2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十二）

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十二）

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十二）‎ ‎17．（本小题满分12分）设数列的前项和满足，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）由已知，有，‎ 即，从而，，‎ 又因为，，成等差数列，即，‎ 所以，解得，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故．‎ ‎（2）设的前n项和为，则．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知．‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）在中，为锐角且，边上的中线，，求．‎ ‎【答案】（1）由题可知，‎ 令，，‎ 即函数的单调递增区间为，．‎ ‎（2）由，所以，解得或（舍），‎ 以、为邻边作平行四边形，因为，‎ 所以，在中，，，‎ 由正弦定理可得，解得且，‎ 因此．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设．‎ ‎（1）若点的坐标为，且的周长为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）因为，为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，‎ 所以，‎ 从而的周长为．‎ 由题意，得，解得．‎ 因为点的坐标为，‎ 所以，解得．‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）因为轴，且在轴上方，故设，．设．‎ 因为在椭圆上，所以，解得，即．‎ 因为，所以，．‎ 由，得，，‎ 解得，，‎ 所以．‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 即，．‎ 因为，所以，从而．‎ 因为，所以，即．‎ 所以的取值范围是．‎ ‎20．（本小题满分12分）设函数，．‎ ‎（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）因为，所以，‎ 令，得，此时，‎ 则点到直线的距离为，‎ 即，解得（负值舍去）．‎ ‎（2）设，‎ 则．‎ 所以当时，；当时，．‎ 因此时，取得最小值，‎ 则与的图象在处有公共点．‎ 设与存在“分界线”，‎ 方程为，即，‎ 由在上恒成立，‎ 则在上恒成立．‎ 所以成立，因此．‎ 下面证明恒成立．‎ 设，则．‎ 所以当时，；当时，．‎ 因此时，取得最大值，‎ 则成立．‎ 故所求“分界线”方程为．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）令，讨论的单调区间；‎ ‎（2）若，正实数，满足，证明．‎ ‎【答案】（1），‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，即在单调递增，‎ 当时，，令，得，‎ 所以当时，，单调递增，‎ 所以当时，，单调递减，‎ 综上，当时，函数单调递增区间为，无递减区间；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）当时，，，‎ 由可得 即，‎ 令，，则，‎ 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以，所以，‎ 又，故．‎