高考卷 江苏省高考数学试卷

高考卷 江苏省高考数学试卷

2017 年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1．（5 分）已知集合 A={1，2}，B={a，a2+3}．若 A∩B={1}，则实数 a 的值为 ． 2．（5 分）已知复数 z=（1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是 ． 3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200， 400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 4．（5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为 ，则输出 y 的值是 ． 5．（5 分）若 tan（α﹣ ）= ．则 tanα= ． 6．（5 分）如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均 相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 ． 7．（5 分）记函数 f（x）= 定义域为 D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数 x，则 x ∈ D 的概率是 ． 8．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ﹣y2=1 的右准线与它的两条渐 近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是 ． 9．（5 分）等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项为 Sn，已知 S3= ，S6= ， 则 a8= ． 10．（5 分）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次， 一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 ． 11．（5 分）已知函数 f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数 a 的取值范围是 ． 12．（5 分）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ， 与 的夹角为α，且 tanα=7， 与 的夹角为 45°．若 =m +n （m，n ∈ R）， 则 m+n= ． 13．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（﹣12，0），B（0，6），点 P 在圆 O： x2+y2=50 上．若 ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 ． 14．（5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0，1）上，f（x） = ，其中集合 D={x|x= ，n ∈ N*}，则方程 f（x）﹣lgx=0 的解的个数 是 ． 二.解答题 15．（14 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面 ABC； （2）AD⊥AC． 16．（14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x ∈ [0，π]． （1）若 ∥ ，求 x 的值； （2）记 f（x）= ，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值． 17．（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： =1（a＞b＞0） 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1，过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若直线 l1，l2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标． 18．（16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ 的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角 线 EG，E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深 均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略 不计） （1）将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1 上，求 l 没 入水中部分的长度； （2）将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1 上，求 l 没 入水中部分的长度． 19．（16 分）对于给定的正整数 k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k ﹣1+an+k=2kan 对任意正整数 n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”． （1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”； （2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列． 20．（16 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b ∈ R）有极值，且导函数 f′（x） 的极值点是 f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若 f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求 a 的取值范围． 二.非选择题，附加题（21-24 选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分 0 分） 21．如图，AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C，AP⊥PC，P 为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB； （2）AC2 =AP•AB． [选修 4-2：矩阵与变换] 22．已知矩阵 A= ，B= ． （1）求 AB； （2）若曲线 C1： =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2 的方程． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 曲线 C 的参数方程为 （s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到 直线 l 的距离的最小值． ［选修 4-5：不等式选讲］ 24．已知 a，b，c，d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd≤8． 【必做题】 25．如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥平面 ABCD，且 AB=AD=2， AA1= ，∠BAD=120°． （1）求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值； （2）求二面角 B﹣A1D﹣A 的正弦值． 26．已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球（m，n ∈ N*，n≥2），这些球除颜色外 全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1，2，3，…， m+n 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）． 1 2 3 … m+n （1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p； （2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是 X 的 数学期望，证明 E（X）＜ ． 2017 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一.填空题 1．（5 分）（2017•江苏）已知集合 A={1，2}，B={a，a2+3}．若 A∩B={1}，则实 数 a 的值为 1 ． 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5J ：集合． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合 A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}， ∴a=1 或 a2+3=1， 解得 a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义 及性质的合理运用． 2．（5 分）（2017•江苏）已知复数 z=（1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的 模是 ． 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：复数 z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i， ∴|z|= = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题． 3．（5 分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量 分别为 200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以 上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件． 【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5I ：概率与统计． 【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出应从丙种型号的产 品中抽取的数目． 【解答】解：产品总数为 200+400+300+100=1000 件，而抽取 60 件进行检验， 抽样比例为 = ， 则应从丙种型号的产品中抽取 300× =18 件， 故答案为：18 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的 结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行 抽取． 4．（5 分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为 ，则输出 y 的值是 ﹣2 ． 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5K ：算法和程序 框图． 【分析】直接模拟程序即得结论． 【解答】解：初始值 x= ，不满足 x≥1， 所以 y=2+log2 =2﹣ =﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方 法的积累，属于基础题． 5．（5 分）（2017•江苏）若 tan（α﹣ ）= ．则 tanα= ． 【考点】GR：两角和与差的正切函数．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；56 ：三角函数的求值． 【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可 【解答】解：∵tan（α﹣ ）= = = ∴6tanα﹣6=tanα+1， 解得 tanα= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题 6．（5 分）（2017•江苏）如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下 底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 ． 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG： 球的体积和表面积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离． 【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果． 【解答】解：设球的半径为 R，则球的体积为： R3， 圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3． 则 = = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算 能力． 7．（5 分）（2017•江苏）记函数 f（x）= 定义域为 D．在区间[﹣4，5] 上随机取一个数 x，则 x ∈ D 的概率是 ． 【考点】CF：几何概型．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5I ：概率与统计． 【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【解答】解：由 6+x﹣x2≥0 得 x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则 D=[﹣2，3]， 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数 x，则 x ∈ D 的概率 P= = ， 故答案为： 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出 D， 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键． 8．（5 分）（2017•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ﹣y2=1 的右准线 与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积 是 ． 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版 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：转化思想；48 ：分析法；51 ：函数的性质及应用；53 ：导数的 综合应用． 【分析】求出 f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得 f（x）在 R 上递增；再由奇偶性的定义，可得 f（x）为奇函数，原不等式即为 2a2≤1﹣a， 运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数 f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为： f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0， 可得 f（x）在 R 上递增； 又 f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0， 可得 f（x）为奇函数， 则 f（a﹣1）+f（2a2）≤0， 即有 f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）， 即有 2a2≤1﹣a， 解得﹣1≤a≤ ， 故答案为：[﹣1， ]． 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法， 考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 12．（5 分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ， 与 的夹角为α，且 tanα=7， 与 的夹角为 45°．若 =m +n （m，n ∈ R），则 m+n= 3 ． 【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；34 ：方程思想；35 ：转化思想；5A ：平面向量及 应用． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为α，且 tanα=7．可 得 cosα= ，sinα= ．C ．可得 cos（α+45°）= ．sin（α+45°） = ．B ．利用 =m +n （m，n ∈ R），即可得出． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）． 由 与 的夹角为α，且 tanα=7． ∴cosα= ，sinα= ． ∴C ． cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ． sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ． ∴B ． ∵ =m +n （m，n ∈ R）， ∴ =m﹣ n， =0+ n， 解得 n= ，m= ． 则 m+n=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 13．（5 分）（2017•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A（﹣12，0），B（0，6）， 点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若 ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 [﹣ 5 ，1] ． 【考点】9R：平面向量数量积的运算；7B：二元一次不等式（组）与平面区域．菁 优网版权 所有 【专题】11 ：计算题；5B ：直线与圆；5T ：不等式． 【分析】根据题意，设 P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2x0+y0+5 ≤0，分析可得其表示表示直线 2x+y+5≤0 以及直线下方的区域，联立直线与圆 的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设 P（x0，y0），则有 x02+y02=50， =（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02 ≤20， 化为：12x0﹣6y0+30≤0， 即 2x0﹣y0+5≤0，表示直线 2x﹣y+5=0 以及直线上方的区域， 联立 ，解可得 x0=﹣5 或 x0=1， 结合图形分析可得：点 P 的横坐标 x0 的取值范围是[﹣5 ，1]， 故答案为：[﹣5 ，1]． 【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化 简变形得到关于 x0、y0 的关系式． 14．（5 分）（2017•江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0， 1）上，f（x）= ，其中集合 D={x|x= ，n ∈ N*}，则方程 f（x）﹣lgx=0 的解的个数是 8 ． 【考点】54：根的存在性及根的个数判断．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】由已知中 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0，1）上，f （x）= ，其中集合 D={x|x= ，n ∈ N*}，分析 f（x）的图象与 y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案． 【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）= ， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数， ∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时 f（x）的图象与 y=lgx 有且 只有一个交点； 同理： 区间[2，3）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与 y=lgx 无交点； 故 f（x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点； 即方程 f（x）﹣lgx=0 的解的个数是 8， 故答案为：8 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质， 转化思想，难度中档． 二.解答题 15．（14 分）（2017•江苏）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平 面 ABD⊥平面 BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥ AD． 求证：（1）EF∥平面 ABC； （2）AD⊥AC． 【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁 优网版权 所有 【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系 与距离． 【分析】（1）利用 AB∥EF 及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段 CD 上点 G，连结 FG、EG 使得 FG∥BC，则 EG∥AC，利用线面 垂直的性质定理可知 FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知 AD⊥平面 EFG，从 而可得结论． 【解答】证明：（1）因为 AB⊥AD，EF⊥AD，且 A、B、E、F 四点共面， 所以 AB∥EF， 又因为 EF ⊊ 平面 ABC，AB ⊆ 平面 ABC， 所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面 ABC； （2）在线段 CD 上取点 G，连结 FG、EG 使得 FG∥BC，则 EG∥AC， 因为 BC⊥BD，FG∥BC， 所以 FG⊥BD， 又因为平面 ABD⊥平面 BCD， 所以 FG⊥平面 ABD，所以 FG⊥AD， 又因为 AD⊥EF，且 EF∩FG=F， 所以 AD⊥平面 EFG，所以 AD⊥EG， 故 AD⊥AC． 【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思 想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累， 属于中档题． 16．（14 分）（2017•江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x ∈ [0， π]． （1）若 ∥ ，求 x 的值； （2）记 f（x）= ，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与 性质；5A ：平面向量及应用． 【分析】（1）根据向量的平行即可得到 tanx=﹣ ，问题得以解决， （2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 【解答】解：（1）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ， ∴﹣ cosx=3sinx， ∴tanx=﹣ ， ∵x ∈ [0，π]， ∴x= ， （2）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣ sinx）=2 cos（x+ ）， ∵x ∈ [0，π]， ∴x+ ∈ [ ， ]， ∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ， 当 x=0 时，f（x）有最大值，最大值 3， 当 x= 时，f（x）有最小值，最小值﹣2 ． 【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数 的性质，属于基础题 17．（14 分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： =1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1，过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若直线 l1，l2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标． 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方 程． 【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得 a=2c，由椭圆的准线方程 x=± ，则 2 × =8，即可求得 a 和 c 的值，则 b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程； （2）设 P 点坐标，分别求得直线 PF2 的斜率及直线 PF1 的斜率，则即可求得 l2 及 l1 的斜率及方程，联立求得 Q 点坐标，由 Q 在椭圆方程，求得 y02=x02﹣1，联 立即可求得 P 点坐标； 方法二：设 P（m，n），当 m≠1 时， = ， = ，求得直线 l1 及 l1 的方程，联立求得 Q 点坐标，根据对称性可得 =±n2，联立椭圆方程，即可 求得 P 点坐标． 【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率 e= = ，则 a=2c，① 椭圆的准线方程 x=± ，由 2× =8，② 由①②解得：a=2，c=1， 则 b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆的标准方程： ； （2）方法一：设 P（x0，y0），则直线 PF2 的斜率 = ， 则直线 l2 的斜率 k2=﹣ ，直线 l2 的方程 y=﹣ （x﹣1）， 直线 PF1 的斜率 = ， 则直线 l2 的斜率 k1=﹣ ，直线 l1 的方程 y=﹣ （x+1）， 联立 ，解得： ，则 Q（﹣x0， ）， 由 P，Q 在椭圆上，P，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则 y0= ， ∴y02=x02﹣1， 则 ，解得： ，则 ， 又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为： P（ ， ）． 方法二：设 P（m，n），由 P 在第一象限，则 m＞0，n＞0， 当 m=1 时， 不存在，解得：Q 与 F1 重合，不满足题意， 当 m≠1 时， = ， = ， 由 l1⊥PF1，l2⊥PF2，则 =﹣ ， =﹣ ， 直线 l1 的方程 y=﹣ （x+1），①直线 l2 的方程 y=﹣ （x﹣1），② 联立解得：x=﹣m，则 Q（﹣m， ）， 由 Q 在椭圆方程，由对称性可得： =±n2， 即 m2﹣n2=1，或 m2+n2=1， 由 P（m，n），在椭圆方程， ，解得： ，或 ，无 解， 又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为： P（ ， ）． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公 式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题． 18．（16 分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台 形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 cm，容器Ⅱ 的两底面对角线 EG，E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中 注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃 棒粗细均忽略不计） （1）将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1 上，求 l 没 入水中部分的长度； （2）将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1 上，求 l 没 入水中部分的长度． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系 与距离． 【分析】（1）设玻璃棒在 CC1 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过 N 作 NP∥MC，交 AC于点 P，推导出 CC1⊥平面 ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出 MC=30cm， 推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒 l 没入水中部分的长度． （2）设玻璃棒在 GG1 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过点 N 作 NP⊥EG， 交 EG 于点 P，过点 E 作 EQ⊥E1G1，交 E1G1 于点 Q，推导出 EE1G1G 为等腰梯形， 求出 E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出 sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒 l 没入水中部分的长度． 【解答】解：（1）设玻璃棒在 CC1 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N， 在平面 ACM 中，过 N 作 NP∥MC，交 AC 于点 P， ∵ABCD﹣A1B1C1D1 为正四棱柱，∴CC1⊥平面 ABCD， 又∵AC ⊂ 平面 ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC， ∴NP=12cm，且 AM2=AC2+MC2，解得 MC=30cm， ∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC， ∴ = ， ，得 AN=16cm． ∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm． （2）设玻璃棒在 GG1 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N， 在平面 E1EGG1 中，过点 N 作 NP⊥EG，交 EG 于点 P， 过点 E 作 EQ⊥E1G1，交 E1G1 于点 Q， ∵EFGH﹣E1F1G1H1 为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1， EG≠E1G1， ∴EE1G1G 为等腰梯形，画出平面 E1EGG1 的平面图， ∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm， ∴E1Q=24cm， 由勾股定理得：E1E=40cm， ∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ， 根据正弦定理得： = ，∴sin ，cos ， ∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ， ∴EN= = =20cm． ∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm． 【点评】本题考查玻璃棒 l 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能 力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 19．（16 分）（2017•江苏）对于给定的正整数 k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an ﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan 对任意正整数 n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k） 数列”． （1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”； （2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列． 【考点】8B：数列的应用．菁优网版 权所有 【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数 列． 【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an ﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得 数列{an}是“P（3）数列”； （2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{an}从第 3 项起为等差数列，再通 过判断 a2 与 a3 的关系和 a1 与 a2 的关系，可知{an}为等差数列． 【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为 a1，公差为 d，则 an=a1+（n﹣1） d， 则 an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3， =（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）， =2an+2an+2an， =2×3an， ∴等差数列{an}是“P（3）数列”； （2）证明：当 n≥4 时，因为数列{an}是 P（3）数列，则 an ﹣ 3+an ﹣ 2+an ﹣ 1+an+1+an+2+an+3=6an，①， 因为数列{an}是“P（2）数列”，所以 an﹣3+an﹣3+an+an+1=4an﹣1，②， an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，③， ②+③﹣①，得 2an=4an﹣1+4an+1﹣6an，即 2an=an﹣1+an+1，（n≥4）， 因此 n≥4 从第 3 项起为等差数列，设公差为 d，注意到 a2+a3+a5+a6=4a4， 所以 a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4（a3+d）﹣a3﹣（a3+2d）﹣（a3+3d）=a3﹣d， 因为 a1+a2+a4+a5=4a3，所以 a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d） =a2﹣d， 也即前 3 项满足等差数列的通项公式， 所以{an}为等差数列． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算， 考查转化思想，属于中档题． 20．（16 分）（2017•江苏）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b ∈ R）有极值， 且导函数 f′（x）的极值点是 f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自 变量的值） （1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若 f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求 a 的取值范围． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）通过对 f（x）=x3+ax2+bx+1 求导可知 g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进 而再求导可知 g′（x）=6x+2a，通过令 g′（x）=0 进而可知 f′（x）的极小值点为 x=﹣ ，从而 f（﹣ ）=0，整理可知 b= + （a＞0），结合 f（x）=x3+ax2+bx+1 （a＞0，b ∈ R）有极值可知 f′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a＞3． （2）通过（1）构造函数 h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3 ﹣27），结合 a＞3 可知 h（a）＞0，从而可得结论； （3）通过（1）可知 f′（x）的极小值为 f′（﹣ ）=b﹣ ，利用韦达定理及完 全平方关系可知 y=f（x）的两个极值之和为 ﹣ +2，进而问题转化为解不 等式 b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，因式分解即得结论． 【解答】（1）解：因为 f（x）=x3+ax2+bx+1， 所以 g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a， 令 g′（x）=0，解得 x=﹣ ． 由于当 x＞﹣ 时 g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当 x＜﹣ 时 g′（x）＜ 0，g（x）=f′（x）单调递减； 所以 f′（x）的极小值点为 x=﹣ ， 由于导函数 f′（x）的极值点是原函数 f（x）的零点， 所以 f（﹣ ）=0，即﹣ + ﹣ +1=0， 所以 b= + （a＞0）． 因为 f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b ∈ R）有极值， 所以 f′（x）=3x2+2ax+b=0 的实根， 所以 4a2﹣12b≥0，即 a2﹣ + ≥0，解得 a≥3， 所以 b= + （a≥3）． （2）证明：由（1）可知 h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3 ﹣27）， 由于 a＞3，所以 h（a）＞0，即 b2＞3a； （3）解：由（1）可知 f′（x）的极小值为 f′（﹣ ）=b﹣ ， 设 x1，x2 是 y=f（x）的两个极值点，则 x1+x2= ，x1x2= ， 所以 f（x1）+f（x2）= + +a（ + ）+b（x1+x2）+2 =（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2 = ﹣ +2， 又因为 f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ， 所以 b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ， 因为 a＞3，所以 2a3﹣63a﹣54≤0， 所以 2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0， 所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0， 由于 a＞3 时 2a2+12a+9＞0， 所以 a﹣6≤0，解得 a≤6， 所以 a 的取值范围是（3，6]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查 转化思想，注意解题方法的积累，属于难题． 二.非选择题，附加题（21-24 选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分 0 分） 21．（2017•江苏）如图，AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C，AP⊥ PC，P 为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB； （2）AC2 =AP•AB． 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；5B ：直线与圆；5M ：推理和证明． 【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明． （2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明． 【解答】证明：（1）∵直线 PC 切半圆 O 于点 C，∴∠ACP=∠ABC． ∵AB 为半圆 O 的直径，∴∠ACB=90°． ∵AP⊥PC，∴∠APC=90°． ∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC， ∴∠PAC=∠CAB． （2）由（1）可得：△APC∽△ACB， ∴ = ． ∴AC2 =AP•AB． 【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的 判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修 4-2：矩阵与变换] 22．（2017•江苏）已知矩阵 A= ，B= ． （1）求 AB； （2）若曲线 C1： =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2 的方程． 【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．菁优网版 权所有 【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换． 【分析】（1）按矩阵乘法规律计算； （2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线 C1 的方程化简即可． 【解答】解：（1）AB= = ， （2）设点 P（x，y）为曲线 C1 的任意一点， 点 P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P′（x0，y0）， 则 = ，即 x0=2y，y0=x， ∴x=y0，y= ， ∴ ，即 x02+y02=8， ∴曲线 C2 的方程为 x2+y2=8． 【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．（2017•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C 的参数方程为 （s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点， 求点 P 到直线 l 的距离的最小值． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版 权所有 【专题】38 ：对应思想；4Q：参数法；5S ：坐标系和参数方程． 【分析】求出直线 l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s 的函数，从而得出最短距离． 【解答】解：直线 l 的直角坐标方程为 x﹣2y+8=0， ∴P 到直线 l 的距离 d= = ， ∴当 s= 时，d 取得最小值 = ． 【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题． ［选修 4-5：不等式选讲］ 24．（2017•江苏）已知 a，b，c，d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd ≤8． 【考点】7F：基本不等式；R6：不等式的证明．菁优网版 权所有 【专题】56 ：三角函数的求值；5M ：推理和证明；5T ：不等式． 【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令 a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入 ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2 ≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出． 【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16， 令 a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ． ∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当 cos（α﹣β）=1 时取等号． 因此 ac+bd≤8． 另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当 时取等号． ∴﹣8≤ac+bd≤8． 【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题． 【必做题】 25．（2017•江苏）如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥平面 ABCD， 且 AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°． （1）求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值； （2）求二面角 B﹣A1D﹣A 的正弦值． 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5G ：空间角． 【分析】在平面 ABCD 内，过 A 作 Ax⊥AD，由 AA1⊥平面 ABCD，可得 AA1⊥Ax， AA1⊥AD，以 A 为坐标原点，分别以 Ax、AD、AA1 所在直线为 x、y、z 轴建立空 间直角坐标系．结合已知求出 A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标． （1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦 值； （2）求出平面 BA1D 与平面 A1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值 求得二面角 B﹣A1D﹣A 的余弦值，进一步得到正弦值． 【解答】解：在平面 ABCD 内，过 A 作 Ax⊥AD， ∵AA1⊥平面 ABCD，AD、Ax ⊂ 平面 ABCD， ∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD， 以 A 为坐标原点，分别以 Ax、AD、AA1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标 系． ∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°， ∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0）， D（0，2，0）， A1（0，0， ），C1（ ）． = （ ）， = （ ）， ， ． （1）∵cos＜ ＞= = ． ∴异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 ； （2）设平面 BA1D 的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取 x= ，得 ； 取平面 A1AD 的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二 面 角 B ﹣ A1D ﹣ A 的 正 弦 值 为 ， 则 二 面 角 B ﹣ A1D ﹣ A 的 正 弦 值 为 ． 【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角， 是中档题． 26．（2017•江苏）已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球（m，n ∈ N*，n≥2），这 些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编 号为 1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉（k=1， 2，3，…，m+n）． 1 2 3 … m+n （1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p； （2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是 X 的 数学期望，证明 E（X）＜ ． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版 权所有 【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）设事件 Ai 表示编号为 i 的抽屉里放的是黑球，则 p=p（A2）=P（A2|A1） P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率． （2）X 的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…， n+m，从而 E（X）= （ ）= ，由此能证明 E（X）＜ ． 【解答】解：（1）设事件 Ai 表示编号为 i 的抽屉里放的是黑球， 则 p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ） = = = ． 证明：（2）∵X 的所有可能取值为 ，…， ， P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m， ∴E（X）= （ ）= = ＜ = = •（ ） = = ， ∴E（X）＜ ． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础 知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、 化归与转化思想，是中档题． 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；whgcn；cst；qiss；maths； 双曲线；danbo7801；豫汝王世崇；铭灏 2016；zhczcb；sxs123（排名不分先后） 菁优网 2017 年 8 月 1 日 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．根的存在性及根的个数判断 【根的存在性及根的个数判断】 第一个定理应该叫介值定理．内容是如果一个连续的函数 f（x），[a，b]在 这个函数的定义域内，并且 f（a）与 f（b）异号，那么存在 c ∈ [a，b]使得 f（c） =0 也就是 c 是方程 f（x）=0 的根 第二个定理可以叫 Rolle 定理 如果函数 f（x） 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b） 内可导，且 f （a）=f（b），那么在（a，b） 内至少有一点ξ （a＜ξ＜B），使得函数 f′（ξ） = =0，这个可以判断出导函数零点是否存在． 第三个定理是代数学基本定理 任何复系数一元 n 次方程在复数域上至少有一根（n≥1）由此推出，n 次复 系数多项式方程在复数域内有且只有 n 个根（重根按重数计算），这个是复数域 上，高考较少涉及． 【判定方法】 这里面用的比较多的是 f（a）•f（b）＜0 和数形结合法，我们以具体例子 为例： 例题：判断函数 f（x）=ex﹣5 零点的个数 解：法一 f（0）=﹣4＜0，f（3）=e3﹣5＞0， ∴f（0）•f（3）＜0． 又∵f（x）=ex﹣5 在 R 上是增函数， ∴函数 f（x）=ex﹣5 的零点仅有一个． 法二 令 y1=ex，y2=5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，故函数 f（x） =ex﹣5 的零点仅有一个 【高考趋势】 根的存在问题相对来说是零点里头最重要的一个点，也是比较常考的点，一 般都是以中档题的形式在选择题里出现，在解这种题的时候，做出函数图象是首 要选择，然后根据图形去寻找答案． 3．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， ∴对任意 x ∈ R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0 得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a ∈ R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t ∈ [1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2 分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t ∈ [1，2]，g′（t）＜0 恒成立， 所以有： ，∴ （10 分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x ∈ （1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x ∈ （1，+∞）成立，（12 分） ∵n≥2，n ∈ N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 4．利用导数研究函数的极值 【知识点的知识】 1、极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有 的点，都有 f（x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值，记作 y 极大 值=f（x0），x0 是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的 点，都有 f（x）＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值 =f（x0），x0 是极小值点． 2、极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点 的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最 小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极 小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 3、判别 f（x0）是极大、极小值的方法： 若 x0 满足 f′（x0）=0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 4、求函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格，检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号即都为正或都为负，则 f（x）在这个根处无极值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有 限个极值点时，函数 f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 5．二元一次不等式（组）与平面区域 【知识点的知识】 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 1、二元一次不等式表示的平面区域 一般地，直线 l：ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线 l 上的点（x，y）的坐标满足 ax+by+c=0； ②直线 l 一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足 ax+by+c＞0； ③直线 l 另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足 ax+by+c＜0． 所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从 ax0+by0+c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域． 2、线性规划相关概念 名称 意义 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 可行解 满足约束条件的解（x，y） 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处 取得 二元线性 规划问题 如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最 大值或最小值问题叫作二元线性规划问题 3、线性规划 （1）不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z=Ax+By 是欲达到最大值或最小 值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数．由于 z=Ax+By 又是关 于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数． 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． （2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统 称为线性规划问题． （3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的 集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中 可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做 这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整 数解必须首先要看它们是否在可行． 4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： ①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ②设 z=0，画出直线 l0． ③观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解． ④最后求得目标函数的最大值及最小值． 5、利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数． 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数 取得最值的解． 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况 求得最优解． 【典型例题分析】 题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分， 则 k 的值是 （ ） A． B． C． D． 分析：画出平面区域，显然点（0， ）在已知的平面区域内，直线系过定点（0， ），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可． 解答：不等式组表示的平面区域如图所示． 由于直线 y=kx+ 过定点（0， ）．因此只有直线过 AB 中点时，直线 y=kx+ 能 平分平面区域． 因为 A（1，1），B（0，4），所以 AB 中点 D（ ， ）． 当 y=kx+ 过点（ ， ）时， = + ，所以 k= ． 答案：A． 点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域． 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实 线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点． 题型二：求线性目标函数的最值 典例 2：设 x，y 满足约束条件： ，求 z=x+y 的最大值与最小值． 分析：作可行域后，通过平移直线 l0：x+y=0 来寻找最优解，求出目标函数的最 值． 解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得 A（5，2）、B（1，1）、C （1，），作出直线 l0：x+y=0，再将直线 l0 平移，当 l0 的平行线 l1 过点 B 时，可使 z=x+y 达到最小值；当 l0 的平行线 l2 过点 A 时，可使 z=x+y 达到最大值．故 zmin=2， zmax=7． 点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在 边界处取得． （2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义， 明确和直线的纵截距的关系． 题型三：实际生活中的线性规划问题 典例 3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩 年种植成本/ 亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和 韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ） A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出 约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题． 解析 设种植黄瓜 x 亩，韭菜 y 亩，则由题意可知 求目标函数 z=x+0.9y 的最大值， 根据题意画可行域如图阴影所示． 当目标函数线 l 向右平移，移至点 A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即 当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大．故答案为：B 点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系， 最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线 性规划问题，再按如下步骤完成： （1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系 中过原点的那一条 l； （2）平移﹣﹣将 l 平行移动，以确定最优解的对应点 A 的位置； （3）求值﹣﹣解方程组求出 A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最 值． 题型四：求非线性目标函数的最值 典例 4：（1）设实数 x，y 满足 ，则的最大值为 ． （2）已知 O 是坐标原点，点 A（1，0），若点 M（x，y）为平面区域上 的一个动点，则| + |的最小值是 ． 分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问 题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成． 解答：（1） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1， ）处取到 最大值． （2）依题意得， + =（x+1，y），| + |= 可视为点（x，y）与 点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结 合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线 x+y=2 引垂线的垂 足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此| + |的最小值是 = ． 故答案为：（1） （2） ． 点评：常见代数式的几何意义有 （1） 表示点（x，y）与原点（0，0）的距离； （2） 表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离； （3） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率； （4） 表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率． 【解题方法点拨】 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b＞0 时，截 距 取最大值时，z 也取最大值；截距 取最小值时，z 也取最小值；当 b＜0 时， 截距 取最大值时，z 取最小值；截距 取最小值时，z 取最大值． 6．基本不等式 【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个 正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0， b≥0），变形为 ab≤（ ）2 或者 a+b≥2 ．常常用于求最值和值域． 【实例解析】 例 1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是． A：a，b 均为负数，则 ． B： ． C： ． D： ． 解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知 A、 B、D 均满足条件． 对于 C 选项中 sinx≠±2， 不满足“相等”的条件， 再者 sinx 可以取到负值． 故选：C． A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成 元素；B 分子其实可以写成 x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例 题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便． 例 2：利用基本不等式求 的最值？当 0＜x＜1 时，如何求 的最大 值． 解：当 x=0 时，y=0， 当 x≠0 时， = ， 用基本不等式 若 x＞0 时，0＜y≤ ， 若 x＜0 时，﹣ ≤y＜0， 综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ， ∴ 的最值是﹣ 与 ． 这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0， 没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两 个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理 直接求的结果． 【考点预测】 基本不等式地位非常重要，因为简单实用，也是高考考查的一个重点，出题 范围也比较广，包括选择题、填空题，甚至应用题里面，要求是会用，在能用基 本不等式解题的时候尽量用基本不等式． 7．等比数列的通项公式 【知识点的认识】 1．等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那 么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q ≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常 数． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an=a1•qn﹣1 3．等比中项： 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． G2=a•b （ab≠0） 4．等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m ∈ N*）． （2）若{an}为等比数列，且 k+l=m+n，（k，l，m，n ∈ N*），则 ak•al=am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}， 仍是等比数列． （4）单调性： 或 ⇔ {an}是递增数列； 或 ⇔ {an} 是递减数列；q=1 ⇔ {an}是常数列；q＜0 ⇔ {an}是摆动数列． 8．数列的应用 【知识点的知识】 1、数列与函数的综合 2、等差数列与等比数列的综合 3、数列的实际应用 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合． 9．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2= 2±2 • + 2．②（ ﹣ ） （ + ）= 2﹣ 2．③ •（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和 数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“ ” ②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”； ③“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”类比得到“ ⇒ ”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“| |=| |•| |”； ⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（ ）• = ”； ⑥“ ”类比得到 ． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ① ② ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“ ”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ”， 即③错误； ∵| |≠| |•| |， ∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“| |=| |•| |”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（ ）• = ”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ ”不能类比得到 ， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“ ”；向量的数量 积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”；向量 的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ” ； | | ≠ | |•| | ， 故 “|m•n|=|m|•|n|” 不 能 类 比 得 到 “| |=| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能 类比得到“（ ）• = ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能 类比得到 ． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也 是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 10．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 11．分层抽样方法 【知识点的认识】 1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总 体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在 总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”． 2．三种抽样方法比较 类 别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简 单 随 机 抽 样 抽样过程中每个 个体被抽取的概 率是相同的 从总体中逐个抽取 总体中的 个体数较 少 系 统 将总体均匀分成几个部 分，按事先确定的规则 在起始部分抽 样时采用简单 总体中的 个体数较 抽 样 在各部分抽取 随机抽样 多 分 层 抽 样 将总体分成几层，分层 进行抽取 各层抽样时采 用简单随机抽 样或系统抽样 总体由差 异明显的 几部分组 成 【解题方法点拨】 分层抽样方法操作步骤： （1）分层：将总体按某种特征分成若干部分； （2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比； （3）确定各层应抽取的样本容量； （4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综 合每层抽样，组成样本． 【命题方向】 （1）区分分层抽样方法 例：某交高三年级有男生 500 人，女生 400 人，为了解该年级学生的健康情况， 从男生中任意抽取 25 人，从女生中任意抽取 20 人进行调查．这种抽样方法是 （ ） A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法 分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 解答：总体由男生和女生组成，比例为 500：400=5：4，所抽取的比例也是 5：4． 故选 D 点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题． （2）求抽取样本数 例 1：某校高三一班有学生 54 人，二班有学生 42 人，现在要用分层抽样的方法 从两个班抽出 16 人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ） A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4 分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的 概率，即得到该层应抽取的个体数． 解答：每个个体被抽到的概率等于 = ，54× =9，42× =7． 故从一班抽出 9 人，从二班抽出 7 人， 故选 C． 点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的 概率等于该层应抽取的个体数． 例 2：某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样 本中的青年职工为 7 人，则样本容量为（ ） A.35 B.25 C.15 D.7 分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即 可． 解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7：5：3， 所以样本容量为 =15． 故选 C． 点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的 总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量 n 的值． 12．几何概型 【考点归纳】 1．定义：若一个试验具有下列特征： （1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表 示； （2）每次试验的各种结果是等可能的． 那么这样的试验称为几何概型． 2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件 A 所 对应的区域用 A 表示（A ⊆ Ω），则 P（A）= 称为事件 A 的几何概率． 13．离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机 变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 p1=p2=…=pn，则有 p1=p2=…=pn= ，Eξ=（x1+x2+…+xn）× ，所以ξ的数学期望又称 为平均数、均值． 期望的一个性质：若η=aξ+b，则 E（aξ+b）=aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 x1，x2，…，xn，…，且 取这些值的概率分别是 p1，p2，…，pn…，那么， 称 为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 Eξ 是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ． 方差的性质： ． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 14．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 15．三角函数中的恒等变换应用 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α=1． （2）商数关系： =tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）=sin α，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα，其中 k ∈ Z． 公式二：sin（π+α）=﹣sinα，cos（π+α）=﹣cosα，tan（π+α）=tan α． 公式三：sin（﹣α）=﹣sinα，cos（﹣α）=cosα，tan（﹣α）=﹣tanα． 公式四：sin（π﹣α）=sin α，cos（π﹣α）=﹣cosα，tan（π﹣α）=﹣tanα． 公式五：sin（ ﹣α）=cosα，cos（ ﹣α）=sin α，tan（ ﹣α）=cotα． 公式六：sin（ +α）=cosα，cos（ +α）=﹣sinα，tan（ +α）=﹣cotα． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）= ． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= ． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α=2sinαcosα； （2）C2α：cos 2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α； （3）T2α：tan 2α= ． 16．两角和与差的正切函数 【知识点的认识】 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）= ． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= ． 【命题方向】 （1）第一类常考题型： （2）第二类常考题型： 【解题方法点拨】 17．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =0 ± =0 质 18．直线与椭圆的位置关系 v． 19．旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【知识点的认识】 旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成 的曲面叫作旋转面；该定直线 叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体． 1．圆柱 ①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体叫做圆柱． 圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱 OO′． ②认识圆柱 ③圆柱的特征及性质 圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形． ④圆柱的体积和表面积公式 设圆柱底面的半径为 r，高为 h： 2．圆锥 ①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫做圆锥． 圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥 SO． ②认识圆锥 ③圆锥的特征及性质 与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母 线． 母线长 l 与底面半径 r 和高 h 的关系：l2=h2+r2 ④圆锥的体积和表面积公式 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l： 3．圆台 ①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周 而成的曲面所围成的几何体叫做圆台． 圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台 OO′． ②认识圆台 ③圆台的特征及性质 平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形． ④圆台的体积和表面积公式 设圆台的上底面半径为 r，下底面半径为 R，高为 h，母线长为 l： ． 20．棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式： V 柱=sh，V 锥= Sh． 21．球的体积和表面积 【知识点的认识】 1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称 球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面． 2．球体的体积公式 设球体的半径为 R， V 球体= 3．球体的表面积公式 设球体的半径为 R， S 球体=4πR2． 【命题方向】 考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增 加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键． 22．异面直线及其所成的角 【知识点的知识】 1、异面直线所成的角： 直线 a，b 是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 a′，b′，并使 a′∥a，b′ ∥b．我们把直线 a′和 b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角．异 面直线所成的角的范围：θ ∈ （0， ]．当θ=90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平 行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识： 23．空间中直线与直线之间的位置关系 【知识点的认识】 空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面 内 无 24．直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行． 用符号表示为：若 a ⊄ α，b ⊂ α，a∥b，则 a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面 内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线 线平行得到线面平行． 25．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作 二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别 取点 P、Q，将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q．如果棱记作 l，那么这个二面角记作 二面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分 别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的 平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角 ∠AOB 的大小与点 O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱 l 上的 点 O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面 角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱 垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂 直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或 补角）相等． 26．与圆有关的比例线段 【知识点的知识】 1、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 2、割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等． 3、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项． 4、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角． 【解题方法点拨】 相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆 有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长， 而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这 两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题． 因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割 线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理． 27．矩阵与矩阵的乘法的意义 【知识点的知识】 1、乘法规则 （4）两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即（AB）C=A （BC），AB≠BA，由 AB=AC 不一定能推出 B=C．一般地两个矩阵只有当前一个矩 阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2、矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法的几何意义为：对向量连续实施的两次几何变换（先 TN，后 TM） 的复合变换．但连续对向量实施 n（n ∈ N+）次变换 TM 时，记作：Mn=M•M…M （n 个 M）．两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵． 28．参数方程化成普通方程 【知识点的认识】 参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除） 消元法、三角代换法等．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x=f （t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y=g（t），那么就是曲 线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持 一致． 29．不等式的证明 【知识点的知识】 证明不等式的基本方法： 1、比较法： （1）作差比较法 ①理论依据：a＞b ⇔ a﹣b＞0；a＜b ⇔ a﹣b＜0． ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论． 注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子） 与 0 的大小关系． （2）作商比较法 ①理论依据：b＞0， ＞1 ⇒ a＞b；b＜0， ＜1 ⇒ a＜b； ②证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论． 2、综合法 （1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或 由因导果法． （2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等 式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式． 3、分析法 （1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件 为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从 而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法． （2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地 用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止． 注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、 条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法 寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程． 4、放缩法 （1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化 不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法． （2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键． 常用的放缩技巧有：