高考理数　三角恒等变换

高考理数　三角恒等变换

§4.2 　三角恒等变换 高考 理 数 ( 课标专用) 考点　三角函数式的求值与化简 1. (2018课标Ⅲ,4,5分)若sin α =   ,则cos 2 α =   (　　) A.   　    B.   　    C.-   　    D.-   A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案      B 　本题考查三角恒等变换. 由sin α =   ,得cos 2 α =1-2sin 2 α =1-2 ×   =1-   =   .故选B. 2. (2015课标Ⅰ,2,5分,0.86)sin 20 ° cos 10 ° -cos 160 ° ·sin 10 ° =(　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   答案      D 　∵cos   =   , ∴sin 2 α =cos   =cos 2   =2cos 2   -1=2 ×   -1=-   .故选D. 思路分析　 利用诱导公式化sin 2 α =cos   ,再利用二倍角的余弦公式即可得答案. 一题多解     cos   =   (cos α +sin α )=   ⇒ cos α +sin α =   ⇒ 1+sin 2 α =   , ∴sin 2 α =-   .故选D. 导师点睛　 求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示: (1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差; (2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”. 4. (2014课标Ⅰ,8,5分,0.737)设 α ∈   , β ∈   ,且tan α =   ,则   (　　) A.3 α - β =   　    B.3 α + β =   　    C.2 α - β =   　    D.2 α + β =   答案      C 　由tan α =   得   =   ,即sin α cos β =cos α +sin β cos α ,所以sin( α - β )=cos α , 又cos α =sin   ,所以sin( α - β )=sin   ,又因为 α ∈   , β ∈   ,所以-   < α - β <   ,0<   - α <   ,因此 α - β =   - α ,所以2 α - β =   ,故选C. 思路分析 　在已知等式中化切为弦,整理后得到sin( α - β )=cos α ,由诱导公式cos α =sin   得 sin( α - β )=sin   ,利用 α , β 的范围确定 α - β 与   - α 的范围,进而可得 α 与 β 的关系. 5. (2014课标Ⅱ,14,5分,0.603)函数 f ( x )=sin( x +2 φ )-2sin φ cos( x + φ )的最大值为 　　　     . 答案　 1 解析      f ( x )=sin[( x + φ )+ φ ]-2sin φ cos( x + φ )=sin( x + φ )cos φ +cos( x + φ )sin φ -2sin φ cos( x + φ ) =sin( x + φ )cos φ -sin φ cos( x + φ )=sin( x + φ - φ )=sin x , ∴ f ( x )的最大值为1. 思路分析 　利用拼凑法把 x +2 φ 转化为( x + φ )+ φ .从而利用两角和的正弦公式将sin[( x + φ )+ φ ]展 开,进而对 f ( x )的解析式进行整理化简,最后将函数 f ( x )的解析式化成只含一个三角函数名称的 形式,由此即可求出 f ( x )的最大值. 知识拓展　 常见角的拆分与组合: (1)将一个角拆分成两个角的和或差,如:2 α =( α + β )+( α - β ),2 β =( α + β )-( α - β ), α =( α + β )- β =( α - β )+ β , α =   -   =   -   等; (2)利用互余或互补关系拼角,如:   +   =π,   +   =   等; (3)将非特殊角转化为特殊角的和或差,如:75 ° =45 ° +30 ° ;105 ° =60 ° +45 ° ,15 ° =45 ° -30 ° 等. 考点　三角函数式的求值与化简 1. (2015重庆,9,5分)若tan α =2tan   ,则   =   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      C        =   =   =   =   , ∵tan α =2tan   ,∴   =   =3.故选C. 2. (2016四川,11,5分)cos 2   -sin 2   = 　　　     . 答案        解析 　由二倍角公式易得cos 2   -sin 2   =cos   =   . 3. (2016浙江,10,6分)已知2cos 2 x +sin 2 x = A sin( ωx + φ )+ b ( A >0),则 A = 　　　     , b = 　　　     . 答案        ;1 解析 　∵2cos 2 x +sin 2 x =1+cos 2 x +sin 2 x =   sin   +1,∴ A =   , b =1. 评析 　本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 4. (2017江苏,5,5分)若tan   =   ,则tan α = 　　　     . 答案        解析 　本题考查两角和的正切公式. 因为tan   =   , 所以tan α =tan   =   =   =   . 5. (2018江苏,16,14分)已知 α , β 为锐角,tan α =   ,cos( α + β )=-   . (1)求cos 2 α 的值; (2)求tan( α - β )的值. 解析　 本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求 解能力. (1)因为tan α =   ,tan α =   ,所以sin α =   cos α . 因为sin 2 α +cos 2 α =1,所以cos 2 α =   , 所以cos 2 α =2cos 2 α -1=-   . (2)因为 α , β 为锐角,所以 α + β ∈(0,π). 又因为cos( α + β )=-   , 所以sin( α + β )=   =   ,因此tan( α + β )=-2. 因为tan α =   ,所以tan 2 α =   =-   . 因此tan( α - β )=tan[2 α -( α + β )]=   =-   . 6. (2016江苏,15,14分)在△ ABC 中, AC =6,cos B =   , C =   . (1)求 AB 的长; (2)求cos   的值. 解析 　(1)因为cos B =   ,0< B <π, 所以sin B =   =   =   . 由正弦定理知   =   ,所以 AB =   =   =5   . (2)在△ ABC 中, A + B + C =π,所以 A =π-( B + C ),于是cos A =-cos( B + C )=-cos   =-cos B cos   +sin B ·sin   , 又cos B =   ,sin B =   ,故cos A =-   ×   +   ×   =-   . 因为0< A <π,所以sin A =   =   . 因此,cos   =cos A cos   +sin A sin   =-   ×   +   ×   =   . 评析 　本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考 查运算求解能力. 7. (2014江西,16,12分)已知函数 f ( x )=sin( x + θ )+ a cos( x +2 θ ),其中 a ∈R, θ ∈   . (1)当 a =   , θ =   时,求 f ( x )在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若 f   =0, f (π)=1,求 a , θ 的值. 解析　 (1)当 a =   , θ =   时, f ( x )=sin   +   cos   =   (sin x +cos x )-   sin x =   cos x -   sin x =sin   , 由 x ∈[0,π],知   - x ∈   . 故 f ( x )在[0,π]上的最大值为   ,最小值为-1. (2)由   得   由 θ ∈   知cos θ ≠ 0,解得   考点　三角函数式的求值与化简 1. (2015四川,12,5分)sin 15 ° +sin 75 ° 的值是 　　　     . C组    教师专用题组 答案        解析     sin 15 ° +sin 75 ° =sin 15 ° +cos 15 ° =   sin(15 ° +45 ° )=   sin 60 ° =   . 2. (2015江苏,8,5分)已知tan α =-2,tan( α + β )=   ,则tan β 的值为 　　　     . 答案 　3 解析 　∵tan α =-2,tan( α + β )=   ,∴tan β =tan[( α + β )- α ]=   =   =3. 3. (2014江苏,5,5分)已知函数 y =cos x 与 y =sin(2 x + φ )(0 ≤ φ <π),它们的图象有一个横坐标为   的 交点,则 φ 的值是 　　　     . 答案        解析 　显然交点为   ,故有sin   =   , ∴   π+ φ =2 k π+   , k ∈Z或   π+ φ =2 k π+   π, k ∈Z, ∴ φ =2 k π-   或 φ =2 k π+   , k ∈Z, 又0 ≤ φ <π,故 φ =   . 4. (2013课标Ⅱ,15,5分,0.271)设 θ 为第二象限角,若tan   =   ,则sin θ +cos θ = 　　　     . 答案 　-   解析     tan θ =tan   =   =-   , ∴sin θ =-   cos θ ,将其代入sin 2 θ +cos 2 θ =1得   cos 2 θ =1,∴cos 2 θ =   ,又易知cos θ <0,∴cos θ =-     ,∴sin θ =   ,故sin θ +cos θ =-   . 思路分析      θ =   -   ,利用两角差的正切公式求得tan θ 的值,由tan θ =   ,sin 2 θ +cos 2 θ =1及 θ 所属的象限求得sin θ 与cos θ 的值,从而求出sin θ +cos θ . 技巧点拨 　求值、化简是解三角函数问题的基础,在求值与化简时,常利用sin 2 α +cos 2 α =1实现 角 α 的正弦、余弦的互化,利用   =tan α 实现角 α 的弦切互化. 5. (2013课标Ⅰ,15,5分,0.246)设当 x = θ 时,函数 f ( x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ = 　　　     . 答案 　-   解析 　由辅助角公式得: f ( x )=     =   sin( x - φ ),其中sin φ =   ,cos φ =   ,由 x = θ 时, f ( x )取得最大值得:sin( θ - φ )=1,∴ θ - φ =2 k π+   , k ∈Z,即 θ = φ +   +2 k π,∴cos θ =cos   =- sin φ =-   . 思路分析 　由辅助角公式得 f ( x )=   sin( x - φ ).当 x = θ 时, f ( x )取最大值,故有 θ - φ =2 k π+   , k ∈Z,从而 求得 θ 值,利用诱导公式知cos θ =-sin φ ,进而可得cos θ 的值. 解题关键 　本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键. 6. (2014广东,16,12分)已知函数 f ( x )= A sin   , x ∈R,且 f   =   . (1)求 A 的值; (2)若 f ( θ )+ f (- θ )=   , θ ∈   ,求 f   . 解析 　(1) f   = A sin   =   ,∴ A ·   =   , A =   . (2) f ( θ )+ f (- θ )=   sin   +   sin   =   , ∴     =   , ∴   cos θ =   ,cos θ =   , 又 θ ∈   ,∴sin θ =   =   , ∴ f   =   sin(π- θ )=   sin θ =   . 考点　三角函数式的求值与化简 1. (2018山西长治二模,6)已知sin α =   , α ∈   ,则cos   的值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案      A 　∵sin α =   , α ∈   ,∴cos α =   ,sin 2 α =2sin α cos α =2 ×   ×   =   =   ,cos 2 α =1-2sin 2 α =1-2 ×   =1-   =   ,∴cos   =   ×   -   ×   =   .故选A. 2. (2018河南濮阳一模,5)设0 ° < α <90 ° ,若sin(75 ° +2 α )=-   ,则sin(15 ° + α )·sin(75 ° - α )=   (　　) A.   　    B.   　    C.-   　    D.-   答案      B 　因为0 ° < α <90 ° ,所以75 ° <75 ° +2 α <255 ° . 又因为sin(75 ° +2 α )=-   <0,所以180 ° <75 ° +2 α <255 ° ,角75 ° +2 α 为第三象限角,所以cos(75 ° +2 α )=-   .所以sin(15 ° + α )·sin(75 ° - α )=sin(15 ° + α )·cos(15 ° + α )=   sin(30 ° +2 α )=   sin[(75 ° +2 α )-45 ° ]=   [sin(7 5 ° +2 α )cos 45 ° -cos(75 ° +2 α )sin 45 ° ]=   ×   =   ,故选B. 3. (2018河北百校联盟4月联考,6)已知 θ 是第四象限角,且sin   =   ,则tan   =   (　　) A.   　    B.-   　    C.-   　    D.   答案      B 　解法一:∵sin   =   × (sin θ +cos θ )=   , ∴sin θ +cos θ =   ①, ∴2sin θ cos θ =-   . ∵ θ 是第四象限角,∴sin θ <0,cos θ >0, ∴sin θ -cos θ =-   =-   ②, 由①②得sin θ =-   ,cos θ =   ,∴tan θ =-   ,∴tan   =   =-   . 解法二:∵   +   =   ,∴sin   =cos   =   , 又2 k π-   < θ <2 k π, k ∈Z,∴2 k π-   < θ +   <2 k π+   , k ∈Z, ∴cos   =   ,∴sin   =   ,∴tan   =   =   ,∴tan   =-tan   =-   . 4. (2018广东七校3月联考,6)已知sin   +cos α =-   ,则cos   =   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   答案    C 　由sin   +cos α =-   ,得   sin α +   cos α +cos α =-   ,即   sin α +   cos α =-   ,亦 即   sin   =-   ,∴sin   =-   .∴cos   =sin   =sin   =-   ,故选C. 5. (2017河北衡水中学三调考试,3)若 α ∈   ,且3cos 2 α =sin   ,则sin 2 α 的值为   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   答案    C 　由3cos 2 α =sin   可得3(cos 2 α -sin 2 α )=   (cos α -sin α ),又由 α ∈   可知cos α - sin α ≠ 0,于是3(cos α +sin α )=   ,所以1+2sin α ·cos α =   ,故sin 2 α =-   .故选C. 6. (2017山西太原五中4月模拟,6)已知角 α 为锐角,若sin   =   ,则cos   =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      A 　由于角 α 为锐角,且sin   =   ,则cos   =   ,则cos   =cos   = cos   cos   +sin   sin   =   ×   +   ×   =   ,故选A. 7. (2018河南洛阳二模,13)已知sin α +cos α =   ,则cos 4 α = 　　　     . 答案        解析 　由sin α +cos α =   ,得sin 2 α +cos 2 α +2sin α ·cos α =1+sin 2 α =   ,所以sin 2 α =   ,从而cos 4 α =1- 2sin 2 2 α =1-2 ×   =   . 8. (2017豫北名校4月联考,14)计算:   = 　　　     .(用数字作答) 答案        解析        =   =   =   =   . 9. (2016山东济宁一模,14)已知 α , β ∈   ,tan( α + β )=9tan β ,则tan α 的最大值为 　　　     . 答案        解析 　∵ α , β ∈   ,∴tan α >0,tan β >0, ∴tan α =tan( α + β - β )=   =   =   ≤   =     当且仅当   =9 tan β 时等号成立   ,∴(tan α ) max =   . 一、选择题(每题5分,共30分 ) 1. (2018广东揭阳二模,5)已知 f ( x )=sin x -cos x ,实数 α 满足 f '( α )=3 f ( α ),则tan 2 α =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间:30分钟　分值:50分) 答案      A 　由题意可得 f '( x )=cos x +sin x ,∴ f '( α )=cos α +sin α .由 f '( α )=3 f ( α ),得cos α +sin α =3sin α - 3cos α ,∴2sin α =4cos α ,即tan α =2.∴tan 2 α =   =   =-   ,故选A. 思路分析 　由 f ( x )=sin x -cos x 得 f '( x ),利用 f '( α )=3 f ( α )求得tan α 的值,从而求得tan 2 α 的值. 易错警示 　在求解 f '( x )时,易把(cos x )'错求为sin x ,从而导致错解. 2. (2018河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知 a tan α + b =( a - b tan α )tan β ,且 α +   与 β 的终边相 同,则   的值为(　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      B 　已知等式可化为 a tan α + b = a tan β - b tan α ·tan β ,即 b (1+tan α ·tan β )= a ·(tan β -tan α ),∴   =   =tan( β - α ),又∵ α +   与 β 的终边相同,即 β =2 k π+ α +   ( k ∈Z),∴tan( β - α )=tan   =tan   =   ,即   =   ,故选B. 方法技巧 　应用公式解决问题的三个变换角度 (1)变角:目的是沟通题设条件与结构中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“升幂与降 幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常 有“常值代换”“逆用、变用公式”“通分、约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 3. (2018福建福州3月模拟,4)   cos 15 ° -4sin 2 15 ° cos 15 ° =   (　　) A.   　    B.   　    C.1　    D.   答案    D 　解法一:   cos 15 ° -4sin 2 15 ° cos 15 ° =   cos 15 ° -2sin 15 ° ·2sin 15 ° cos 15 ° =   cos 15 ° -2 sin 15 ° ·sin 30 ° =   cos 15 ° -sin 15 ° =2cos(15 ° +30 ° )=2cos 45 ° =   .故选D. 解法二:因为cos 15 ° =   ,sin 15 ° =   ,所以   cos 15 ° -4sin 2 15 ° ·cos 15 ° =   ×   -4 ×   ×   =   ×   =   .故选D. 方法总结 　三角函数求值问题中所给的角往往都是非特殊角,解决这类问题的主要思路有:① 化为特殊角的三角函数值求解;②化为正负相消的项,消项求值;③化分子、分母,使之出现公 约数,约分求值. 4. (2017豫北名校联考,8)若函数 f ( x )=5cos x +12sin x 在 x = θ 时取得最小值,则cos θ =   (　　) A.   　    B.-   　    C.   　    D.-   答案      B      f ( x )=5cos x +12sin x =13   =13sin( x + α ),其中sin α =   ,cos α =   , 由题意知 θ + α =2 k π-   ( k ∈Z),得 θ =2 k π-   - α ( k ∈Z), 那么cos θ =cos   =cos   =-sin α =-   ,故选B. 解题关键　 利用辅助角公式进行化简,找出 θ 与 α 的关系是解决本题的关键. 5. (2017河南百校联盟4月联考,8)已知 α 为第二象限角,且tan α +tan   =2tan α tan   -2,则sin   等于   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   答案      C     tan α +tan   =2tan α tan   -2 ⇒   =-2 ⇒ tan   =-2,∵ α 为第二象限角,∴ sin   =   ,cos   =-   ,则sin   =-sin   =-sin   =cos   sin   -sin   cos   =-   . 思路分析 　由已知条件得tan   =-2,利用同角三角函数的基本关系及 α 的范围求出sin   与cos   的值,进而利用三角恒等变换求sin   的结果. 6. (2016安徽皖江名校联考,10)已知在锐角△ ABC 中,角 α +   的终边过点 P (sin B -cos A ,cos B -sin A ),且cos   =   ,则cos 2 α 的值为   (　　) A.   　    B.-   -   　    C.   -   　    D.-   -   答案      D 　∵△ ABC 是锐角三角形,∴ A + B >   , A 、 B <   ,∴   > B >   - A >0,则sin B >sin   = cos A ,cos B 0,cos B -sin A <0,∴角 α +   为第四象限角,∴sin   =-   ,∴cos α =cos     -     =cos   cos   +sin   ·sin   =   -   ,∴cos 2 α =2 cos 2 α -1=-   -   ,故选D. 解题关键 　利用锐角三角形的定义及正、余弦函数的单调性得出 α +   的范围是解决本题的 关键.合理进行“拆角”是正确解决本题的保证. 二、填空题(每题5分,共10分) 7. (2018河南六市4月联考,4)已知cos α =   ,cos( α - β )=   ,若0< β < α <   ,则 β = 　　　     . 答案        解析　 由cos α =   ,0< α <   ,得sin α =   =   =   ,由0< β < α <   ,得0< α - β <   . 又cos( α - β )=   , ∴sin( α - β ) =   =   =   . 由 β = α -( α - β )得cos β =cos[ α -( α - β )]=cos α cos( α - β )+sin α sin( α - β )=   ×   +   ×   =   . ∵ β ∈   ,∴ β =   . 思路分析      β = α -( α - β ),求出sin α 与sin( α - β )的值,即可利用两角差的余弦公式求cos β 的值,从而 得出 β 的大小. 解题关键     细化角的范围及合理利用凑角法是解决本题的关键. 8. (2016福建宁德一模,15)已知 α 为第二象限角,sin α +cos α =   ,则cos 2 α = 　　　     . 答案　 -   解析　 ∵sin α +cos α =   , 两边平方得1+sin 2 α =   ,∴sin 2 α =-   , ∴(sin α -cos α ) 2 =1-sin 2 α =   , ∵ α 为第二象限角,∴sin α >0,cos α <0,∴sin α -cos α =   , ∴cos 2 α =-(sin α -cos α )(sin α +cos α )=-   ×   =-   . 思路分析 　由(sin α +cos α ) 2 =1+sin 2 α ,(sin α -cos α ) 2 =1-sin 2 α 及 α 所属的象限可求得sin α -cos α 的值,利用cos 2 α =(cos α +sin α )(cos α -sin α )=-(sin α -cos α )(sin α +cos α )可求得cos 2 α 的值. 易错警示 　本题解答时易忽视 α 所属的象限,从而导致sin α -cos α 的值求解错误. 三、解答题(共10分) 9. (2018豫南九校4月联考,17)已知函数 f ( x )=sin   -2sin   cos   . (1)求函数 f ( x )的最小正周期和单调递增区间; (2)若 x ∈   ,且 F ( x )=-4 λf ( x )-cos   的最小值是-   ,求实数 λ 的值. 解析 　(1)∵ f ( x )=sin   -2sin   cos   =   cos 2 x +   sin 2 x +(sin x -cos x )(sin x +cos x ) =   cos 2 x +   sin 2 x +sin 2 x -cos 2 x =   cos 2 x +   sin 2 x -cos 2 x =sin   , ∴函数 f ( x )的最小正周期 T =   =π. 由2 k π-   ≤ 2 x -   ≤ 2 k π+   得 k π-   ≤ x ≤ k π+   ( k ∈Z), ∴函数 f ( x )的单调递增区间为   ( k ∈Z). (2) F ( x )=-4 λf ( x )-cos   =-4 λ sin   -   =2sin 2   -4 λ sin   -1 =2   -1-2 λ 2 . ∵ x ∈   ,∴0 ≤ 2 x -   ≤   ,∴0 ≤ sin   ≤ 1. ①当 λ <0时,当且仅当sin   =0时, f ( x )取得最小值,最小值为-1,这与已知不相符; ②当0 ≤ λ ≤ 1时,当且仅当sin   = λ 时, f ( x )取得最小值,最小值为-1-2 λ 2 ,由已知得-1-2 λ 2 =-   , 解得 λ =-   (舍)或 λ =   ; ③当 λ >1时,当且仅当sin   =1时, f ( x )取得最小值,最小值为1-4 λ ,由已知得1-4 λ =-   ,解得 λ =   ,这与 λ >1矛盾. 综上所述, λ =   . 思路分析 　(1)由题设条件借助三角恒等变换的知识及正弦函数的图象和性质求解;(2)借助正 弦函数的有界性分类探求最小值,建立方程求解. 失分警示 　(1)对三角恒等变换公式记忆不熟,导致化简 f ( x )出错而失分;(2)忽略自变量 x 的取值 范围,从而导致未对 λ 进行分类讨论,最终失分.