2020版高中数学 第2章 数列第1课时 等差数列的前n项和

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2020版高中数学 第2章 数列第1课时 等差数列的前n项和

第1课时 等差数列的前n项和 ‎1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(难点),2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.(重点),3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.(难点、易错点) ‎[基础·初探]‎ 教材整理 等差数列的前n项和 阅读教材P39第二自然段~P39例1,完成下列问题.‎ ‎1.数列的前n项和的概念 一般地,称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an.‎ ‎2.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d ‎1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于(  )‎ A.13   B‎.35 ‎  C.49   D.63‎ ‎【解析】 a2+a6=a1+a7=14,‎ ‎∴S7==49.‎ ‎【答案】 C ‎2.等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn=________.‎ ‎【解析】 因为a1=1,d=1,‎ 所以Sn=n+×1‎ 7‎ ‎= ‎==.‎ ‎【答案】  ‎3.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10=________.‎ ‎【解析】 由S10==120,得a1+a10=24.‎ ‎【答案】 24‎ ‎4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则数列{an}的通项公式an=________.‎ ‎【解析】 当n=1时,a1=S1=3.‎ 当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)‎ ‎=2n+1.‎ 因为n=1时,a1=3,也满足an=2n+1,‎ 所以an=2n+1.‎ ‎ 【答案】 2n+1‎ ‎[小组合作型]‎ 有关等差数列的前n项和的基本运算 ‎ 已知等差数列{an}中,‎ ‎(1)a1=,S4=20,求S6;‎ ‎(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an;‎ ‎(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.‎ ‎【精彩点拨】 利用等差数列求和公式的两种形式求解.‎ ‎【自主解答】 (1)S4=‎4a1+d=‎4a1+6d=2+6d=20,‎ ‎∴d=3.‎ 故S6=‎6a1+d=‎6a1+15d=3+15d=48.‎ 7‎ ‎(2)∵Sn=n·+=-15,‎ 整理得n2-7n-60=0,‎ 解得n=12或n=-5(舍去),‎ a12=+(12-1)×=-4.‎ ‎(3)由Sn===-1 022,‎ 解得n=4.‎ 又由an=a1+(n-1)d,‎ 即-512=1+(4-1)d,‎ 解得d=-171.‎ a1,n,d为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二.一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中,应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.已知a6=10,S5=5,求a8和S10.‎ ‎【解】  解得a1=-5,d=3.‎ ‎∴a8=a6+2d=10+2×3=16,‎ S10=‎10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.‎ 等差数列前n项和公式的实际应用 ‎ 某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线?‎ ‎【精彩点拨】 因为每隔20分钟到达一辆车,所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量,则说明24小时内可完成第二道防线工程.‎ ‎【自主解答】 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,‎ 7‎ a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.‎ ‎25辆翻斗车完成的工作量为:a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线.‎ ‎1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题,其关 键在于构造合适的等差数列.‎ ‎2.遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知 识联系,建立数列模型,具体解决要注意以下两点:‎ ‎(1)抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型.‎ ‎(2)深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求前 n项和Sn,还是求项数n.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距‎10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________米. ‎ ‎【导学号:18082026】‎ ‎【解析】 假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为S=9×20+×20+10×20+×20=2 000(米).‎ ‎【答案】 2 000‎ ‎[探究共研型]‎ 等差数列的前n项和公式推导 探究1 如图222,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所示,则这样共有多少钢管?原来有多少根钢管?‎ 图222‎ 7‎ ‎【提示】 在原来放置的钢管中,从最上面一层开始,往下每一层的钢管数分别记为a1,a2,…,a6,则数列{an}构成一个以a1=4为首项,以d=1为公差的等差数列,设此时钢管总数为S6,现再倒放上同样一堆钢管,则这堆钢管每层有a1+a6=a2+a5=a3+a4=…=a6+a1=13(根),‎ 此时钢管总数为2S6=(a1+a6)×6=13×6=78(根),‎ 原来钢管总数为S6=×6=39(根).‎ 探究2 通过探究1,你能推导出等差数列{an}的求和公式吗?‎ ‎【提示】 Sn=a1+a2+…+an, ①‎ 把数列{an}各项顺序倒过来相加得 Sn=an+an-1+…+a2+a1, ②‎ ‎①+②得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an),‎ 则Sn=.‎ 探究3 你能用a1,d,n表示探究2中的公式吗?该结果与Sn=有什么区别与联系.‎ ‎【提示】 Sn== ‎=a1n+,即Sn=a1n+.‎ 该公式是由探究2中的公式推导得出,都是用来求等差数列的前n项和,在求解时都可以“知三求一”,求Sn时,都需知a1,n,不同在于前者还需知an,后者还需知d.‎ ‎ (1)已知等差数列{an}中,若a1 009=1,求S2 017;‎ ‎(2)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,求.‎ ‎【精彩点拨】 由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解,或结合等差数列的性质求解.‎ ‎【自主解答】 (1)法一:∵a1009=a1+1008d=1,∴S2017=‎2017a1+d=2 017(a1+1 008d)=2017.‎ 法二:∵a1009=,∴S2017=×2 017=‎2017a1009=2017.‎ ‎(2)法一:=====.‎ 7‎ 法二:∵==,‎ ‎∴设Sn=2n2+2n,Tn=n2+3n,∴a5=S5-S4=20,b5=T5-T4=12,‎ ‎∴==.‎ ‎1.若{an}是等差数列,则Sn=·n=na中(a中为a1与an的等差中项).‎ ‎2.若{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,则=.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.在等差数列{an}中.‎ 已知a3+a15=40,求S17.‎ ‎【解】 法一:∵a1+a17=a3+a15,∴S17== ‎==340.‎ 法二:∵a3+a15=‎2a1+16d=40,∴a1+8d=20,‎ ‎∴S17=‎17a1+d=17(a1+8d)=17×20=340.‎ 法三:∵a3+a15=‎2a9=40,∴a9=20,∴S17=‎17a9=340.‎ ‎1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(  )‎ A.8 B‎.10 C.12 D.14‎ ‎【解析】 由题意知a1=2,由S3=‎3a1+×d=12,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12,故选C.‎ ‎【答案】 C ‎2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=(  )‎ A.5 B‎.7 C.9 D.11 ‎ ‎【解析】 法一:∵a1+a5=‎2a3,‎ ‎∴a1+a3+a5=‎3a3=3,‎ ‎∴a3=1,‎ 7‎ ‎∴S5==‎5a3=5,故选A.‎ 法二:∵a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=‎3a1+6d=3,∴a1+2d=1,‎ ‎∴S5=‎5a1+d=5(a1+2d)=5,故选A.‎ ‎【答案】 A ‎3.在一个等差数列中,已知a10=10,则S19=________.‎ ‎【解析】 S19===‎19a10=190.‎ ‎【答案】 190‎ ‎4.记等差数列前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=________. ‎ ‎【导学号:18082027】‎ ‎【解析】 法一:由 解得d=3.‎ 法二:由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d,‎ ‎∴20-4=4+4d,‎ 解得d=3.‎ ‎【答案】 3‎ ‎5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,求a9.‎ ‎【解】 设等差数列的公差为d,则 S3=‎3a1+d=‎3a1+3d=3,即a1+d=1,‎ S6=‎6a1+d=‎6a1+15d=24,‎ 即‎2a1+5d=8.‎ 由解得 故a9=a1+8d=-1+8×2=15.‎ 7‎
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