江苏省苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三第一次调研考试(期末考试)数学(扫描版)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

江苏省苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三第一次调研考试(期末考试)数学(扫描版)

连云港市 2020 届高三第一学期期末调研考试 数学 I 参考答案与评分标准 一、填空题: 1.{ 1 2 }x x- < < 2. 2i- 3. 4 5 4.20 5.[4,+ )¥ 6. 1 2 7.4 8. 1 4 9.135 10. 3 π2 11. 2 2( 2) 8x y+ + = 12.3 13. 4 7 14. 3 4 二、解答题: 15.(1)在 PBC△ 中,因为 M,N 分别为棱 PB,PC 的中点, 所以 MN// BC. ………………………………3 分 又 MNÌ平面 AMN,BC Ë 平面 AMN, 所以 BC//平面 AMN.…………………………6 分 (2)在 PAB△ 中,因为 AP AB= ,M 为棱 PB 的中点, 所以 AM PB^ .………………………………8 分 又因为平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAB 平面 PBC PB= , AM Ì平面 PAB, 所以 AM ^ 平面 PBC.…………………………………………………………12 分 又 AM Ì平面 AMN,所以平面 AMN⊥平面 PBC. …………………………14 分 16.(1)在 ABC△ 中,由余弦定理 2 2 22 cosb c bc A a+ - = 得, 2 520 2 2 5 255b b+ - ´ ´ = ,即 2 4 5 0b b- - = , …………………………4 分 解得 5b = 或 1b = - (舍),所以 5b = . ………………………………………6 分 (2)由 5cos 5A = 及 0 A< < p得, 2 25 2 5sin 1 cos 1 ( )5 5A A= - = - = ,…8 分 所以 2 10cos cos( ( )) cos( ) (cos sin )4 2 10C A B A A Ap= p - + = - + = - - = , 又因为 0 C< < p,所以 2 210 3 10sin 1 cos 1 ( )10 10C C= - = - = , 从而 3 10 sin 10tan 3cos 10 10 CC C= = = ,………………………………………………12 分 所以 2 2 2tan 2 3 3tan 2 1 tan 1 3 4 CC C ´= = = -- - .………………………………………14 分 17.(1)在 SAO△ 中, 2 2 2 25 3 4SO SA AO= - = - = , …………………………2 分 A P N M C B 由 1SNO△ ∽ SAO△ 可知, 1SO r SO R= ,所以 1 4 3SO r= ,……………………4 分 所以 1 44 3OO r= - ,所以 2 2 31 4 4( ) π (4 ) π(3 ),0 33 3 9V r r r r r r= - = - < < .…7 分 (2)由(1)得 2 34( ) π(3 ),0 39V r r r r= - < < , 所以 24( ) π(6 3 )9V r r r¢ = - ,令 ( ) 0V r¢ = ,得 2r = ,………………………9 分 当 (0,2)rÎ 时, ( ) 0V r¢ > ,所以 ( )V r 在 (0,2) 上单调递增; 当 (2,3)rÎ 时, ( ) 0V r¢ < ,所以 ( )V r 在 (2,3) 上单调递减. 所以当 2r = 时, ( )V r 取得最大值 16π(2) 9V = . 答:小圆锥的体积V 的最大值为16π 9 .………………………………………14 分 18.(1)直线 l 的方程为 )( axky -= ,即 0=-- akykx , 因为直线 l 与圆 222 byxO =+: 相切,所以 b k ak = + - 12 ,故 22 2 2 ba bk - = . 所以椭圆C 的离心率 2 2 2 11 1 be a k= - = + .………………………………4 分 (2)设椭圆C 的焦距为 2c ,则右准线方程为 2ax c= , 由 ïî ïí ì = -= c ax axky 2 )( 得 c acakac aky -=-= 22 )( ,所以 ))(,( 22 c acak c aQ - ,…6 分 由 ïî ïí ì -= =+ )( 12 2 2 2 axky b y a x 得 02)( 2224232222 =-+-+ bakaxkaxkab , 解得 222 223 kab abkaxp + -= ,则 222 2 222 223 2)( kab kaba kab abkaky p + -=- + -= , 所以 )2- 222 2 222 223 kab kab kab abkaP ++ - ,( ,……………………………………………10 分 因为 0=×OQOP ,所以 02)( 222 22 222 2232 = + -×-+ + -× kab kab c acak kab abka c a , 即 )(2)( 22222 cakbbkaa -=- ,………………………………………………12 分 由(1)知, 22 2 2 ba bk - = ,所以 22 4 2 22 22 )(2)( ba cabb ba baa - -=- - , 所以 caa 22 -= ,即 ca 2= ,所以 2 1=a c ,故椭圆C 的离心率为 2 1 .……16 分 19.(1) ( )2 1 1 1( ) lnf x x a x xx ¢ = + - , 因为曲线 ( )y f x= 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 1 0x y+ - = , 所以 (1) 1 1f a¢ = - = - ,得 0a = .……………………………………………2 分 (2)因为 2 1 ln( ) ax xf x x - +¢ = 存在两个不相等的零点. 所以 ( ) 1 lng x ax x= - + 存在两个不相等的零点,则 1( )g x ax¢ = + . ①当 0a≥ 时, ( ) 0g x¢ > ,所以 ( )g x 单调递增,至多有一个零点.……4 分 ②当 0a < 时,因为当 1(0 )x aÎ -, 时, ( ) 0g x¢ > , ( )g x 单调递增, 当 1( + )x aÎ - ¥, 时, ( ) 0g x¢ < , ( )g x 单调递减, 所以 1x a= - 时, max 1 1( ) ( ) ln( ) 2g x g a a= - = - - . …………………………6 分 因为 ( )g x 存在两个零点,所以 1ln( ) 2 0a- - > ,解得 2e 0a-- < < .………7 分 因为 2e 0a-- < < ,所以 21 e 1a- > > . 因为 (1) 1 0g a= - < ,所以 ( )g x 在 1(0 )a-, 上存在一个零点. …………8 分 因为 2e 0a-- < < ,所以 21 1( )a a- > - . 因为 2 21 1 1[( ) ] ln( ) 1g a a a- = - + - ,设 1t a= - ,则 22ln 1( e )y t t t= - - > , 因为 2 0ty t -¢ = < ,所以 22ln 1( e )y t t t= - - > 单调递减, 所以 ( )2 2 22ln e e 1 3 e 0y < - - = - < ,所以 2 21 1 1[( ) ] ln( ) 1 0g a a a- = - + - < , 所以 ( )g x 在 1( )a- + ¥, 上存在一个零点. 综上可知,实数 a 的取值范围为 2( e ,0)-- .…………………………………10 分 (3)当 2a = 时, 1( ) (2 )lnf x xx= - , ( )2 2 1 1 1 2 1 ln( ) ln 2 x xf x x x xx x - +¢ = + - = , 设 ( ) 2 1 lng x x x= - + ,则 1( ) 2 0g x x¢ = + > .所以 ( )g x 单调递增, 且 1 1( ) ln 02 2g = < , (1) 1 0g = > ,所以存在 0 1( 1)2x Î , 使得 0( ) 0g x = ,……12 分 因为当 0(0 )x xÎ , 时, ( ) 0g x < ,即 ( ) 0f x¢ < ,所以 ( )f x 单调递减; 当 0( + )x xÎ ¥, 时, ( ) 0g x > ,即 ( ) 0f x¢ > ,所以 ( )f x 单调递增, 所以 0x x= 时, ( )f x 取得极小值,也是最小值, 此时 ( )0 0 0 0 0 0 0 1 1 1( ) (2 )ln (2 ) 1 2 (4 ) 4f x x x xx x x= - = - - = - + + ,……………14 分 因为 0 1( 1)2x Î , ,所以 0( ) ( 1 0)f x Î - , , 因为 ( )f x l≥ ,且l 为整数,所以 1l -≤ ,即 l 的最大值为 1- .………16 分 20.(1)由 1 1n na ka+ = - , 1 3a = 可知, 2 3 1a k= - , 2 3 3 1a k k= - - , 因为{ 1}na - 为等比数列,所以 2 2 1 3( 1) ( 1)( 1)a a a- = - - , 即 2 2(3 2) 2 (3 2)k k k- = ´ - - ,即 23 10 8 0k k- + = ,解得 2k = 或 4 3k = ,…2 分 当 4 3k = 时, 1 43 ( 3)3n na a+ - = - ,所以 3na = ,则 1 2na - = , 所以数列{ 1}na - 的公比为 1,不符合题意; 当 2k = 时, 1 1 2( 1)n na a+ - = - ,所以数列{ 1}na - 的公比 1 1 21 n n aq a + -= =- , 所以实数 k 的值为 2 . …………………………………………………………4 分 (2)由(1)知 1 2n na - = ,所以 4 n n n nb n - ,ìï= í2 ,ïî 为奇数, 为偶数, 则 2 2 (4 1) 4 (4 3) 4 [4 (2 1)] 4m mS m= - + + - + + + - - + 2(4 1) (4 3) [4 (2 1)] 4 4 4mm= - + - + + - - + + + + 14 4(4 ) 3 m m m + -= - + ,……………………………………………………6 分 则 2 1 2 2 4 4(4 ) 3 m m m mS S b m m- -= - = - + , 因为 2 2 +1 3 2 4m m mb b m+ = - + ,又 2 2 2 +3 2 2 +1( ) ( ) 3 4 2 0m m m m mb b b b+ + - + = ´ - > , 且 2 3 5 0b b+ = > , 1 3 0b = > ,所以 2 1 0mS - > ,则 2 0mS > , 设 2 2 1 0,m t m S b tS - = > Î *N ,…………………………………………………………8 分 则 1,3t = 或t 为偶数,因为 3 1b = 不可能,所以 1t = 或t 为偶数, ①当 2 1 2 1 =m m S bS - 时, 14 4(4 ) 3 34 4(4 ) 3 m m m m m m + -- + =-- + ,化简得 26 24 8 4 4mm m- + = - -≤ , 即 2 4 2m m- + ≤0 ,所以 m 可取值为 1,2,3, 验证 62 4 1 3 5 7 87, 3,3 23 SS S S S S= = = 得,当 2m = 时, 4 1 3 S bS = 成立.…………………12 分 ②当t 为偶数时, 1 2 2 2 1 4 4(4 ) 33 14 4 3 12 4(4 ) 13 4 m m m m m m mS S m mm m + - -- + = = +- - + -- + + , 设 23 12 4 4m m m mc - + -= ,则 2 1 1 9 42 21 4m m m m mc c+ + - +- = , 由①知 3m > ,当 4m = 时, 5 4 5 3 04c c -- = < ; 当 4m > 时, 1 0m mc c+ - > ,所以 4 5 6c c c> < < ,所以 mc 的最小值为 5 19 1024c -= , 所以 2 2 1 30 1 519 11024 m m S S - < < + <- + ,令 2 2 2 1 4m m S bS - = = ,则 2 31 43 12 4 14m m m+ =- + - + , 即 23 12 4 0m m- + - = ,无整数解. 综上,正整数 m 的值 2 .………………………………………………………16 分 数学Ⅱ参考答案与评分标准 21.A.矩阵 M 的特征多项式为 2 3( ) ( 2)( 1) 31f tt ll l ll - -= = - - -- - .…………2 分 因为矩阵 M 的一个特征值为 4,所以 (4) 6 3 0f t= - = ,所以 2t = .…………5 分 所以 2 3 2 1 é ù= ê úë û M ,所以 1 1 3 1 3 2 1 3 2 2 1 3 2 4 4 2 2 1 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 2 - -é ù é ù-ê ú ê ú´ - ´ ´ - ´= =ê ú ê ú- -ê ú ê ú´ - ´ ´ - ´ ë ûë û M .……10 分 B.由 : cos sin 12 0l r q r j+ - = ,及 cosx r q= , siny r q= , 所以l 的直角坐标方程为 12 0x y+ - = . ………………………………………2 分 在曲线C 上取点 ( )2 3 cos 2sinM j j, ,则点 M 到l 的距离 ( ) ( )4sin 12 12 4sin2 3 cos 2sin 12 3 3 2 2 2 d j jj j p p+ - - ++ - = = = ,…………6 分 (第 22 题) B A C x y z B1 A1 C1 当 6j p= 时, d 取最小值 4 2 ,…………………………………………………8 分 此时点 M 的坐标为( )3,1 .………………………………………………………10 分 C.因为 x y z, , 都为正数,且 1x y z+ + = , 所以由柯西不等式得, 1 1 13( )2 2 2x y y z z x+ ++ + + 1 1 1( ) [( 2 ) ( 2 ) ( 2 )]2 2 2 x y y z z xx y y z z x= + + × + + + + ++ + + ………………5 分 21 1 1( 2 2 2 ) 92 2 2x y y z z xx y y z z x× + + × + + × + =+ + +≥ , 当且仅当 1 3x y z= = = 时等号成立, 所以 1 1 1 2 2 2x y y z z x+ ++ + + 的最小值为 3.…………………………………10 分 22.(1)因为四边形 1 1AA B B 为正方形,所以 1AB BB^ , 因为平面 1 1AA B B ^平面 1 1BB C C ,平面 1 1AA B B 平面 1 1 1BB C C BB= , AB Ì 平面 1 1AA B B ,所以 AB ^ 平面 1 1BB C C . ……………………………2 分 以点 B 为坐标原点,分别以 BA , 1BB 所在的直线 为 x , y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz- . 不妨设正方形 1 1AA B B 的边长为 2, 则 ( )2 0 0A , , , ( )1 0 2 0B , , . 在菱形 1 1BB C C 中,因为 1 1 60BB CÐ = ° , 所以 1(0 1 3)C , , ,所以 1 ( 2 1 3)AC = - , , . 因为平面 1 1AA B B 的法向量为 ( )0 0 1= , ,n , 设直线 1AC 与平面 1 1AA B B 所成角为a , 则 1 | 3 | 6sin |cos , | 42 2 1 ACa = < > = = ´ n , 即直线 1AC 与平面 1 1AA B B 所成角的正弦值为 6 4 .………………………6 分 (2)由(1)可知, ( )0 1 3C -, , ,所以 ( )1 0 2 0CC = , , . 设平面 1ACC 的一个法向量为 ( )1 1 1 1x y z= , ,n , 因为 1 1 1 1 0, 0, AC CC ì × =ïí × =ïî n n 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 3 0 0 2 0 0 x y z x y z ì × - =ïí × =ïî , , , , , , , , , 取 1 3 2x = , 1 0y = , 1 1z = ,即 1 3 0 12 æ ö= ç ÷è ø , ,n . 设平面 1ABC 的一个法向量为 ( )2 2 2 2x y z= , ,n , 因为 ( )2 0 0BA = , , , ( )1 0 1 3BC = , , , 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 3 0 x y z x y z × =ìïí × =ïî , , , , , , , , ,取 ( )2 0 3 1= -, ,n .…………8 分 设二面角 1B AC C- - 的平面角为q , 则 1 2 1 2 1 2 71cos cos 73 1 3 14 q × -= - < >= - = - =× + × + , n nn n n n , 所以二面角 1B AC C- - 的余弦值为 7 7 .…………………………………10 分 23.(1)因为 4n = ,所以 0 4 0 4 2 16C ( ) =3 81a = , 1 3 1 4 2 32C ( ) =3 27a = .……………………2 分 (2)当 1 3x = 时, 2 1C ( ) ( )3 3 k k n k k k na x -= , 又因为 1 1 ! ( 1)!C C!( )! ( 1)!( )! k k n n n nk k n nk n k k n k - - -= = =- - - ,………………………4 分 当 1n = 时, 0 1 1 0 2 2( ) C ( )3 3 n k k k n k a x = - = =å ; …………………………………5 分 当 2n≥ 时, 0 0 2 1( ) ( )C ( ) ( )3 3 n n k k n k k k n k k n k a x n k - = = - = -å å 0 1 2 1 2 1C ( ) ( ) C ( ) ( )3 3 3 3 n n k n k k k n k k n n k k n k- - = = = -å å 1 1 1 2 1 2 1( ) C ( ) ( )3 3 3 3 n n k n k k n k n n - - - = = + - å 1 1 1 1 1 2 1C ( ) ( )3 3 3 n k n k k n k n n - - - - = = - å 11 2 1( )3 3 3 nn n -= - + 2 3 n= , 当 1n = 时,也符合. 所以 0 ( ) n k k k n k a x = -å 的值为 2 3 n .………………………………………………10 分
查看更多

相关文章

您可能关注的文档