高考数学一轮复习最拿分考点系列考点4统计与概率理1

高考数学一轮复习最拿分考点系列考点4统计与概率理1

专题 4 概率与统计 考试内容 要求层次 A B C 统 计 随机抽样 简单随机抽样 √ 分层抽样和系统抽样 √ 用样本估计总 体 频率分布表、直方图、折线图、茎叶图 √ 样本数据的基本数字特征（如平均数、标准差） √ 用样本的频率分布表估计总体分步，用样本的基本 数字特征估计总体的基本数字特征 √ 变量的相关性 线性回归方程 √ 统 计 案 例 独立性检验 独立性检验（只要求 2x2 列联表）的基本思想、方 法及其简单应用。 √ 回归分析 回归分析的基本思想、方法及其简单应用。 √ 概 率 事件与概率 随机事件的概率 √ 随机事件的运算 √ 两个互斥事件的概率加法公式 √ 古典概型 古典概型 √ 几何概型 几何概型 √ 概率 取有限值的离散型随机变量及其分布列 √ 超几何分步 √ 条件概率 √ 事件的独立性 √ n 次独立重复试验与二项分布 √ 取有限值的离散型随机变量的均值、方差 √ 正态分布 √ 说明: A.了解 B.理解 C.掌握 概率与统计是高考必考重点内容之一，理科高考考查的主要内容有：抽样方法、统计图表，统计数据的数 字特征，变量间的相关关系、随机事件的概率（古典概型、几何概型），离散型随机变量及其分布列，回 归分析及独立性检验。学习中要让学生感悟解题中所蕴含建模思想，随机思想，形成阅读能力及数据处理 能力。 复习教学中提出以下建议；教学中应注意“四化”，知识理解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强 化”、解题思维“优化”。高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查 学情对症下药。数学教学与高考复习要求四通：对学生点，心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯通；让学 生做，触类旁通；让学生考，无师自通。 ★★★ 通过研究近 4 年全国高考试卷，高考中概率与统计试题主要以中档题出现，通过研究近几年全国高考试卷， 题目设置上，会有 1 个选填题；分值为 5 分。解答题 1 道为 12 分。 ○○○○ 概率与统计部分在高考中占据重要的地位，通过分析近几年的高考情况，考查特点如下表： 考什么 怎么考 题型与难度 1.概率模型与计算 ①考查利用古典概型计算概率； ②考查利用几何概型计算概率； ③考查随机变量分布列（二项分布，超几何分布）； 题型：三种题型均可出 现 难度：基础题或中档题 2.统计图与样本数 字特征 ①考查频率分布直方图，茎叶图； ②考查平均数（期望），方差、中位数及众数的计 算； 题型：三种题型均可 出现 难度：基础题或中 档题 3.统计案例 ①线性回归方程的计算与运用； ②独立性检验； 题型：解答题 难度：中档题 2014-2017 年全国高考解三角形（理科）试题分布表 年份 题型 考查角度 分值 难度 2017 年Ⅰ卷 选择题第 2 题 几何概型 5 容易 解答题第 19 题 正态分布及期望和方差 12 中等 2017 年Ⅱ卷 填空题第 13 题 二项分布的方差 5 容易 解答题第 18 题 频率分布直方图，中位数，概率与独立性检验 12 中等 2017 年Ⅲ卷 选择题第 3 题 折线统计图 5 容易 解答题第 18 题 随机变量的分布列，期望及函数 12 中等 2016 年Ⅰ卷 选择题第 4 题 几何概型 5 容易 解答题第 19 题 离散型随机变量的分布列与期望、频率分布直方图 12 中等 2016 年Ⅱ卷 选择题第 10 题 几何概型 5 中等 解答题第 18 题 互斥事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列 与期望 12 中等 2016 年Ⅲ卷 选择题第 4 题 平均数、统计的应用 5 容易 解答题第 18 题 线性相关关系与线性回归方程 12 中等 2015 年Ⅰ卷 选择题第 4 题 独立重复试验的有关概率 5 容易 解答题第 19 题 散点图、线性回归方程 12 中等 2015 年Ⅱ卷 选择题第 3 题 统计图表，正、负相关性 5 容易 解答题第 18 题 茎叶图、互斥事件、相互独立事件 12 中等 2014 年Ⅰ卷 选择题第 5 题 古典概型 5 容易 解答题第 18 题 频率分布直方图、平均数及方差、正态分布 12 中等 2014 年Ⅱ卷 选择题第 5 题 相互独立事件的概率乘法公式 5 容易 解答题第 19 题 线性回归方程 12 中等 统计的主要问题是:简单随机抽样和用样本估计总体；概率的主要问题是：随机现象与概率模型.在本专题 中，研究的基本思维模式是： 对于统计问题，构建“随机抽样→收集数据→整理分析数据→提取信息→用信息去说明问题”的框架.在统 计问题中，数据的获得是至关重要的.如果从总体中抽取的样本不均匀，不具备随机性，那么后期对样本的 数据分析就变得苍白无力，因此无论是在学习统计问题的时候，还是在进行复习的时候，都要帮助学生遵 循“随机获取、均匀抽样”的原则；另外，在数据处理之后，要养成运用数据说明问题的习惯，不能把统 计题目只看成对数据进行计算. 因此，统计学的核心思想就是抽样思想，基本思维模式：首先确定研究的 客观存在的总体，其次是抽取总体中的一个随机样本；最后是依据样本得出的数据信息（特征）来推测总 体的某些数字信息（特征）. 对于概率问题，构建“认清随机事件，科学使用枚举法计数，并合理使用概率模型（古典概型、独立与互 斥事件、超几何分布、二项分布）解题”的思维模式，最终帮助学生形成能用概率来解释生活中的一些随 机现象的能力. 概率与统计知识问题解决所需的核心技能与核心思想方法 （1）．核心思想：随机思想 （2）．核心技能：阅读技能(从文字语言、图表语言、数据中获取准确信息)、运算技能 概率与统计知识体系框图 典例.【2017 课标 II 理 18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各 随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖 法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附 ： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      【答案】(1)0.4092 ； (2) 有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)52.35kg 。 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 50kg 箱产量 50kg≥ 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66  2 2 200 62 66 34 38 15.705100 100 96 104K        由于15.705 6.635 ，故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为  0.004 0.020 0.044 5 0.34 0.5     ， 箱产量低于55kg 的直方图面积为 0.004 0.020 0.044 0.068 5 0.68 0.5      ， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为  0.5 0.3450 52.350.068 kg  。 【精准解读】本道概率与统计解答题，延续了高考中对概率统计部分的传统。以实际背景为载体，综合考 察概率，统计图表及样本数字特征和统计案例相关内容。对阅读能力要求高，知识运用的综合性强。基本 知识的掌握要牢固，但难度不大。 1.【2017 课标 3 理 18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最 高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25）， 需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六 月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶） 为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】(1)分布列略； (2) n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元. 当300 500n≤ ≤ 时，若最高气温不低于25，则 6 4 2Y n n n   ， 若最高气温位于区间 20,25 ，则  6 300 2 300 4 1200 2Y n n n       ; 若最高气温低于20，则  6 200 2 200 4 800 2Y n n n       ; 因此    2 0.4 1200 2 0.4 800 2 0.2 640 0.4EY n n n n          . 当 200 300n ≤ 时，若最高气温不低于20，则 6 4 2Y n n n   ; 若最高气温低于20，则  6 200 2 200 4 800 2Y n n n       ; 因此    2 0.4 0.4 800 2 0.2 160 1.2EY n n n        . 所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元. 【考点】 离散型随机变量的分布列；数学期望； 【精准解读】本题以酸奶销售为载体，内容贴近学生生活实际。第（1）问通过频率分布表来制作随机变量 分布列，易答。第（2）问联系到利润，可分情况建立关于期望的关系式，然后求出期望的最值。需要一定 的分析能力。 2. 【2016 高考新课标 2 理 18】某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人， 续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23. （Ⅲ）记续保人本年度的保费为 X ，则 X 的分布列为 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 0.85 0.30 0.15 1.25 0.20 1.5 0.20 1.75 0.10 2 0.05 1.23 EX a a a a a a a              因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 【精准解读】本题以保险收费为背景，以年度的保费与其上年度出险次数关系，出险次数与频数表格为条 件，计算互斥事件及条件概率，关于保费的随机变量分布列及其均值。考查了学生的数据读取能力，应用 意识及运算能力。 3. 【2016 高考新课标 1 理 18】某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损 零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求 X 的分布列； （II）若要求 ( ) 0.5P X n  ,确定 n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 19n  与 20n  之中选其一,应选用哪个？ 【答案】（I）见解析（II）19（III） 19n  【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概 率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而 04.02.02.0)16( XP ； 16.04.02.02)17( XP ； 24.04.04.02.02.02)18( XP ； 24.02.04.022.02.02)19( XP ； 2.02.02.04.02.02)20( XP ； 08.02.02.02)21( XP ； 04.02.02.0)22( XP . 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 44.0)18( XP , 68.0)19( XP ,故 n 的最小值为 19. （Ⅲ）记Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当 19n 时, 08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019 EY 404004.0)500320019(  . 当 20n 时, 04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020 EY 4080 . 可知当 19n 时所需费用的期望值小于 20n 时所需费用的期望值,故应选 19n . 【精准解读】本题把统计与函数结合在一起进行考查。第（1）问可由条形统计图得出概率，然后由相互独 立事件的概率公式，求出分布列。第（2）问由分布列易得，第（3）问可借助期望值进行判断，从而做出 决策。本题有综合性，对常见概率模型，及期望的概念理解要求较高,学习中应重视数学概念的理解及阅读 理解能力培养. 【实战演练】（共 100 分） 一、选择题（共 4 题，每题 5 分） 1.【2017 佛山模拟】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，为了了解该地区中小 学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分 别为( ) A. 200 ， 20 B.100， 20 C. 200 ，10 D.100，10 【答案】A 【解析】由题意知，样本容量为  3500 4500 2000 2% 200    ，其中高中生人数为 2000 2% 40  ， 高中生的近视人数为 40 50% 20  ，故选 A. 2.【2017 课标 1 理】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． 1 4 B． π 8 C． 1 2 D． π 4 【答案】B 3. 【2017 兰州模拟】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为 优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】A 【解析】设 A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”， 则 ( ) 0.6( | ) 0.8( ) 0.75 P A BP B A P A    ，故选 A. 4.【2017 江西九江联考】设样本数据 1 2 10, , ,x x x 的均值和方差分别为 1 和 4，若 i iy x a  （ a 为非零常 数， 1,2, ,10i   ），则 1 2, 10,y y y 的均值和方差分别为（ ） A.1+ ,4a B.1 ,4a a  C.1,4 D.1,4+a 【答案】 A 【解析】由题得： 1 2 10 10 1 10x x x      ； 2 2 2 1 2 10( 1) ( 1) ( 1) 10 4 40x x x         1 2, 10,y y y 的均值和方差分别为： 均值 1 2 10 10 y y yy   1 2 10 1 2 10( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 110 10 10 x a x a x a x x x a a a             方差 2 2 2 1 2 10( ) ( ) ( ) 10 y y y y y y     2 2 2 1 2 10[( ) (1 )] [( ) (1 )] [( ) (1 )] 10 x a a x a a x a a           2 2 2 1 2 10( 1) ( 1) ( 1) 40 410 10 x x x        故选 A 二、填空题（共 6 题，每题 5 分） 5. 【2017 绍兴模拟】随机变量 的取值为 0,1,2，若   10 5P    ，   1E   ， 则  D   ________. 【答案】 2 5 【解析】 设 1  时的概率为 p ，则   1 10 1 2 1 15 5E p p             ，解得 3 5p  ，故        2 2 21 3 1 20 1 1 1 2 15 5 5 5D            6. 【2017 广州模拟】如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损， 则乙的平均成绩超过甲的概率为 ． 【答案】 1 10 【解析】由图示可知，甲的平均成绩为 （88+89+90+91+92）=90， 设被污损的数字为 x，则乙的平均成绩为 90+ （﹣7﹣7﹣3+9+x）＞90， 即 x﹣8＞0，解得 x＞8．即 x=9，故所求概率为 1 10 ． 7.【2017 银川模拟】从区间 0,1 随机抽取 2n 个数 1x , 2x ，…， nx ， 1y ， 2y ，…， ny ，构成 n 个数对 1 1,x y ，  2 2,x y ，…， ,n nx y ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为________. 【答案】 4m n 【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为 2 24 S R m S R n  圆 正方形 ，所以 4m n   .选 C. 8. 【2017 贵阳模拟】如图，表示 3 种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是 0.9，0.8，0.7， 至少有 1 个开关正常工作时系统能正常工作，那么该系统正常工作的概率是 ． 【答案】0.994 9. 【2017 郑州模拟】我校在高三 11 月月考中约有 1000 名理科学生参加考试，数学考试成绩ξ～N（100， a2）（a＞0，满分 150 分），统计结果显示数学考试成绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的 60%，则 此次月考中数学成绩不低于 120 分的学生约有 人． 【答案】200 【解析】∵成绩ξ～N（100，a2），∴其正态曲线关于直线 x=100 对称， 又∵成绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的 60%， 由对称性知：成绩在 120 分以上的人数约为总人数的 =0.2， ∴此次数学考试成绩不低于 120 分的学生约有：0.2×1000=200． 10. 【2017 长春模拟】假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p（0＜p＜1），现有 4 次投篮机会，并规定 连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完 4 次投篮机会的概率 是 ，则 p 的值是 ． 【答案】 1 2 【解析】∵某篮球运动员每次投篮命中率均为 p（0＜p＜1），现有 4 次投篮机会，并规定连续两次投篮均不 中即停止投篮．该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完 4 次投篮机会的概率是 ， ∴ ﹣2p2（1﹣p）2+p（1﹣p）3= ，解得 p= ． 三、解答题（共 5 题，每题 10 分） 11.【2017 山东理 18】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法 如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比 这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5， A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示. （I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 1B 的频率。 （II）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX. 【答案】（I） 5 .18 (II)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 X 的数学期望是 2EX  . 【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 1A 但不包含 1B 的事件为 M，则 4 8 5 10 5( ) .18 CP M C   (II)由题意知 X 可取的值为： 0,1,2,3,4 .则 5 6 5 10 1( 0) ,42 CP X C    4 1 6 4 5 10 5( 1) ,21 C CP X C    3 2 6 4 5 10 10( 2) ,21 C CP X C    2 3 6 4 5 10 5( 3) ,21 C CP X C    1 4 6 4 5 10 1( 4) ,42 C CP X C    因此 X 的分布列为； X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 X 的数学期望是； 0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) 4 ( 4)EX P X P X P X P X P X               = 1 5 10 5 10 1 2 3 4 2.42 21 21 21 42           12.【2017 武汉模拟】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图， 如图所示： 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率； （2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 ( )E X 及方差 ( )D X . 【答案】（Ⅰ）0.108；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）设 1A 表示事件“日销售量不低于 100 个”， 2A 表示事件“日销售量低于 50 个”，B 表示事 件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”.因此 1( ) (0.006 0.004 0.002) 50 0.6P A      . 2( ) 0.003 50 0.15P A    . ( ) 0.6 0.6 0.15 2 0.108P B      . （Ⅱ）X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为； 0 3 3( 0) (1 0.6) 0.064P X C     , 1 2 3( 1) 0.6(1 0.6) 0.288P X C     , 2 2 3( 2) 0.6 (1 0.6) 0.432P X C     , 3 3 3( 3) 0.6 0.216P X C    , 分布列为； X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 X~B(3,0.6),所以期望为 E(X)=3×0.6=1.8，方差 D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 13.【2016 高考新课标 3 理 18】下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折 线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据： 7 1 9.32i i y   ， 7 1 40.17i i i t y   ， 7 2 1 ( ) 0.55i i y y    ， 7≈2.646. 参考公式：相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) (y y) n i i i n n i i i i t t y y r t t            ， 回归方程  y a b   中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i t t y y b t t          ，a y bt   ． 【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82 亿吨． （Ⅱ）由 331.17 32.9 y 及（Ⅰ）得 103.028 89.2 )( ))(( ˆ 7 1 2 7 1         i i i ii tt yytt b ， 92.04103.0331.1ˆˆ  tbya ， 所以， y 关于 t 的回归方程为： ty 10.092.0ˆ  . 将 2016 年对应的 9t 代入回归方程得： 82.1910.092.0ˆ y ， 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 14. 【2017 福建模拟】近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015 年双 11 期间，某购物平台 的销售业绩高达 918 亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从 评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75， 其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次． （1）是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 5 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变 量 X： ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求 X 的数学期望和方差． P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （ ，其中 n=a+b+c+d） 【答案】见解析 【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表为： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 计算观测值 ， 对照数表知，在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3，4，5； 其中 ； ； ； ； ； ； 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 由于 X～B（5， ），则 ； ． 15.【2017 课标 1 理 19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件 的尺寸服从正态分布 2( , )N   ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件数，求 ( 1)P X  及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.1 2 9.96 9.96 10.0 1 9.92 9.98 10.0 4 10.2 6 9.91 10. 13 10.0 2 9.22 10.0 4 10.0 5 9.95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i x x    ， 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x         ，其中 ix 为抽取的第i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i   ． 用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对当天的 生产过程进行检查？剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据，用剩下的数据估计  和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N   ，则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z        ， 160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09 ． 【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在 ( 3 , 3 )     之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的概率为 0.0026，故 ~ (16,0.0026)X B .因此 ( 1) 1 ( 0) 1 0.9974 0.0408P X P X       . X 的数学期望为 16 0.0026 0.0416EX    . （ii）由 9.97, 0.212x s  ，得  的估计值为 ˆ 9.97  ， 的估计值为 ˆ 0.212  ，由样本数据可以看 出有一个零件的尺寸在 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 1 (16 9.97 9.22) 10.0215    ，因此  的估 计值为 10.02. 16 2 2 2 1 16 0.212 16 9.97 1591.134i i x       ，剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据 9.22，剩下数据的样本方 差为 2 21 (1591.134 9.22 15 10.02 ) 0.00815     ， 因此 的估计值为 0.008 0.09 . ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________