【数学】2018届一轮复习人教A版 绝对值不等式 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 绝对值不等式 学案

第4讲　绝对值不等式 最新考纲　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.‎ 知 识 梳 理 ‎1.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎2.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.(　　)‎ ‎(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.(　　)‎ ‎(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.(　　)‎ ‎(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2.若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)‎ A.5或8 B.－1或5‎ C.－1或－4 D.－4或8‎ 解析　分类讨论：‎ 当a≤2时，f(x)＝ 显然，x＝－时，f(x)min＝＋1－a＝3，∴a＝－4，‎ 当a>2时，f(x)＝ 显然x＝－时，f(x)min＝－－1＋a＝3，∴a＝8.‎ 答案　D ‎3.(2015·山东卷改编)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为________.‎ 解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.‎ ‎②当10.‎ ‎(1)当a＝1时，则不等式f(x)≥3x＋2的解集为________.‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，则a的值为________.‎ 解析　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.‎ 由此可得x≥3或x≤－1.‎ 故当a＝1时，不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.‎ ‎(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.‎ 此不等式化为不等式组或 即或 因为a>0，所以不等式组的解集为.‎ 由题设可得－＝－1，故a＝2.‎ 答案　(1){x|x≥3或x≤－1}　(2)2‎ ‎6.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________.‎ 解析　设y＝|2x－1|＋|x＋2|‎ ‎＝ 当x＜－2时，y＝－3x－1＞5；‎ 当－2≤x＜时，5≥y＝－x＋3＞；‎ 当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.‎ 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故实数a的取值范围为.‎ 答案　 考点一　含绝对值不等式的解法 ‎【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.‎ 解　法一　如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A‎1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B‎1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).‎ 法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔‎ 或 或解得x≥2或x≤－3，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).‎ 法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.‎ 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝作出函数的图象，如图所示.‎ 由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).‎ 规律方法　形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.‎ ‎【训练1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)在图中画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集.‎ 解　(1)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示.‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为 .‎ 考点二　含参数的绝对值不等式问题 ‎【例2】 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值.‎ ‎(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.‎ 解　(1)∵x，y∈R，‎ ‎∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，‎ ‎∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.‎ 规律方法　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.‎ ‎【训练2】 (1)若关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解，求实数d的取值范围.‎ ‎(2)不等式≥|a－2|＋sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)∵|2 014－x|＋|2 015－x|≥|2 014－x－2 015＋x|＝1，‎ ‎∴关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解时，d≥1.‎ ‎(2)∵x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，‎ ‎∴∈[2，＋∞)，其最小值为2.‎ 又∵sin y的最大值为1，‎ 故不等式≥|a－2|＋sin y恒成立时，‎ 有|a－2|≤1，解得a∈[1，3].‎ 考点三　含绝对值的不等式的应用 ‎【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.‎ ‎(2)当x∈R时，‎ f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，‎ 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.‎ 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以实数a的取值范围是[2，＋∞).‎ 规律方法　(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.‎ ‎【训练3】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(‎2a＋1，0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以实数a的取值范围为(2，＋∞).‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.‎ ‎2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.‎ ‎2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏. ‎