高考数学圆锥曲线及解题技巧(供参考)

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高考数学圆锥曲线及解题技巧(供参考)

椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   上,则过 0P 的椭圆的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 6. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线 方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 7. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 1 2F PF   ,则椭圆 的焦点角形的面积为 1 2 2 tan 2F PFS b    . 8. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的焦半径公式: 1 0| |MF a ex  , 2 0| |MF a ex  ( 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c 0 0( , )M x y ). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应 于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   的不平行于对称轴的弦,M ),( 00 yx 为 AB 的中点,则 2 2OM AB bk k a    , 即 0 2 0 2 ya xbK AB  。 12. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b    . 13. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b    . 双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 2 2 2 2 1x y a b   ( a > 0,b > 0 ) 上 , 则 过 0P 的 双 曲 线 的 切 线 方 程 是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 6. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 7. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 1 2F PF   , 则双曲线的焦点角形的面积为 1 2 2 t 2F PFS b co    . 8. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>o)的焦半径公式:( 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c 当 0 0( , )M x y 在右支上时, 1 0| |MF ex a  , 2 0| |MF ex a  . 当 0 0( , )M x y 在左支上时, 1 0| |MF ex a   , 2 0| |MF ex a   9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交 于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ),( 00 yx 为 AB 的中点,则 0 2 0 2 ya xbKK ABOM  ,即 0 2 0 2 ya xbK AB  。 12. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b    . 13. 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 2 2 2 2 1x y a b   ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b    . 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 圆 1. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>o)的两个顶点为 1( ,0)A a , 2 ( ,0)A a ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 2 2 2 1x y a b   . 2. 过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>0, b>0)上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b xk a y  (常数). 3. 若 P 为椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, 1 2PF F   , 2 1PF F   ,则 tan t2 2 a c coa c    . 4. 设椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在 △PF1F2 中,记 1 2F PF   , 1 2PF F   , 1 2F F P   ,则有 sin sin sin c ea      . 5. 若椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 1 时, 可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为 椭 圆 2 2 2 2 1x y a b   ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF     ,当且仅当 2, ,A F P 三点共线时,等号成立. 7. 椭 圆 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) 1x x y y a b    与 直 线 0Ax By C   有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 2 2 2 2 2 0 0( )A a B b Ax By C    . 8. 已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0),O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP OQ .(1) 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b    ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为 2 2 2 2 4a b a b ;(3) OPQS 的最小值是 2 2 2 2 a b a b . 9. 过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分 线交 x 轴于 P,则 | | | | 2 PF e MN  . 10. 已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交 于点 0( ,0)P x , 则 2 2 2 2 0 a b a bxa a     . 11. 设 P 点是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 1 2F PF   , 则(1) 2 1 2 2| || | 1 cos bPF PF   .(2) 1 2 2 tan 2PF FS b    . 12. 设 A、B 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, PAB   , PBA   , BPA   ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) 2 2 2 2 2 | cos || | s abPA a c co    .(2) 2tan tan 1 e    .(3) 2 2 2 2 2 cotPAB a bS b a    . 13. 已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( a>b>0)的右准线l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭 圆相交于 A、B 两点,点C 在右准线 l 上,且 BC x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 双曲线 1. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的两个顶点为 1( ,0)A a , 2 ( ,0)A a ,与 y 轴平行的直线交 双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 2 2 2 1x y a b   . 2. 过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>o)上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲 线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b xk a y   (常数). 3. 若 P 为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, 1 2PF F   , 2 1PF F   ,则 tan t2 2 c a coc a    (或 tan t2 2 c a coc a    ). 4. 设双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 1 2F PF   , 1 2PF F   , 1 2F F P   , 则 有 sin (sin sin ) c ea       . 5. 若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 2 1| | 2 | | | |AF a PA PF   ,当且仅当 2, ,A F P 三点共线且 P 和 2,A F 在 y 轴同侧时,等号成 立. 7. 双 曲 线 2 2 2 2 1x y a b   ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 0Ax By C   有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 2 2 2 2 2A a B b C  . 8. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (b>a >0),O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ . (1) 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b    ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 2 2 2 4a b b a ;(3) OPQS 的最小值是 2 2 2 2 a b b a . 9. 过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | | | | 2 PF e MN  . 10. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0( ,0)P x , 则 2 2 0 a bx a  或 2 2 0 a bx a   . 11. 设 P 点是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 1 2F PF   ,则(1) 2 1 2 2| || | 1 cos bPF PF   .(2) 1 2 2 cot 2PF FS b    . 12. 设 A、B 是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, PAB   , PBA   , BPA   , c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1) 2 2 2 2 2 | cos || | | s | abPA a c co    . (2) 2tan tan 1 e    .(3) 2 2 2 2 2 cotPAB a bS b a    . 13. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的右准线l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的 直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C 在右准线l 上,且 BC x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的 中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点 的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径 互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 圆锥曲线问题解题方法 圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理 问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义,灵活解题 灵活运用定义,方法往往直接又明了。 例 1. 已知点 A(3,2),F(2,0),双曲线 x y2 2 3 1  ,P 为双曲线上一点。 求| | | |PA PF 1 2 的最小值。 解析:如图所示, 双曲线离心率为 2,F 为右焦点,由第二定律知 1 2 | |PF 即点 P 到准线距离。      | | | | | | | |PA PF PA PE AM1 2 5 2 二. 引入参数,简捷明快 参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。 例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解:取如图所示的坐标系,设点 F 到准线 l 的距离为 p(定值),椭圆中心坐标为 M(t,0)(t 为 参数)  p b c  2 ,而 c t   b pc pt2 再设椭圆短轴端点坐标为 P(x,y),则 x c t y b pt        消去 t,得轨迹方程 pxy 2 三. 数形结合,直观显示 将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数, 结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦 的问题。 例 3. 已知 x y R,  ,且满足方程 )0(322  yyx ,又 m y x    3 3 ,求 m 范围。 解析:m y x    3 3 的几何意义为,曲线 x y y2 2 3 0  ( ) 上的点与点(-3,-3)连线的斜率, 如图所示 k m kPA PB      3 3 2 3 5 2m 四. 应用平几,一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几” 知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。 例 4. 已知圆 ( )x y  3 42 2 和直线 y mx 的交点为 P、Q,则| || |OP OQ 的值为________。 解:  OMP OQN~ | || | | || |OP OQ OM ON    5 五. 应用平面向量,简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。 例 5. 已知椭圆: x y2 2 24 16 1  ,直线 l : x y 12 8 1  ,P 是 l 上一点,射线 OP 交椭圆于一点 R,点 Q 在 OP 上且满足| || | | |OQ OP OR  2 ,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程。 分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线 的条件便可简便地解出。 解 : 如 图 , OQ OR OP    , , 共 线 , 设 OR OQ     , OP OQ     , OQ x y   ( ), , 则 OR x y   ( ) , , OP x y   ( ) , | || | | |OQ OP OR      2      | | | |OQ OQ2 2 2   2 点 R 在椭圆上,P 点在直线 l 上    2 2 2 2 24 16 1x y ,  x y 12 8 1  即 x y x y2 2 24 16 12 8    化简整理得点 Q 的轨迹方程为: ( ) ( )x y   1 5 2 1 5 3 1 2 2 (直线 y x  2 3 上方部分) 六. 应用曲线系,事半功倍 利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题 方法和技巧之一。 例 6. 求经过两圆 x y x2 2 6 4 0    和 x y y2 2 6 28 0    的交点,且圆心在直线 x y  4 0 上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为: x y x x y y2 2 2 26 4 6 28 0       ( ) ( ) ( ) ( )1 1 6 6 28 4 02 2          x y x y 则圆心为 ( )    3 1 3 1   , ,在直线 x y  4 0 上 解得   7 故所求的方程为 x y x y2 2 7 32 0     七. 巧用点差,简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。 例 7. 过点 A(2,1)的直线与双曲线 x y2 2 2 1  相交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点的轨迹方程。 解:设 P x y1 1 1( ), , P x y2 2 2( ), ,则 x y x y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2               <2>-<1>得 ( )( ) ( )( )x x x x y y y y 2 1 1 2 2 1 1 2 2      即 y y x x x x y y 2 1 2 1 1 2 1 2 2     ( ) 设 P1P2 的中点为 M x y( )0 0, ,则 k y y x x x yP P1 2 2 1 2 1 0 0 2    又 k y xAM    0 0 1 2 ,而 P1、A、M、P2 共线  k kP P AM1 2 ,即 y x x y 0 0 0 0 1 2 2    P P1 2 中点 M 的轨迹方程是 2 4 02 2x y x y    解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知 识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥 曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组 与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这 点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0
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