高考数学考点16三角函数的图象与应用试题解读与变式

高考数学考点16三角函数的图象与应用试题解读与变式

考点 16：三角函数的图象与应用 【考纲要求】 （1）能画出 sin y x ， cosy x ， tany x 的图像； （2）了解函数 sin( )y A x   的物理意义；能画出 sin( )y A x   的图像，了 解参数 , ,A   对函数图像变化的影响； （3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单 实际问题． 【命题规律】 三角函数的图象是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：（1）三 角函数图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；（2） 利用三角函数的图象求解与三角函数有关的函数的零点、方程的根、图象的交点等问题，通 常以选择题与填空题形式考查． 预计 2018 年高考对三角函数图象的考查也主要体现在函数图象的识别与应用，会以客 观题出现． 【典型高考试题变式】 （一）根据三角函数图象（或图象特征）确定解析式 例 1 【2016 浙江】函数 2siny x 的图象是（ ） 【答案】D 【解析】因为 2siny x 为偶函数，所以它的图象关于 y 轴对称，排除 A、C 选项；当 2 2x  ，即 2x   时， 1maxy  ，排除 B 选项，故选 D． 【方法技巧归纳】根据函数解析式判断函数的图象的方法： （1）从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置； （2）从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的周期性，判断图象的循环往复； （5）从函数的极值点，判断图象的拐点． 【变式 1】【例题中解析式改变了】函数 sin 2 3y x      在区间 ,2      上的简图是 （ ） A B C D 【答案】A 【解析】将 6x  代入到函数解析式中得 0y  ，可排除 C，D；将 x  代入到函数解 析式中求出函数值为 3 2  负数，可排除 B，故选 A． 【变式 2】【例题解析式改变了，且增加了一个参数，同时判断的问题也改变了】已知 a 是实数，则函数 ( ) 1 sinf x a ax  的图象不可能．．．是（ ） 【答案】D （二）根据三角函数图象（或图象特征）确定解析式 例 2 【2016 新课标】函数 sin( )y A x   的部分图像如图所示，则 A． 2sin(2 )6y x   B． 2sin(2 )3y x   C． 2sin( )6y x   D． 2sin( )3y x   【答案】A 【方法技巧归纳】根据函数的图象确定函数 ( ) sin( ) ( 0, 0)f x A x B A       中 的参数主要方法：（1） A ， B 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即 2A  最大值 最小值 ， 2B  最大值 最小值 ；（2） 的值主要由周期T 的值确定，而 T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3） 值的确定主要是由图 象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定． 【变式 1】【例题给出的方式没有改变，解析式中增加了一个参数】如图所示，某地一 天 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数  siny A x b    ，则这段曲线的函数解析式 可以为（ ） A． 3sin 208 4y A x       ，  6,14x B． 5sin 208 4y A x       ，  6,14x C． 3sin 208 4y A x       ，  6,14x D． 5sin 208 4y A x       ，  6,14x 【答案】A 【变式 2】【例题由直接给出图象改为由描述性给出图象特征，所求也适当有变化】若 以函数 sin ( 0)y A x   的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为 1 的直角三 角形，则 的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 2 【答案】C 【解析】如图所示，由题意可得： ABC 1= =12S AB BC ，∴ 2AB BC  ，则 2T AC  ， 2 T    ，故选 C． （三）三角函数图象的变换 例 3 【2017 新课标 1】已知曲线 1C ： cosy x ， 2C ： 2sin(2 )3y x   ，则下面结 论正确的是（ ） A．把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度，得到曲线 2C B．把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 2C C．把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度，得到曲线 2C D．把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 2C 【答案】D 【方法技巧归纳】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩， 后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总 是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移， 后伸缩”主要体现为由函数 siny x 平移得到函数  siny x   的图象时，平移  个长 度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数  siny x 平移得到函数  siny x   的图象时，平移   个长度单位． 【变式 1】【由例题确定平移过程改为了确定平移后的函数解析式】把函数 cosy x 的 图象向左平移 4  个单位，然后把图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变）， 则所得图形对应的函数解析式为（ ） A． 1cos 2 4y x      B． cos 2 4y x      C． 1cos 2 8y x      D． cos 2 2y x      【答案】B 【解析】把函数 cosy x 的图象向左平移 4  个单位,得到函数 cos 4y x      的图象， 再把图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到 cos 2 4y x      ， 故选 B． 【变式 2】【例题中的一个函数的解析式改变为较复杂的解析式，变换过程改为一个】 为了得到函数 3sin3 cos3y x x  的图象，可以将函数 2sin3y x 的图象（ ） A．向右平移 6  个单位 B．向左平移 6  个单位 C．向右平移 18  个单位 D．向左平移 18  个单位 【答案】D 【 解 析 】 函 数 3sin3 cos3 2sin 3 2sin36 18y x x x x                ， 将 函 数 2sin3y x 的图象向左平移 18  个单位可得函数 3sin3 cos3y x x  的图象，故选 D． （四）三角函数图象的应用 例 4 【2015 湖北】函数 2 π( ) 4cos cos( ) 2sin | ln( 1) |2 2 xf x x x x     的零点个数为＿＿ ＿＿＿＿． 【答案】2 【 解 析 】 因 为 2( ) 4cos cos( ) 2sin | ln( 1) |2 2 xf x x x x     |)1ln(|sin2sin)cos1(2  xxxx ＝ sin 2 | ln( 1) |x x  ，所以函数 )(xf 的零点个数为函数 xy 2sin 与 |)1ln(|  xy 图象的交 点的个数， 函数 xy 2sin 与 |)1ln(|  xy 图象如图，由图知，两函数图象有 2 个交点，所以函数 )(xf 有 2 个零点． 【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定 函数零点的个数：利用图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判 断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点， 即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等 式来求解． 【 变 式 1 】【 将 例 题 中 求 函 数 的 零 点 个 数 改 为 求 函 数 的 零 点 之 和 】 函 数   2πcos 2 3f x x     ＋ 2 3 11π 19π4cos 2 ,3 π 12 12x xx            所 有 零 点 之 和 为 （ ） A． 2π 3 B． 4π 3 C． 2π D． 8π 3 【答案】B 【变式 2】【将例题中求零点个数改为求根据零点个数求参数的取值范围】9．若函数 sin log2 ay x x  的图象至少有 12 个零点点，则 a 的取值范围是（ ） A． 1,14 B． 14, C． 1,7 D． 7, 【答案】D 【解析】 2y sin x 与 log x ay  都是偶函数，所以 sin log2 ay x x  是偶函 数，只需 0x  时，有至少 6 个零点，即可画出 0x  时，函数 sin 2y x 的图象与 logay x 的图象，如图，由图可知， 7log 1, 7a a  ,即 a 的取值范围是 7, ，故 选 D． 【数学思想】 1．转化与化归的思想 在三角函数图象中主要体现在当平移前与平移后的函数名称不一致时，常常要利用诱导 公式将它们转化为同名函数；研究三角函数的零点时，常常转化为三角方程来求解． 2．数形结合的思想 研究与三角函数有关的零点、方程的根、图象的交点问题时，通常要将其转化为两个新 函数的交点，通过作出它们的图象来解决；求不常规的三角函数的单调性区间可利用图象来 解决． 3．分类讨论思想 遇到画形如 sin( )y A x B    的图象中时，如果解析式中的 , , ,A B  有符号不确 定的字母参数时，常常要分类作其可能的图象来研究问题． 【处理三角函数图象问题注意点】 1．五点作图法画图列表时要注意借助于整体代换思想的应用，特别是作已知区间上的 图象时，注意确定起始点与终止点． 2．图象变换中，注意区分两种变换方式：“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”在 平移单位的确定上的差异；同时在坐标伸缩上的也须注意确定其倍数． 3．根据函数的图象求函数的解析式时，注意确定三角函数的零点、最值点与函数的周 期的关系，特别是求初相 时，要尽量取非零点来确定． 4．注意正切函数的图象的对称性，正切函数只有对称中点，没有对称称，且不要误认 为正切函数的对称中心为函数的零点． 【典例试题演练】 1．函数 sin 2 3y x      在区间 ,2      上的简图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将 6x  代入到函数解析式中得 0y  ，可排除 C，D；将 x  代入到函数解 析式中求出函数值为 3 2  负数，可排除 B，C，故选 A． 2．【2017 届湖南省长沙市高三上学期统一模拟】  cos 1y x  图像上相邻的最高点和最低 点之间的距离是（ ） A． 2 4  B． C．2 D． 2 1  【答案】A 【解析】函数的周期 2T  ，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为 ，根据勾 股定理最高点和最低点之间的距离为 2 4  ，故选 A． 3．【2017 届阜阳市高三 3 月模拟考】要得到函数 sin 2 3y x      的图象，只需将函数 cos2y x 的图象（ ） A．向左平移 12  个单位 B．向左平移 6  个单位 C．向右平移 12  个单位 D．向右平移 6  个单位 【答案】C 【解析】由题意得，cos2 sin 2 2x x      ，因此只需要将函数 cos2y x 的图象向右 平移 12  个单位即可得到函数 sin 2 3y x      的图象，故选 C． 4．【山西省运城市 2017 届高三 4 月模拟调研】函数    sinf x A x b    的部分图像 如图，则  2017f  （ ） A．1 B． 3 2 C． 1 2 D． 3 4 【答案】B 【解析】由函数图像可知周期 4T  ，所以      2017 504 4 1 1f f f    ，观察图 像可知   31 2f  ，所以   32017 2f  ，故选 B． 5．要得到函数 cos2y x 的图象，只需将函数 sin 2 3y x      的图象（ ） A．向左平行移动 12  个单位长度 B．向左平行移动 6  个单位长度 C．向右平行移动 12  个单位长度 D．向右平行移动 6  个单位长度 【答案】A 【解析】 cos2 sin 2 sin 2 sin 22 3 6 12 3y x x x x                               ,故选 A． 6．【江西省抚州市临川区第一中学 2017 届高三 4 月模拟】定义函数                  max , ( ) f x f x g x f x g x g x f x g x     ，则  max sin ,cosx x 的最小值为 （ ） A． 2 B． 2 C． 2 2  D． 2 2 【答案】C 【解析】根据题中定义的函数可知   ,max sin ,cos , sinx sinx cosxx x cosx sinx cosx    ，则该函数 图像如下图，由图可知函数的最小值为 2 2  ，故选 C． 7．【安徽省合肥市 2018 届高三调研性检测】已知函数   sin 6f x x      的图象向右平 移 3  个单位后，所得的图象关于 y 轴对称，则 的最小正值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 8 ．【 江 西 省 新 余 市 第 一 中 学 2017 届 高 三 高 考 全 真 模 拟 】 已 知 函 数   π2sin ( 04f x x       )的图象在区间 0,1 上恰有 3 个最高点，则 的取值范 围为（ ） A． 19π 27π,4 4     B． 9π 13π,2 2     C． 17π 25π,4 4     D． 4π,6π 【答案】C 【解析】因为函数   π2sin ( 04f x x       )的图象在区间 0,1 上恰有 3 个最高 点，所以函数   π2sin ( 04f x x       )的图象在区间 0,1 上至少有两个周期加 八分之一周期,少于三个周期加八分之一周期，所以 4π π 6π π14 4       ，所以 17π 25π 4 4   ，故选 C． 9 ．【 江 西 师 范 大 学 附 属 中 学 2017 届 高 三 第 三 次 模 拟 】 已 知 函 数    sin ( 0, 0)f x A x A      的图像的一个最高点坐标为  1,2 ，相邻的对称 轴与对称中心间的距离为 2，则下列结论正确的是（ ） A．  f x 的图像关于 2,0 中心对称 B．  f x 的图像关于直线 3x  对称 C．  f x 在区间 2,3 上单调递增 D．  2017 2f  【答案】D 10 ． 【 2017 届 淮 北 市 高 三 第 二 次 模 拟 】 已 知 函 数    sin ,( 0, 0,0 )f x A x A          ，其部分图像如下图，则函数  f x 的 解析式为（ ） A．   12sin 2 4f x x      B．   1 32sin 2 4f x x      C．   1 32sin 4 4f x x      D．   2sin 2 4f x x      【答案】B 【解析】由图知 3 2 12 , 44 2 2 2 TA T T           ， , 1 32sin 22 2         ，∴ 3sin 14        ，∴  3 3 24 2 k k Z      ，∴  3 24 k k Z    ．因为 0   《 ，所以 3 4   ，故选 B． 11 ．【 黑 龙 江 省 大 庆 实 验 中 学 2017 届 高 三 考 前 得 分 训 练 （ 一 ）】 设 函 数   9sin 2 0,4 8f x x x               ，若方程  f x a 恰好有三个根，分别为 1x ， 2x ， 3x （ 1 2 3x x x  ），则 1 2 3x x x  的值为（ ） A． B． 3 4  C． 3 2  D． 5 4  【答案】C 【解析】画出该函数的图象如图，当 2 12 a  时方程  f x a 恰好有三个根，且点  1,0x 和  2,0x 关于直线 8x  对称，点  2,0x 和  3,0x 关于直线 5 8x  对称，所 以 1 2 4x x   ， 2 3 5 4x x   ，从而 1 2 3 32 2x x x    ．故选 C． 12．【安徽省亳州市二中 2017 届高三下学期教学质量检测】已知函数    2sin 1( 0, )2f x x         ，其图象与直线 1y   相邻两个交点的距离 为 ，若   1f x  对 ,12 3x        恒成立，则 的取值范围是（ ） A． ,12 6       B． ,6 2       C． ,12 3       D． ,6 3       【答案】D 【解析】令  2sin 1 1x     ，得到  sin 1x    ，即  siny x   的图 像 和 1y   相 邻 两 个 交 点 的 距 离 为  ， 故 2   ， 2  ， 所 以    2sin 2 1f x x    根 据 题 意 ， 若   1 ,12 3f x x         对 恒 成 立 ， 即  sin 2 0x   ， 所 以 当 12x   时 ， 26 k     ， 当 3x  时 ， 2 23 k      ，所以 2 26 3k k       ， 2   结合选项，当 0k  时， 6 3    ，故选 D． 13 ．【 湖 南 省 衡 阳 市 2017 届 高 三 下 学 期 第 三 次 联 考 】 函 数      12sin , 2,41f x x xx     的所有零点之和为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 14．【广西省陆川中学 2017 届高三下学期期中】已知 0  ，在函数 siny x 与 cosy x 的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 2 ，则 __________． 【答案】 2  【解析】令sin cosx x  ，则 tan 1x  ，由题意，得 tan 1x  的两个相邻解相差 2，则 π 2  ，解得 π 2   ． 15．【河南省 2017 届普通高中高三 4 月教学质量监测】已知函数    sin ( 0, 0 )2f x M x M         的部分图象如图所示，其中  2,3A （点 A 为图象的一个最高点） 5 ,02B    ，则函数  f x =___________． 【答案】3sin 3 6x     【解析】 3 5 93 24 2 2M T     ，故 6T  ，故 2 3T     ，将点  2,3A 代入可 得  2 23 2 kx k Z      ， 故  26 kx k Z     ， ∵ 2   ， ∴   3sin 3 6f x x      ． 16 ．【 河 北 省 武 邑 中 学 2017 届 高 三 下 学 期 第 四 次 模 拟 】 设 0  ， 将 函 数 πsin 23y x      的图象向右平移 4π 3 个单位后与原图象重合，则 的最小值是 _________． 【答案】 3 2 【解析】因为将函数 πsin 23y x      的图象向右平移 4π 3 个单位后与原图象重合， 所以函数 πsin 23y x      的周期 T= 2π  满足: 2π 4π ,3n n N    ，当 1n  时,  取得最小值为 3 2 ． 17．函数    2sinf x x   (    2,3 , 1,2a b   )的部分图象如上图所示，其中    / / 2ma b a b    两点之间的距离为 m ，则  ___________． 【答案】 3  【解析】由题意可设 AB 之间的水平距离为 d ，则由题意可得  22 22 2 5d    （ ） ， 解得 3d  ，故函数的周期 2 2 3T     ，解得 3   ． 18．【天津市河东区 2017 届高三二模】已知 0  ，在函数 siny x 与 cosy x 的图象 的交点中，距离最短的两个交点的距离为 3 ，则 值为__________． 【答案】 【 解 析 】 由 sin cosx x  ， 得 交 点 坐 标 为 1 2 1 2 1 2 1 2, , , ( ,4 2 4 2k k k k                            为整数），因为在函数 siny x 与 cosy x 的 图 象 的 交 点 中 ， 距 离 最 短 的 两 个 交 点 的 距 离 为 3 ，   222 2 1 5 2 23 ,4 4 2 2                     ． 19．已知函数     sin 0,f x x x   和函数   1 tan3g x x 的图像相交于 , ,A B C 三点，则 ABC 的面积为__________． 【答案】 2 3  20．【2017 届吉林省实验中学高三上学期二模】已知 ( )y f x 的定义域为 R 的偶函数，当 0x  时， 5 sin ,0 2,4 4( ) 1( ) 1, 2,2 x x x f x x        若关于 x 的方程 2( ) ( ) 0f x af x b   （ a ， b R ）有且仅有 6 个不同的实数根，在实数 a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 5 9 9 12 4 4     （ ， ）（ ， ） 【 解 析 】 如 图 所 示 ， 因 为 ( )f x 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 ， 则 1( ) 1, 2,2 5 sin , 2 0,4 4( ) 5 sin ,0 2,4 4 1( ) 1, 2,2 x x x x x f x x x x                    ， 依 题 意 ( )f x 在 2  （ ， ）和 0 2（ ，）上 递 增 ， 在 2 0（ ，）和 2  （ ， ）上递减，当 2x   时，函数取得极大值 5 4 ；当 0x  时，取得极小 值 0．要使关于 x 的方程 2( ) ( ) 0f x af x b   （ a ，b R ）有且仅有 6 个不同的实 数根．设t f x （ ），则 2 0t at b   必有两个根 1 2t t、 ，则有两种情况符合题意：（1） 1 5 4t  ， 且 2 51 4t     ， ）， 此 时 1 2a t t   ，则 5 9 2 4a  （ ， ）；（ 2 ） 1 2 501 1 4]t t （ ，， （，），此 时 同 理 可 得 9 14a  （ ， ），综 上 可 得 a 的 范 围 是 5 9 9 12 4 4     （ ， ）（ ， ）．