高二数学下学期开学考试（第一次测试）试题 理

高二数学下学期开学考试（第一次测试）试题 理

‎【2019最新】精选高二数学下学期开学考试（第一次测试）试题 理 一、选择题（共12小题，每题5分）‎ ‎1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　)‎ A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅‎ ‎2．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|等于(　　)‎ A． B． C． D．2‎ ‎3.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)‎ A． B． C． D． ‎4.设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）‎ A.2　 　 B.3　 C.4　　　 D.5‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ 8 / 8‎ ‎6.“”是“的”（ ） ‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.执行右侧的程序框图，如果输入的＝－1，则输出的S等于(　　)‎ A．-4 B．-3 C．2 D．3‎ ‎8.已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎9.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A．y＝x3 B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝sinx ‎ ‎10.已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A．1 B． C． D． ‎ 8 / 8‎ ‎12．已知函数f(x)＝x2－2x＋(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则等于(　　)‎ A．－ B． C． D．1‎ 二、填空题（共4小题，每题5分）‎ ‎13.设向量＝(m,1)，＝(1,2)，且||2＝||2＋||2，则m＝________.‎ ‎14.已知sin，则cos（）= .‎ ‎15.已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(－1)＋f(22)≤0，则实数的取值范围是________．‎ ‎16.已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，上的点与的两个焦点构成的三角形面积的最大值为，直线交椭圆于于两点.设为线段的中点，若直线的斜率等于，则椭圆方程为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17.(10分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：‎ 注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)‎ ‎(2)预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：i＝9.32，i＝40.17，＝0.55，≈2.646.‎ 8 / 8‎ 参考公式：回归方程＝＋t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 ‎＝=，＝－.‎ ‎18.(12分)设数列{n}满足1＋32＋…＋(2n－1)n＝2n.‎ ‎(1)求{n}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和．‎ ‎19.(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，＝3，求△ABC的周长．‎ ‎20.（12分）在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．‎ ‎（1）证明：BE⊥AC；‎ ‎（2）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．‎ ‎21.(12分)已知椭圆（＞b＞0）的离心率，过点A（0，﹣‎ 8 / 8‎ b）和B（，0）的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ ‎22.(12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.‎ 8 / 8‎ 高二下学期开学考试答案（理科）‎ 一选择题：‎ ‎1-5 ACBBA 6-10 BDBDC 11,12 DC 二填空题：‎ 13. ‎-2 14. 15. 16.‎ 17. 解：（1）‎ ‎（2）将2018年对应的t＝11代入回归方程得＝0.92＋0.10×11＝2.02.‎ 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.02亿吨．‎ ‎18.解　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，‎ 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，‎ 两式相减，得(2n－1)an＝2，‎ 所以an＝(n≥2)．‎ 又由题设可得a1＝2，满足上式，‎ 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)记的前n项和为Sn.‎ 由(1)知＝＝－，‎ 则Sn＝－＋－＋…＋－＝.‎ ‎19.解　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.‎ 由正弦定理，得sin Csin B＝，‎ 8 / 8‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)，得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.‎ 由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，‎ 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ ‎20.‎ ‎21.解：（1）∵直线过点A（0，﹣b）和B（a，0），‎ ‎∴直线L：与坐标原点的距离为，∴=．①‎ ‎∵椭圆的离心率 e=，∴．②‎ 由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2﹣c2）=3a2+3（a2﹣c2）③‎ 由②③得a2=3，c2=2‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1‎ ‎∴所求椭圆的方程是+y2=1‎ ‎（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0‎ ‎∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=‎ ‎∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，‎ 8 / 8‎ ‎∴EC⊥ED ‎∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0‎ ‎∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0‎ ‎∴（1+k2）×+（2k+1）×+5=0，解得k=＞1，‎ ‎∴当k=时以CD为直径的圆过定点E ‎22..解　(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.‎ 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；‎ 当x∈时，f′(x)<0.‎ 故f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎(2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－，‎ 所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，‎ 即ln＋＋1≤0.‎ 设g(x)＝ln x－x＋1，‎ 则g′(x)＝－1.‎ 当x∈(0,1)时，g′(x)>0；‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.‎ 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．‎ 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.‎ 所以当x>0时，g(x)≤0.‎ 从而当a<0时，ln＋＋1≤0，‎ 即f(x)≤－－2.‎ 8 / 8‎