高考数学复习 几个常用函数的导数

高考数学复习 几个常用函数的导数

3.2.1几个常用 函数的导数 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 一、复习 1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是: (1) ( ) ( );y f x x f x    求函数的增量 (2) : ( ) ( ) ;y f x x f x x x      求函数的增量与自变量的增量的比值 0 (3) ( ) lim .x yy f x x      求极限，得导函数 说明:上面的方 法中把x换成x0 即为求函数在 点x0处的 导数. 说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x= x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。 )( 0xf )(xf  0|)()( 0 xxxfxf  4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 0( )f x （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 0 0 0( ) ( )( ).y f x f x x x   二、几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 0 ( )C C 公式一： 为常数 : ( ) ,y f x C 解 1) 函数y=f(x)=c的导数. ( ) ( ) 0,y f x x f x C C       0,y x   0 ( ) lim 0.x yf x C x       二、几种常见函数的导数 ' 1x 公式二： : ( ) ,y f x x 解 2) 函数y=f(x)=x的导数. ( ) ( ) ( ) ,y f x x f x x x x x         1,y x   0 ( ) ' lim 1.x yf x x x      二、几种常见函数的导数 2 ' 2x x公式三：（ ） 2: ( ) ,y f x x 解 3) 函数y=f(x)=x2的导数. 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ,y f x x f x x x x x x x          22 2 ,y x x x x xx x        2 2 0 0 0 2( ) ( )' lim lim lim(2 ) 2 .x x x y x x xf x x x x xx x                二、几种常见函数的导数 2 1 1'x x  公式三：（ ） 1: ( ) ,y f x x  解 4) 函数y=f(x)=1/x的导数. 1 1( ) ( ) ( ) xy f x x f x x x x x x x         1 ,( ) y x x x x     20 0 1 1 1( ) ( )' lim lim .( )x x yf x x x x x x x            2 1) ( ) 2) ( ) , 3) ( ) , 14) ( ) , y f x C y f x x y f x x y f x x         ' 1y  2 1'y x   ' 2y x 表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1 这又说明什么? ' 0y  表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0 这又说明什么? 探究： 画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。 x+y-2=0 熟记下列公式： 公式: .)()( 1 Qnnxx nn   请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握 的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数. Qn *Nn  例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。 三.典例分析 题型：求曲线的切线方程 ' 2y x解(1),(2)： 2( 1,1), (2,4)P Q y x 都是曲线 上的点。 1 1'| 2,xP y   过 点的切线的斜率k 2 2'| 4,xy  过Q点的切线的斜率k 1 2( 1), 2 1 0P y x x y     过 点的切线方程: 即： 。 4 4( 2), 4 4 0y x x y   过Q点的切线方程: 即： 。 例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。 三.典例分析 题型：求曲线的切线方程 ' 2y x解(3)： 4 1 1,2 1PQ   直线 的斜率k 1 1 , 4 4 02 14y x x y     与PQ平行的切线方程: 即： 。 0 0'| 2 1,x xy x  切线的斜率k 0 1 ,2x  1 1( , )2 4M切点 ; 2) 11 . y x y例2.已知 ，（1)求 （ 求曲线在点（ ，）处的切线方程 1 2( )' ( )'y x x  解1)： 1: 1 ( 1).2y x  2)切线方程 1 121 2 x   1 . 2 x  1 21 2 x   2 2x 1 1即：y= 0 0, ),x y解：设切点( 0 1' ,2k y x 又切线 0 0 0 1 ( ),2y y x x x   切线方程： 7 4 切线过(4, ), 2 0 0 1 4y x  ① 0 0 0 7 1 (4 )4 2y x x    ， 2 0 0 0 1 722 4y x x    ② 0 01 7x x 解①②得: 或 1 49),4 4 切点为(1， )或(7, 1 1 49 1( 1) ( 4)4 2 4 2y x y x      切线方程： 或 2 4 1 0 4 49 0x y x y     即： 或14 四、小结 2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题. 1.会求常用函数 的导数.其中: 2 1, , , ,y c y x y x y x     公式1: .0 ( )C C  为常数 五、练习: 求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所 围成的三角形的面积。