sin60°＝.
答案 C
9．已知＝2，则sinxcosx等于( )
A. B．±
C．－ D.
解析 由＝2，得sinx＋cosx＝2(sinx－cosx)，
两边平方，得1＋2sinxcosx＝4(1－2sinxcosx)，
∴sinxcosx＝.
答案 D
10．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(x∈R)，其中ω>0，－π<φ≤π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
解析 ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝.∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)．∵－π<φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，由函数图像，易得在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没有单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数，故选A.
答案 A
11.
已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图像如图，则f＝( )
A．2＋ B.
C. D．2－
解析 由图像可知此正切函数的半周期等于－＝π，故函数的周期为，所以ω＝2.从题中可以知道，图像过定点，所以0＝Atan，即π＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，再由图像过定点(0,1)，所以A＝1，综上可知f(x)＝tan，故有f＝tan＝tan＝.
答案 B
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
解析 根据题意，可知若a与b共线，可得mq＝np，∴a⊙b＝mq－np＝0，∴A正确．∵a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不等，∴B错误．对于任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，∴C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，∴D正确．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．设a＝(log2x,2)，b＝(1，－1)，a⊥b，则x＝______.
解析 a⊥b⇒a·b＝0⇒log2x－2＝0，∴x＝4.
答案 4
14．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
解析 在▱ABCD中，＝，
∴－＝－.
∴＝＋－
＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)
＝(0，－2)，
即D点的坐标为(0，－2)．
答案 (0，－2)
15．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)，在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.
解析 观察易知T＝－－(－π)＝，
∴＝，又ω>0，∴ω＝3.
答案 3
16．对于函数f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，h(x)＝x＋，有如下四个命题：
①f(x)－g(x)的最大值为；
②f[h(x)]在区间上是增函数；
③g[f(x)]是最小正周期为2π的周期函数；
④将f(x)的图像向右平移个单位可得g(x)的图像．
其中真命题的序号是________．
解析 f(x)－g(x)＝sinx－cosx＝sin(x－)≤，故①为真命题；当x∈时，函数f[h(x)]＝sin为增函数，故②为真命题；函数g[f(x)]＝cos(sinx)的最小正周期为π，故③为假命题；将函数f(x)的图像向左平移个单位可得g(x)的图像，故④为假命题．
答案 ①②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)求函数f(x)的零点的集合．
解 (1)∵f(x)＝sin2x－2sin2x
＝sin2x－(1－cos2x)
＝2－1
＝2sin(2x＋)－1，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值1.
(2)解法1：由(1)及f(x)＝0，得sin＝，
∴2x＋＝2kπ＋，或2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ，或x＝kπ＋(k∈Z)．故函数f(x)的零点集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋，k∈Z}．
解法2：由f(x)＝0，得2sinxcosx＝2sin2x，于是sinx＝0，或tanx＝.由sinx＝0，得x＝
kπ(k∈Z)；由tanx＝，得x＝kπ＋(k∈Z)．
故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋，k∈Z}．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋)－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图像．
解 (1)f(x)＝2cosx－
＝2cosx－
＝sin2x＋(1＋cos2x)－
＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
f(x)
0
1
0
－1
0
描点连线，如图所示．
19．(12分)已知向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解 (1)若a⊥b，则
a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝2x＋3－x2＝0.
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1，或x＝3.
(2)若a∥b，则有
1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，
解得x＝0，或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|
＝＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|
＝＝2.
20．(12分)设α，β为锐角，且a＝(sinα，－cosα)，
b＝(－cosβ，sinβ)．a＋b＝.求cos(α＋β)．
解 由a＝(sinα，－cosα)，b＝(－cosβ，sinβ)，
得a＋b＝(sinα－cosβ，－cosα＋sinβ)．
又a＋b＝，∴
二式平方相加，得
2－2sin(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝.
又α，β为锐角，且sinα>cosβ，∴sinα>sin，
∴α>－β⇒<α＋β<π.
∴cos(α＋β)＝－＝－.
21．(12分)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋2cos2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin2x的图像经过怎样的变换得到？
解 (1)f(x)＝＋sin2x＋(1＋cos2x)
＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)先把y＝sin2x图像上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再把所得图像上所有的点向上平移个单位长度，就得到y＝sin＋的图像．
22．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．
解 (1)∵a⊥b，
∴sinθ×1＋(－2)cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.
∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝.
∵θ∈，∴cosθ＝，sinθ＝.
(2)解法1：由sin(θ－φ)＝有
sinθcosφ－cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ－，
∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2cosφ＋＝1
⇒5cos2φ－2cosφ－＝0，
解得cosφ＝，或cosφ＝－.
∵0<φ<，∴cosφ＝.
解法2：∵0<θ，φ<，∴－<θ－φ<.
∴cos(θ－φ)＝＝.
故cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]
＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)
＝×＋×＝.
