2020高中数学 第一章四种命题间的相互关系

2020高中数学 第一章四种命题间的相互关系

‎1.1.2　‎四种命题 ‎ ‎1.1.3　‎四种命题间的相互关系 学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．四种命题的概念及表示形式 名称 定义 表示形式 互逆 命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.‎ 原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”‎ 互否 命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题 原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”‎ 互为 逆否 命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题 原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”‎ ‎2.四种命题间的相互关系 ‎(1)四种命题之间的关系 ‎(2)四种命题间的真假关系 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：‎ 7‎ ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ 思考：(1)“a＝b＝c＝‎0”‎的否定是什么？‎ ‎(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？‎ ‎[提示]　(1)“a＝b＝c＝‎0”‎的否定是“a，b，c至少有一个不等于‎0”‎．‎ ‎(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”． (　　)‎ ‎(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题． (　　)‎ ‎(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√‎ ‎2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是(　　)‎ A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”‎ B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”‎ C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”‎ D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”‎ B　[根据逆命题的定义知，选B.]‎ ‎3．命题“若m＝10，则m2＝‎100”‎与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(　　) ‎ ‎【导学号：97792008】‎ A．原命题、否命题　　　 B．原命题、逆命题 C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题 C　[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 四种命题 ‎　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．‎ ‎(1)相似三角形对应的角相等；‎ ‎(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；‎ ‎(3)正方形的对角线互相平分．‎ ‎[解]　(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；‎ 逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；‎ 7‎ 否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；‎ 逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．‎ ‎(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；‎ 逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；‎ 否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；‎ 逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.‎ ‎(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；‎ 逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；‎ 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；‎ 逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．‎ ‎[规律方法]　1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法 ‎(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．‎ ‎(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．‎ ‎2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：‎ 原词语 等于(＝)‎ 大于(>)‎ 小于(<)‎ 是 都是 至多有一个 否定 词语 不等于(≠)‎ 不大于(≤)‎ 不小于(≥)‎ 不是 不都是 至少有两个 原词语 至少有一个 至多有n个 任意的 任意两个 所有的 能 否定 词语 一个也 没有 至少有 ‎(n＋1)个 某一个 ‎(确定的)‎ 某两个 某些 不能 ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是(　　) ‎ ‎【导学号：97792009】‎ A．若y≠kx，则x与y成正比例关系 B．若y≠kx，则x与y成反比例关系 C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系 D　[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.]‎ ‎(2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．‎ 若a，b至少有一个为零，则ab＝0　[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝‎ 7‎ ‎0”‎‎．]‎ 四种命题的关系及真假判断 ‎　(1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc‎2”‎，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为(　　)‎ A．0个　　B．1个　　　C．2个　　D．4个 ‎(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．‎ ‎[思路探究]　(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．‎ ‎(2)思路一　→ 思路二　 ‎→→ ‎[解析]　(1)当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎(2)法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.‎ ‎∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋‎4a<0，解得a<－<0，‎ ‎∴原命题的逆否命题为真命题．‎ 法二：∵a≥0，∴‎4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋‎4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．‎ ‎∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．‎ ‎[规律方法]　判断命题真假的方法 (1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.‎ (2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．‎ ‎(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；‎ ‎(2)“若x>y，则x2>y‎2”‎的逆否命题；‎ ‎(3)“若x≤3，则x2－x－6>‎0”‎的否命题；‎ ‎(4)“对顶角相等”的逆命题．‎ ‎[解]　(1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y 7‎ 互为相反数，则x＋y＝‎0”‎，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．‎ ‎(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2y，则x2>y‎2”‎是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y‎2”‎的逆否命题也是假命题．‎ ‎(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤‎0”‎，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．‎ ‎(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．‎ 等价命题的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？‎ 提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．‎ ‎2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤‎2”‎时，我们也可以证明哪个命题成立．‎ 提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠‎2”‎成立．‎ ‎　(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. ‎ ‎【导学号：97792010】‎ ‎[思路探究]　(1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．‎ ‎[解析]　(1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”‎ 等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，‎ 若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．‎ 若a≠0，由题意知即 ‎∴－3≤a<0‎ 综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.‎ ‎[答案]　[－3,0]‎ ‎(2)证明　原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)－3，则a>－‎6”‎以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 (　　)‎ A．1　　　B．‎2　‎　　　C．3　　　D．4‎ B　[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－‎‎3”‎ 7‎ ‎，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]‎ ‎4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________. ‎ ‎【导学号：97792011】‎ 若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1　[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤‎1”‎．]‎ ‎5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．‎ ‎(1)写出命题p的否命题；‎ ‎(2)判断命题p的否命题的真假．‎ ‎[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．‎ ‎(2)命题p的否命题是真命题．‎ 判断如下：‎ 因为ac<0，‎ 所以－ac>0⇒Δ＝b2－‎4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，‎ 所以该命题是真命题．‎ 7‎