（新高考）2020年高考考前适应性试卷 数学（三）

（新高考）2020年高考考前适应性试卷 数学（三）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎（新高考）2020年高考考前适应性试卷 数 学（三）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知平面向量，，满足，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．直线与圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 ‎6．的展开式中的常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，则的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知函数，，若有个零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．为了更好的支持中小型企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据得到如下的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．样本数据落在区间的频率为 C．样本平均数约为 D．样本中位数约为 ‎11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A．平面平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．在棱上存在点使得平面 ‎12．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是 ．‎ ‎14．若曲线在点处的切线与曲线相切，则的值是 ．‎ ‎15．函数的单调递增区间为______，其图像的对称中心为______．‎ ‎16．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为 ．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知在数列中，为其前项和，且，数列为等比数列，公比，，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求与的通项公式；‎ ‎（2）令，若的前项和为，求证：．‎ ‎18．（12分）已知向量，，且函数．‎ ‎（1）若，且，求的值；‎ ‎（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，的面积为，且，求的周长．‎ ‎19．（12分）某学校共有名学生，其中男生人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，月消费金额分布在之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：‎ 将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．‎ ‎（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）若样本中属于“高消费群”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎20．（12分）如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的 垂心．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎21．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，‎ 且直线与圆相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，若，，成等比数列，推断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．‎ ‎22．（12分）已知函数的两个零点为，．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎（新高考）2020年高考考前适应性试卷 数 学（三）答 案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】，，，．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】由，得，，‎ 所以在复平面内对应的点位于，故选D．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】因为，，‎ ‎，‎ 所以，故选D．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由题意可得，且，‎ 即，，，‎ 由平面向量模的计算公式可得，故选B．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】将圆的方程化为标准方程为，‎ ‎∴圆心坐标为，半径，‎ ‎∵圆心到直线的距离，‎ 则圆与直线的位置关系是相切，故选B．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】的通项为，‎ 所以的展开式中的常数项为和，‎ 又，‎ 所以的展开式中的常数项为．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】∵，∴，‎ 令，‎ ‎∵，∴函数的定义域为，‎ 可得，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎∴A选项图象符合题意，故选A．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】因为有个零点，即函数与有个交点，‎ 当时，，‎ 所以时，，单调递减；‎ 时，，单调递增，‎ 画出的图象如图所示，‎ 求出的过原点的切线，在处的切线的斜率为 ‎，‎ 设的过原点的切线的切点为，切线的斜率为，‎ 又，故，解得，，‎ 由图可知与有个交点，则，‎ 所以．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．【答案】B、C ‎【解析】因为变量与负相关，所以，排除A选项；‎ 因为，，代入检验即可得到B，C是正确选项，‎ ‎10．【答案】A、B、D ‎【解析】由已知可得，∴；‎ 样本数据落在区间的频率为；‎ 样本平均数约为 ‎；‎ 样本中位数约为．‎ ‎11．【答案】C、D ‎【解析】取的中点，连结，，则，‎ 又∵，且四边形为菱形，‎ ‎∴为等边三角形，∴，∴平面，∴D正确；‎ ‎∵平面平面，∴平面，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ 设，则，，，‎ ‎∴，∴C正确．‎ ‎12．【答案】A、C ‎【解析】由已知，为奇函数，函数对于任意的满足，‎ 得，即，‎ 所以在上单调递增；‎ 又因为为偶函数，所以在上单调递减，‎ 所以，即，A正确；‎ ‎，即，C正确．‎ 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】因为抛物线，所以焦点坐标为，准线方程为，‎ 因为点到焦点的距离为，根据抛物线定义，则到准线的距离也为，‎ 所以点到轴的距离为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即，‎ 联立，得，为直线与曲线相切，‎ 所以，解得．‎ ‎15．【答案】；‎ ‎【解析】，‎ 由，，得，‎ 所以的单调递增区间为．‎ 令，可得，‎ 所以对称中心为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】如图，连接，‎ 在中，，，所以，‎ 又∵，∴，‎ 过作垂直于，则，‎ ‎∴，∴为等腰三角形，，‎ ‎∴，即．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，，∴，‎ ‎，，‎ 由于，∴，∴．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎，①‎ ‎∴，②‎ ‎①②得，‎ ‎∴．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎∵，∴，‎ 又，∴，，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，所以，即，‎ 由正弦定理可知，‎ 又，所以．‎ 由已知的面积等于，可得，‎ 又，∴．‎ 由余弦定理得，‎ 故，从而，，‎ 所以的周长为．‎ ‎19．【答案】（1），平均数为元；（2）分布列见解析，；（3）列联表见解析，有的把握认为．‎ ‎【解析】（1）由题意知，解得，‎ 样本的平均数为：‎ ‎（元），‎ 所以估计该校学生月消费金额的平均数为．‎ ‎（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人，‎ 随机变量的所有可能取值有，，，，‎ ‎，‎ 所以，随机变量的分布列为 随机变量的数学期望．‎ ‎（3）由题可知，样本中男生人，女生人，属于“高消费群”的人，其中女生人，‎ 得出以下列联表：‎ ‎，‎ 所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】如图，延长交于点，‎ 因为为的重心，所以为的中点，‎ 因为为的中点，所以．‎ 因为是圆的直径，所以，所以．‎ 因为平面，平面，所以．‎ 又平面，平面，，‎ 所以平面．即平面，‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 则，．‎ 平面即为平面，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，令，得，‎ 过点作于点，‎ 由平面，易得，‎ 又，所以平面，即为平面的一个法向量．‎ 在中，由，得，‎ 则，，‎ 设，∴，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 设二面角的大小为，则．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）为定值，定值为5，详见解析．‎ ‎【解析】（1）因为抛物线的焦点为，则，所以，‎ 因为直线与圆相切，则，‎ 即，解得，，‎ 所以椭圆的方程是．‎ ‎（2）设直线的方程为，点，，‎ 将直线的方程代入椭圆方程，得，‎ 即，‎ 则，．‎ 由已知，，‎ 即，即，‎ 所以，即．‎ 因为，则，即，从而，．‎ 所以 为定值．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；‎ 当时，由可解得，由可解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 要使得在上有两个零点，则，解得，‎ 则的取值范围为．‎ ‎（2）令，则，‎ 由题意知方程有两个根，即方程有两个根，‎ 不妨设，，令，‎ 则当时，单调递增，时，单调递减，‎ 综上可知，，‎ 令，下面证对任意的恒成立，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，则在单调递增，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，∴，∴，∴，‎ 即．‎