2013年高考数学（文科）真题分类汇编N单元 选修4系列

2013年高考数学（文科）真题分类汇编N单元 选修4系列

N单元 选修4系列 N1选修4-1 几何证明选讲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎21．N1[2013·江苏卷] A．[选修4－1：几何证明选讲]‎ 如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.‎ 求证：AC＝2AD.‎ 图1－1‎ 证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，‎ 所以∠ADO＝∠ACB＝90°.‎ 又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，‎ 所以＝.‎ 又BC＝2OC＝2OD.‎ 故AC＝2AD.‎ N2[2013·江苏卷] ‎ B．[选修4－2：矩阵与变换]‎ 已知矩阵A＝　0,2)，B＝1,0)　2,6)，求矩阵A－1B.‎ 解：设矩阵A的逆矩阵为a,c)　b,d)，‎ 则－1,0)　0,2)a,c)　b,d)＝1,0)　0,1)．‎ 即－a,‎2c)　－b,2d)＝1,0)　0,1)，‎ 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，‎ 从而A的逆矩阵为A－1＝　0,)))．‎ 所以A－1B＝　0,)))1,0)　2,6)＝－1,0)　－2,3)．‎ N3[2013·江苏卷] ‎ C．[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．‎ 解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.‎ 同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.‎ 联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，，－1.‎ N4[2013·江苏卷] ‎ D．[选修4－5：不等式选讲]‎ 已知a≥b>0，求证：‎2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ 证明：‎2a3－b3－(2ab2－a2b)＝‎2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(‎2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(‎2a＋b)．‎ 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，‎2a＋b>0.‎ 从而(a－b)(a＋b)(‎2a＋b)≥0，即‎2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎22．N1[2013·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲 如图1－6，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE，证明：‎ ‎(1)∠FEB＝∠CEB；‎ ‎(2)EF2＝AD·BC.‎ 图1－6‎ ‎22．解：证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.‎ 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，‎ 从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.‎ ‎(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.‎ 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.‎ 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故FE2＝AF·BF.‎ 所以EF2＝AD·BC.‎ B．N1[2013·陕西卷] (几何证明选做题)如图1－4所示，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________．‎ 图1－4‎ 　[解析] 利用已知图形关系可得∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝.‎ ‎22．N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎(1)证明：DB＝DC；‎ ‎(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．‎ 图1－6‎ ‎22．解：(1)联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.‎ 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.‎ 又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，‎ 由勾股定理可得DB＝DC.‎ ‎(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，‎ 故DG是BC的中垂线，所以BG＝.‎ 设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°，‎ 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，‎ 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.‎ ‎13．N1[2013·天津卷] 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．‎ 图1－2‎ ‎13.　[解析] 联结AC.由圆内接梯形的性质得，∠DCB＝∠ABE，∠DAB＋∠DCB＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠ABC，∠DAB＋∠ABE＝180°，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠CAB＝∠DBA，又∠ADB＝∠ABD，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝5.由切割线定理得AE2＝BE·EC＝4×(4＋5)＝36，‎ 由cos∠ABE＝－cos∠DAB，‎ 得－＝，‎ 即－＝，解之得BD＝.‎ ‎22．N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－1：几何证明选讲 如图1－10，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．‎ ‎(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；‎ ‎(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．‎ 图1－10‎ ‎22．解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.‎ 因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.‎ 所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．‎ 图1－11‎ ‎(2)联结CE，因为∠CBE＝90°，‎ 所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，‎ 由DB＝BE，有CE＝DC.‎ 又BC2＝DB·BA＝2DB2，‎ 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.‎ 而DC2＝DB·DA＝3DB2，‎ 故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.‎ ‎15．N1[2013·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________．‎ 图1－3‎ ‎15.　[解析] AB＝，BC＝3AC＝＝2 ，∵AB2＝AE·AC，∴AE＝.又∵tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝，故∠EAD＝.在△AED中，由余弦定理得ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcos ∠EAD＝＋9－2××3cos ＝，故ED＝.‎ N2　选修4-2 矩阵　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ N3　选修4-4 参数与参数方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎14．N3[2013·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．‎ ‎14.(θ为参数)　[解析] 将曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(θ为参数)．‎ ‎11．N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．‎ ‎11．4　[解析] l1：即x－2y－1＝0，l2：即2x－ay－a＝0.由两直线平行，得＝≠，解得a＝4.‎ ‎23．N3[2013·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcosθ－＝2 .‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．‎ ‎23．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.‎ 直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ 解得 所以C1与C2交点的极坐标为4，，2 ，.‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ 由参数方程可得y＝x－＋1.‎ 所以解得a＝－1，b＝2.‎ ‎23．N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－4：坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α ，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离 d＝＝(0<α<2π)．‎ 当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ C．N3[2013·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．‎ ‎(1，0)　[解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y2＝4x，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．‎ ‎23．N3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．‎ ‎23．解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，‎ 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 由解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ N4选修4-5 不等式选讲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎21．B12，N4[2013·湖北卷] 设a>0，b>0，已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)当x>0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数．‎ ‎(i)判断f(1)，f，f是否成等比数列，并证明f≤f；‎ ‎(ii)a，b的几何平均数记为G，称为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x的取值范围．‎ ‎21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，‎ f′(x)＝＝.‎ 当a＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；‎ 当a＜b时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)(i)计算得f(1)＝＞0，f＝＞0，‎ f＝＞0.‎ 故f(1)f＝·＝ab＝，即 f(1)f＝.①‎ 所以f(1)，f，f成等比数列．‎ 因≥，即f(1)≥f，结合①得f≤f.‎ ‎(ii)由(i)知f＝H，f＝G，故由H≤f(x)≤G，‎ 得f≤f(x)≤f.②‎ 当a＝b时，f＝f(x)＝f＝a.‎ 这时，x的取值范围为(0，＋∞)；‎ 当a＞b时，0＜＜1，从而＜，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得≤x≤，即x的取值范围为；‎ 当a＜b时，＞1，从而＞，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，‎ 得≤x≤，即x的取值范围为.‎ ‎24．N4[2013·辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－‎2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ ‎24．解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝ 当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；‎ 当22，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．‎ ‎(－∞，＋∞)　[解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)‎ ‎|＝|b－a|＝|a－b|.又由|a－b|>2恒成立，故不等式解集为(－∞，＋∞)．‎ ‎14．N4[2013·天津卷] 设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．‎ ‎14.　[解析] ＋＝＋＝＋＋≥＋2≥－＋1＝.‎ ‎24．N4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.‎ ‎(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；‎ ‎(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ ‎24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)

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