高二数学导数的综合应用人教实验版(B)

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高二数学导数的综合应用人教实验版(B)

高二数学导数的综合应用人教实验版(B) 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 导数的综合应用 二. 学习目标 本部分的要求一般有三个层次:第一层次主要考查导数的概念,求导的公式和求导法则; 第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等;第三层 次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等 有机地结合在一起,设计综合题,通过将新课程内容和传统内容相结合,加强了能力考查力 度,使试题具有更广泛的实际意义,更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的 方法。 三. 考点分析 1、求函数  f x 极值的步骤: (1)导数  'f x ; (2)方程  'f x =0 的根; (3)检查  'f x =0 的根的左右区间对应的  'f x 的符号:若左正右负,则  f x 在 这个根处取得极大值;若左负右正,则  f x 在这个根处取得极小值。 (注:实质为‘解方程’,解关于 x 的方程  'f x =0) 2、设函数  f x 在 ,a b 上连续,在 ( , )a b 内可导,求  f x 在 ,a b 上的最值的步骤: (1)求  f x 在 ( , )a b 内的极值; (2)将  f x 各极值与  f a ,  f b 比较,确定  f x 的最大和最小值。 3、求函数  f x 的单调区间:不等式  ' 0f x  的解集为  y f x 的增区间;不等式  ' 0f x  的解集为  y f x 的减区间。 (注:求函数的单调区间实质上是‘解不等式’) 4、几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率。 5、常见函数的导函数 (1) 1aa ax)x(  (a 为常数) (2) '( ) ln ( 0, 1)x xa a a a a  且 (3) ' 1(log ) lna x x a  (4) '( )x xe e (5) ' 1(ln )x x  (6) '(sin ) cosx x (7) '(cos ) sinx x  【典型例题】 例 1. 已知函数 cbxaxxxf  23)( 在 2x 处有极值,其图象在 1x 处的切线平 行于直线 23  xy ,试求函数的极大值与极小值的差。 解: baxxxf  23)( 2 由于 )(xf 在 2x 处有极值 ∴ 0)2( f 即 0412  ba ① 又∵ 3)1( f ∴ 332  ba ② 由①②得 0,3  ba ∴ cxxxf  23 3)( 令 063)( 2  xxxf ,得 2,0 21  xx 由于在 )0,(x , ),2( x 时, 0)(  xf )2,0(x 时, 0)(  xf ∴ )0(f 是极大值, )2(f 是极小值 ∴ 4)2()0(  ff 例 2. 已知 cxbxaxxf  23)( 在区间[0,1]上是增函数,在区间 ),1(),0,(  上是 减函数,又 .2 3)2 1( f (Ⅰ)求 )(xf 的解析式; (Ⅱ)若在区间 ],0[ m (m>0)上恒有 )(xf ≤x 成立,求 m 的取值范围. 解:(Ⅰ) 2( ) 3 2f x ax bx c    ,由已知 (0) (1) 0f f   , 即 0 3 2 0 c a b c      , ,解得 0 3 2 c b a    , . 2( ) 3 3f x ax ax   , 1 3 3 3 2 4 2 2 a af        , 2a   , 3 2( ) 2 3f x x x    . (Ⅱ)令 ( )f x x≤ ,即 3 22 3 0x x x   ≤ , (2 1)( 1) 0x x x   ≥ , 10 2x ≤ ≤ 或 1x≥ . 又 ( )f x x≤ 在区间 0 m, 上恒成立, 10 2m  ≤ . 例 3. 函数 3 2( )f x x ax bx c    ,过曲线 ( )y f x 上的点 (1, ( ))P f x 的切线方程为 y =3x+1 (1)若 ( ) 2y f x x  在 时有极值,求 ( )f x 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 ( )y f x 在[-3,1]上的最大值; (3)若函数 ( )y f x 在区间[-2,1]上单调递增,求 b 的取值范围。 解:(1)由 3 2( )f x x ax bx c    求导数得 2( ) 3 2f x x ax b    过 ( )y f x 上点 (1, (1))P f 的切线方程为: (1) (1)( 1), ( 1) (3 2 )( 1)y f f x y a b c a b x          即 , 而过 ( )y f x 上, (1, (1))P f 的切线方程为 3 1y x  故 3 2 3 2 1 a b a b c         即 2 0 3 a b a b c       ( )y f x 在 x=-2 时有极值,故 ( 2)f   =0 4 12a b    ③ 由①②③式联立解得 2, 4, 5a b c    , 3 2( ) 2 4 5f x x x x     (2) 2 2( ) 3 2 3 4 4 (3 2)( 2)f x x ax b x x x x          x [ 3 2)  -2 2( 2, )3  2 3 2( ,1]3 ( )f x + 0 — 0 + ( )f x ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 3 2( ) ( 2) ( 2) 2( 2) 4( 2) 5 13f x f         极大 , 3(1) 1 2 1 4 1 5 4f        , ( )f x 在[-3,1]上最大值为 13。 (3) ( )y f x 在区间 [-2,1]上单调递增,又 2( ) 3 2f x x ax b    , 由(1)知 2 0a b  , 2( ) 3f x x bx b    依题意 ( )f x 在[-2,1]上恒有 2( ) 0, 3 0f x x bx b    即 在[-2,1]上恒成立。 ①当 16 bx   时, ( ) (1) 3 0f x f b b     小 , 6b  ②当 26 bx    时, ( ) ( 2) 12 2 0f x f b b      小 , b  ③当 162  bx 时, 212( ) 012 b bf x   小 ,∴0≤b≤6 综合上述讨论可知,所求参数 b 的取值范围是:b≥0。 例 4. 已知函数 2 2 2 1( ) ( )1 ax af x xx    R ,其中 aR . (Ⅰ)当 1a  时,求曲线 ( )y f x 在点 (2 (2))f, 处的切线方程; (Ⅱ)当 0a  时,求函数 ( )f x 的单调区间与极值. 本小题考查导数的几何意义,两个函数的和、差、积、商的导数,利用导数研究函数的 单调性和极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法. (Ⅰ)解:当 1a  时, 2 2( ) 1 xf x x   , 4(2) 5f  , 又 2 2 2 2 2 2 2( 1) 2 2 2 2( ) ( 1) ( 1) x x x xf x x x       · , 6(2) 25f    . 所 以 , 曲 线 ( )y f x 在 点 (2 (2))f, 处 的 切 线 方 程 为 4 6 ( 2)5 25y x    , 即 6 2 32 0x y   . (Ⅱ)解: 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 (2 1) 2( )( 1)( ) ( 1) ( 1) a x x ax a x a axf x x x           . 由于 0a  ,以下分两种情况讨论. (1)当 0a  时,令 ( ) 0f x  ,得到 1 1x a   , 2x a .当 x 变化时, ( ) ( )f x f x , 的 变化情况如下表: ① ② x 1 a      ,∞ a 1 1 aa     , a ( )a , ∞ ( )f x  0  0  ( )f x  极小值  极大值  所以 ( )f x 在区间 1 a      ,∞ , ( )a , ∞ 内为减函数,在区间 1 aa     , 内为增函数. 函数 ( )f x 在 1 1x a   处取得极小值 1f a     ,且 21f aa       , 函数 ( )f x 在 ax 2 处取得极大值 ( )f a ,且 ( ) 1f a  . (2)当 0a  时,令 ( ) 0f x  ,得到 1 2 1x a x a   , ,当 x 变化时, ( ) ( )f x f x , 的 变化情况如下表: x  a ,∞ a 1a a     , 1 a  1 a     ,+ ∞ ( )f x  0  0  ( )f x  极大值  极小值  所以 ( )f x 在区间 ( )a ,∞ , 1 a     ,+ ∞ 内为增函数,在区间 1a a     , 内为减函数. 函数 ( )f x 在 1x a 处取得极大值 ( )f a ,且 ( ) 1f a  . 函数 ( )f x 在 2 1x a   处取得极小值 1f a     ,且 21f aa       . 【模拟试题】 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、若函数 12)( 2  xxf 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+△x,1+△y),则 x y   为( ) A、4 x2 B、 xx 4 C、 x4 D、 2)(4 xx  2、设 ( ) |1 | ||f x x x  ,则 f  (0)为 A、0 B、1 C、-1 D、不存在 3、若 )(xf 为偶函数,且 )(xf  存在,则  )0(f ( ) A、0 B、1 C、 x D、x 4、若可导函数 )(xfy  的导数,即 )(xf  =0 只有一个实根 0xx  ,则( ) A、 )( 0xf 是函数的最值 B、 )( 0xf 是函数的极值 C、 )(xf  在 0xx  的左右异号 D、当 )(xf 有极值时,其极值是 )( 0xf 5、函数 223)( abxaxxxf  ,在 1x 时有极值 10,则 a、b 值为( ) A、 11,43,3  baba 或 B、 11,41,4  baba 或 C、 5,1  ba D、以上都不对 6、设 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数,将 ( )y f x 和 ( )y f x 的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是( ) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 7、已知函数 dcxbxx)x(f 23  的图象过点 P(0,2),且在点 M ))1(,1(  f 处的切 线方程为 076  yx ,函数 )(xfy  的解析式为___________。 8、设点 P 是曲线 3 233  xxy 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ,则角 的取 值范围是 。 9、已知函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值 范围是 。 10 、 已 知 ( ) sin 2 , ,f x x x x R   且 (1 ) (2 ) 0f a f a   , 则 a 的 取 值 范 围 是 。 三、解答题(本大题共 4 题,共 50 分) 11、已知函数 3 21( ) (2 ) 13f x ax bx b x     在 1x x 处取得极大值,在 2x x 处取得 极小值,且 1 20 1 2x x    . (I)证明 0a  ; (II)若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 12、设函数 3 2( ) 2 3 3 8f x x ax bx c    在 1x  及 2x  时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 [0 3]x , ,都有 2( )f x c 成立,求 c 的取值范围. 13、设函数 2( ) ( )f x x x a   ( xR ),其中 aR . (Ⅰ)当 1a  时,求曲线 ( )y f x 在点 (2 (2))f, 处的切线方程; (Ⅱ)当 0a  时,求函数 ( )f x 的极大值和极小值; (Ⅲ)当 3a  时,证明存在  1 0k   , ,使得不等式 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ 对 任意的 xR 恒成立. 14、设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf'(x),讨论 F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1. 【试题答案】 1、A 2、B 3、A 4、D 5、D 6、D 7、解:由 )(xf 的图象经过 P(0,2),知 d=2, 所以 ,2)( 23  cxbxxxf .23)( 2 cbxxxf  由在 ))1(,1(  fM 处的切线方程是 076  yx ,知 .6)1(,1)1(,07)1(6  fff 即 .3,0 ,32 .121 ,623            cbcb cb cb cb 解得即 故所求的解析式是 .233)( 23  xxxxf 8、 ),3 2[)2,0[   9、解:∵f'(x)=3x2+6ax+3a+6,令 f′(x)=0,则 x2+2ax+a+2=0 又∵f(x)既有极大值又有极小值 ∴f’(x)=0 必有两解,即△=4a2-4a-8>0 解得 a<-1 或 a>2。 10、(-∞,-1) 11、解:求函数 ( )f x 的导数 2( ) 2 2f x ax bx b     . (Ⅰ)由函数 ( )f x 在 1x x 处取得极大值,在 2x x 处取得极小值,知 1 2x x, 是 ( ) 0f x  的两个根. 所以 1 2( ) ( )( )f x a x x x x    当 1x x 时, ( )f x 为增函数, ( ) 0f x  ,由 1 0x x  , 2 0x x  得 0a  . (Ⅱ)在题设下, 1 20 1 2x x    等价于 (0) 0 (1) 0 (2) 0 f f f         即 2 0 2 2 0 4 4 2 0 b a b b a b b             . 化简得 2 0 3 2 0 4 5 2 0 b a b a b           .此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线: 2 0 3 2 0 4 5 2 0b a b a b       , , . 所围成的 ABC△ 的内部,其三个顶点分别为: 4 6 (2 2) (4 2)7 7A B C     , , ,, , . z 在这三点的值依次为16 6 87 ,,. 所以 z 的取值范围为 16 87      , . 12、解:(Ⅰ) 2( ) 6 6 3f x x ax b    , 因为函数 ( )f x 在 1x  及 2x  时取得极值,则有 (1) 0f   , (2) 0f   . 即 6 6 3 0 24 12 3 0 a b a b        , . 解得 3a   , 4b  . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c    , 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x       . 当 (01)x , 时, ( ) 0f x  ; 当 (1 2)x , 时, ( ) 0f x  ; 当 (2 3)x , 时, ( ) 0f x  . 所以,当 1x  时, ( )f x 取得极大值 (1) 5 8f c  ,又 (0) 8f c , (3) 9 8f c  . 则当  0 3x , 时, ( )f x 的最大值为 (3) 9 8f c  . 因为对于任意的  0 3x , ,都有 2( )f x c 恒成立, 所以 29 8c c  , 解得 1c   或 9c  , 因此 c 的取值范围为 ( 1) (9 )   , , . 13、本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程,函数的极值、解不等式 等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分. (Ⅰ)解:当 1a  时, 2 3 2( ) ( 1) 2f x x x x x x       ,得 (2) 2f   ,且 2( ) 3 4 1f x x x     , (2) 5f    . 所以,曲线 2( 1)y x x   在点 (2 2), 处的切线方程是 2 5( 2)y x    ,整理得 5 8 0x y   . (Ⅱ)解: 2 3 2 2( ) ( ) 2f x x x a x ax a x       2 2( ) 3 4 (3 )( )f x x ax a x a x a         . 令 ( ) 0f x  ,解得 3 ax  或 x a . 由于 0a  ,以下分两种情况讨论. (1)若 0a  ,当 x 变化时, ( )f x 的正负如下表: x 3 a    ∞, 3 a 3 a a     , a ( )a ,∞ ( )f x  0  0  因此,函数 ( )f x 在 3 ax  处取得极小值 3 af      ,且 34 3 27 af a      ; 函数 ( )f x 在 x a 处取得极大值 ( )f a ,且 ( ) 0f a  . (2)若 0a  ,当 x 变化时, ( )f x 的正负如下表: x  a∞, a 3 aa     , 3 a 3 a    ,∞ ( )f x  0  0  因此,函数 ( )f x 在 x a 处取得极小值 ( )f a ,且 ( ) 0f a  ; 函数 ( )f x 在 3 ax  处取得极大值 3 af      ,且 34 3 27 af a      . (Ⅲ)证明:由 3a  ,得 13 a  ,当  1 0k   , 时, cos 1k x ≤ , 2 2cos 1k x ≤ . 由(Ⅱ)知, ( )f x 在 1∞, 上是减函数,要使 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ ,xR 只要 2 2cos cos ( )k x k x x   R≤ 即 2 2cos cos ( )x x k k x   R≤ ① 设 2 2 1 1( ) cos cos cos 2 4g x x x x        ,则函数 ( )g x 在 R 上的最大值为 2 . 要使①式恒成立,必须 2 2k k ≥ ,即 2k ≥ 或 1k ≤ . 所以,在区间  1 0 , 上存在 1k   ,使得 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ 对任意的 xR 恒成立. 14、本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不 等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力. (Ⅰ)解:根据求导法则有 2ln 2( ) 1 0x af x xx x     , , 故 ( ) ( ) 2ln 2 0F x xf x x x a x    , ,于是 2 2( ) 1 0xF x xx x     , , 列表如下: x (0 2), 2 (2 ), ∞ ( )F x  0  ( )F x  极小值 (2)F  故知 ( )F x 在 (0 2), 内是减函数,在 (2 ), ∞ 内是增函数,所以,在 2x  处取得极小值 (2) 2 2ln 2 2F a   . (Ⅱ)证明:由 0a≥ 知, ( )F x 的极小值 (2) 2 2ln 2 2 0F a    . 于是由上表知,对一切 (0 )x , ∞ ,恒有 ( ) ( ) 0F x xf x  . 从而当 0x  时,恒有 ( ) 0f x  ,故 ( )f x 在 (0 ), ∞ 内单调增加. 所以当 1x  时, ( ) (1) 0f x f  ,即 21 ln 2 ln 0x x a x    . 故当 1x  时,恒有 2ln 2 ln 1x x a x   .
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