2017-2018学年安徽省滁州市定远县西片三校高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年安徽省滁州市定远县西片三校高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版

定远县西片三校2017-2018学年上学期期末考试 高二（文科）数学 ‎ 2018.2 ‎ 考生注意：‎ ‎1、本卷满分150分，考试时间120分钟；‎ ‎2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息；‎ ‎3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置，在非答题区位置作答无效。‎ 一、选择题 ‎1.已知表示空间一条直线，表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①；②；③.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎2.一个体积为的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（ ） A.12 B. C.8 D.‎ ‎3.已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（　　） ‎ ‎ A.B.C.D.‎ ‎4.正四棱锥所有棱长均为2，则侧棱和底面所成的角是 （ ） A.30° B.45° C.60 ° D.90°‎ ‎5.已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（　　） A.∠CEB＞∠DEB B.∠CEB=∠DEB C.∠CEB＜∠DEB D.∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定 ‎6.若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D.‎ ‎8.如图, 正三棱柱的主视图(又称正视图)是边长为4的正方形, 则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为( ) A. B. C. D.16‎ ‎9.如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是（   ） A.B.  C.D.‎ ‎10.已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（   ） A. B.4π C.2π D.‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(　　)‎ A. 30° B. 60°‎ C. 90° D. 120°‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1 ， B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP= ，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=    ． ‎ ‎14.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为    ． ‎ ‎15.要做一个无盖型容器，将长为15cm，宽为8cm的长方形铁皮先在四角分别截去一个相同的小正方形后再进行焊接，当该容器容积最大时高为    cm．‎ ‎16.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下四个判断中，正确的序号是_________．‎ ‎①与平行；②与是异面直线；③与成60°角；④与是异面直线．‎ 三、解答题 ‎17.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C． （I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C； （II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值． ‎ ‎18.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD． （1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积． ‎ ‎19.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ． （Ⅰ ‎）求四棱锥S﹣ABCD的体积； （Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． ‎ ‎20.如图，平面为圆锥的轴截面， 为底面圆的圆心， 为母线的中点， 为底面圆周上的一点， ‎ 求该圆锥的侧面积；‎ 若直线与所成的角为，求的长.‎ ‎21.如图，三棱锥中，平面平面， ，点在线段上，且， ，点在线段上，且平面.‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）证明： 平面；‎ ‎（3）若四棱锥的体积为7，求线段的长.‎ ‎22.如下图，在几何体中， ，且是正三角形，四边形为正方形， 是线段的中点， ， ‎ ‎（Ⅰ）若是线段上的中点，求证: ‎ ‎（Ⅱ）若是线段上的动点，求三棱锥的体积 参考答案 ‎1.B ‎【解析】命题①：若 ， 则是正确的命题，如图（1）过直线作一个平面 ， ， 则由 ， 结合线面平行的性质可知 ， 因为 ， 所以 ， 而 ， 所以由面面垂直的判定可得；命题②：若 ， 则是错误的命题，如图（2），直线可能在平面内；命题③：若 ， 则是错误的命题，如图（3），直线可能在内，如图（4），直线也可能与平行，综上可知，三个命题中只有一个命题是正确的，故选B. ‎ ‎2.D ‎【解析】此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是 2 ， 由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可．设棱柱的高为h，由左视图知，底面正三角形的高是 2 ， 由正三角形的性质知，其边长是4，故底面三角形的面积是×2× 4="4" 由于其体积为 12 ， 故有h×4=12 ， 得h=3，由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×2=6 ，‎ ‎ 故选D ‎ ‎3.B ‎【解析】由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形， 由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2 故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形， 故选B．‎ ‎4.B ‎【解析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角． 如图， 四棱锥P-ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO， 则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角， ∵AO= ， PA=2， ∴cos∠PAO== ． ∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°． 故选 B．‎ ‎5.A ‎【解析】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB， 所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB 在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF 易知tan∠CEF=tan∠DEB= 由CF＞DF知，∠CEB＞∠‎ DEB 故选A． ‎ ‎6.D ‎【解析】若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交． 由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交， 故选D．‎ ‎7.A ‎【解析】由三视图可知直观图上半部分为半球，半径为2，下半部分为长方体，三边为2,2,3所以表面积为,选A。‎ ‎8.A ‎【解析】由主视图可知正三棱柱底面边长为4，侧棱长为4，所以左视图为矩形，两边分别为4和,其面积为 ‎9.A ‎【解析】对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意； 对于B，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意； 对于C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意； 对于D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，不符合题意 故选：A ‎10.D ‎【解析】：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为 ， ∴正四棱柱体对角线的长为 =2 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上， ∴‎ 正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1 根据球的体积公式，得此球的体积为V= πR3= π． 故选：D．‎ ‎11.C ‎【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，‎ 其体积为 故选：C ‎12.C ‎【解析】.如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝．‎ ‎∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，‎ ‎∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．‎ ‎∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，‎ ‎∴∠CMA＝90°，故选C．‎ ‎13. a ‎【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1 ， MN⊂平面ABCD ∴MN∥平面A1B1C1D1 ， 又PQ=面PMN∩平面A1B1C1D1 ， ∴MN∥PQ． ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点 ∴MN∥A1C1∥AC， ∴PQ∥AC，又AP= ，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体， ∴CQ= ，从而DP=DQ= ， ‎ ‎∴PQ= = = a． 故答案为： a ‎ ‎14.‎ ‎【解析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF， ED1 ， ∴CC1∥EF， 又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF， ∴CC1∥平面D1EF． ∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离． 过点C1作C1M⊥D1F， ∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1 ． ∴C1M⊥平面D1EF． 过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C． 取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形． 可得NP⊥平面D1EF， 在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得 = ． ∴点P到直线CC1的距离的最小值为 ． 故答案为 ‎ ‎15.‎ ‎【解析】设容器的高为x，（0＜x＜4）， 则当该容器容积V=（15﹣2x）（8﹣2x）x=4x3﹣46x2+120x， V′=12x2﹣92x+120， 由V′=0，得x= 或x=6（舍）， ‎ ‎∵x∈（0， ）时，V′＞0；x∈（ ，4）时，V′＜0． ∴当x= cm时，该容器容积最大． 故答案为： ．‎ ‎16.③④‎ ‎【解析】‎ 展开图还原的正方体如图，不难看出，①与平行；错误的，应为异面直线；②与是异面直线，错误；应是平行线；③与成，是正确的；④与是异面直线，是正确的，故选③④．‎ ‎17.证明：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1 ． 又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1 ， ∴AB⊥平面BB1C1C， 又AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C． （Ⅱ）由题意， CB=CB1 ， 设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1 ． 由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A．建立如图所示的坐标系O﹣xyz． 其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴． 不妨设AB=2，则A（2，﹣1，0），B（0，﹣1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）． =（﹣2，0，0），=（﹣2，1，），=(0,2,0)． 设=（x1 ， y1 ， z1）为面ABC的法向量，则•=0，•=0， 即取z1=﹣1，得=（0，，﹣1）． 设=（x2 ， y2 ， z2）为面ACA1的法向量，则•=0，•=0， 即取x2=，得=（，0，2）． 所以cos〈n1 ， n2＞==﹣． 因此二面角B﹣AC﹣A1的余弦值为﹣． ‎ ‎ ‎ ‎18.（1）证明：（1）∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PB⊂⊙O所在的平面PAB， ∴AD⊥PB， ∵PA⊥PB，PA∩AD=A， ∴PB⊥平面PAD， ∵PB⊂平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PAD； （2）解：在平面PAB内过P作PE⊥AB于E， ∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE⊂⊙O所在的平面PAB， ∴AD⊥PE， ∵AD∩AB=A， ∴PE⊥平面ABCD， 直角△PAB中，AB=2，PA=1， ∴PB=， ∴PE==， ∴四棱锥P﹣ABCD的体积V=． ‎ ‎19.（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M底面=(BC+AD)xAB= ∴四棱锥S﹣ABCD的体积是V=xSAxM底面=x1x=； （Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE， 则SE是所求二面角的棱 ∵AD∥BC，BC=2AD ∴EA=AB=SA， ∴SE⊥SB ∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC， EB是交线．又BC⊥EB， ∴BC⊥面SEB， 故SB是SC在面SEB上的射影， ∴CS⊥SE， 所以∠BSC是所求二面角的平面角 ∵SB==,BC=1,BCSB ∴tan∠BSC= 即所求二面角的正切值为．‎ ‎20.（1） （2）‎ ‎（1）由题意知， 平面，‎ 在中， ‎ 该圆锥的侧面积；‎ 取的中点，连接 为母线的中点， 为的中位线，‎ 平面平面 平面 ‎ 直线与所成的角为， ‎ 在中， ‎ ‎21.（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）证明过程见解析；（Ⅲ） 或.‎ ‎（Ⅰ）证明： //平面. 平面，平面平面，‎ 所以根据线面平行的性质可知// ，‎ ‎（Ⅱ）由可知为等腰中边的中点，故，‎ 又平面平面，平面平面 , 平面 ， ，‎ 平面， 平面,‎ 又， // 所以平面.‎ ‎（Ⅲ）设，在直角三角形中， ，‎ ‎，即， ‎ ‎// 知相似于，所以， ‎ 由得，‎ 从而四边形的面积为，‎ 由（Ⅱ）可知是四棱锥的高， ，‎ 所以，‎ 所以，所以或，‎ 所以或.‎ ‎22.（1）详见解析；（2）.‎ ‎（Ⅰ）解法一：取的中点，连接， ‎ 是线段的中点，‎ ‎ 且，‎ 四边形为正方形， 是线段上的中点 ‎ 且， ‎ ‎∴且，‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ 解法二：取的中点，连接， ‎ 是线段的中点，‎ 四边形为正方形，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ 又是线段上的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ）四边形为正方形，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎=‎