专题40 离心率的求值或取值范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题40 离心率的求值或取值范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.‎ ‎【方法点评】‎ 方法1 定义法 解题模板：第一步 根据题目条件求出的值 ‎ 第二步 代入公式，求出离心率.‎ 例1. 在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式演练1】点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎【答案】‎ 方法2 方程法 解题模板：第一步 设出相关未知量；‎ ‎ 第二步 根据题目条件列出关于的方程；‎ ‎ 第三步 化简，求解方程，得到离心率. ‎ 例2. 【2018黑龙江省牡丹江市第一高级中学模拟】已知椭圆的左焦点为，右焦点为.若椭圆上存在一点，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点，连接分别是的中点， ，且， ，根据椭圆的定义， ， ‎ ‎，两边平方得： ， 代入并化简得， ， ，即椭圆的离心率为，故选D.‎ 例3. 如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】.‎ ‎【变式演练2】焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得，，即，故选C. ‎ 考点：椭圆的标准方程与几何性质.‎ ‎【变式演练3】【2018四川省成都市第七中学模拟】已知分别是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心、为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎ ‎ 方法3 借助平面几何图形中的不等关系 解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，‎ 第二步 将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，‎ 第三步 解不等式，确定离心率的范围.‎ 例4已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化. ‎ ‎【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.‎ ‎【变式演练4】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 方法4 借助题目中给出的不等信息 解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；‎ 第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.‎ 例5已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为‎8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )‎ A. (1，＋∞) B. (1,2] C. (1，] D. (1,3]‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的左右焦点分别为为双曲线右支一的任意一点，，，当且仅当，即时取等号，，，，，故选D. ‎ ‎【变式演练5】【2018广西贺州市桂梧高中模拟】过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】， ‎ ‎，∴，∴.选B. ‎ ‎ ‎ 方法5 借助函数的值域求解范围 解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；‎ 第二步 通过确定函数的定义域；‎ 第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.‎ 例6. 【2018河南省郑州市第一中学模拟】已知椭圆与双曲线的焦点重合, 分别为的离心率,则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎【变式演练6】是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线,是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题设可知,即,解之得,即,故.应选A. ‎ ‎ ‎ 考点：双曲线的几何性质及运用.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎ 双曲线的离心率。故选A。‎ ‎【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 ‎【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。‎ ‎2. 【2017浙江，2】椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎ 3. 【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2‎ 为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为，‎ 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：‎ ‎，‎ 整理可得，即，‎ 从而 ，椭圆的离心率，‎ 故选A.‎ ‎【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 ‎【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式e＝ ；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).‎ ‎4. 【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎ 5. 【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎ ‎ 如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，‎ 而，所以，‎ 点到直线的距离 在中，‎ 代入计算得，即 由得 所以.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎ 6. 【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.‎ ‎【考点】双曲线离心率 ‎【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. ‎ ‎7. 【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．‎ ‎ ‎ ‎【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1. 【2018福建四校联考】已知椭圆的上下左右顶点分别为，且左右焦点为，且以 为直径的圆内切于菱形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎2．【2018广西贺州桂梧高中联考】过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】， ，∴‎ ‎，∴.选B.‎ ‎3. 【2018湖南株洲两校联考】已知双曲线E： ﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎ 4. 【2018山西名校联考】已知椭圆的左、右焦点分别为，且 ‎，点在椭圆上， ， ，则椭圆的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于，则， ， ‎ ‎， ， ， ， ， ， ， ，则 ，选C.‎ ‎5. 【2018江西南昌摸底】已知双曲线的左右焦点分别为, 为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 6. 【2018河南郑州一中联考】已知点是双曲线（， ‎ ‎）右支上一点， 是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意及三角函数定义,点A(ccos,csin),即A(c, c)，‎ 代入双曲线方程，‎ 可得 b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1，‎ 故选：D.‎ ‎7. 【2018山西五校联考】设双曲线的左、右焦点分别为， ， ，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知， ，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 8. 【2018四川德阳联考】已知点是椭圆上的一点， 分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，由余弦定理知，所以，故填.‎ ‎9. 【2018重庆市第一中学模拟】已知椭圆和双曲线有共同焦点， 是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎ 10. 【2018重庆市第一中学模拟】已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 是椭圆上一点， 是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 10. 【2018湖南省五市十校教研教改共同体联考】设双曲线的右焦点为，点在双曲线上， 是坐标原点，若四边行为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，因为OFMN为平行四边形，所以，因为OFMN的面积为bc，所以，选C.‎ ‎11. 【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，‎ 则，‎ 所以， ，‎ 所以，得，所以，‎ 所以。故选A。‎ ‎12. 【2018湖南省五市十校教研教改共同体联考】设点是双曲线与圆在第一象限的交点， 分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 13. 【2018河北衡水第一中学模拟】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且， ，双曲线的离心率为，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可知，由双曲线的定义可得，即，由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为 ‎，在中，由勾股定理可得，解之得，故选B.‎ ‎14. 【2018河北邢台市育才中学模拟】设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎ 15. 【2018河北邢台市育才中学模拟】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义知 又直角的内切圆半径为，由 ‎ 故选D ‎16. 【2018黑龙江省齐齐哈尔市模拟】已知双曲线的右顶点为，以为圆心，半径为的圆与双曲线的某条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎17. 【2018广西河池市高级中学模拟】双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎ ‎