2021届高考数学一轮复习第七章不等式第3节基本不等式及其应用教学案含解析新人教A版

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2021届高考数学一轮复习第七章不等式第3节基本不等式及其应用教学案含解析新人教A版

第3节 基本不等式及其应用 考试要求 1.了解基本不等式的证明过程;2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.基本不等式:≤ ‎(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.‎ ‎2.两个重要的不等式 ‎(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,则 ‎(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).‎ ‎(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎2.ab≤≤.‎ ‎3.≤≤≤(a>0,b>0).‎ ‎4.应用基本不等式求最值要注意:“一定,二正,三相等”,忽略某个条件,就会出错.‎ ‎5.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(  )‎ - 13 -‎ ‎(2)函数y=x+的最小值是2.(  )‎ ‎(3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.(  )‎ ‎(4)x>0且y>0是+≥2的充要条件.(  )‎ 解析 (1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;‎ 不等式≥成立的条件是a≥0,b≥0.‎ ‎(2)函数y=x+的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.‎ ‎(3)函数f(x)=sin x+没有最小值.‎ ‎(4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.(新教材必修第一册P48T1改编)已知x>2,则x+的最小值是(  )‎ A.2 B.4 C.2 D.6‎ 解析 ∵x>2,∴x+=(x-2)++2≥2+2=4+2=6.‎ 当x-2=,即x=4时等号成立.‎ 答案 D ‎3.(新教材必修第一册P45例1改编)若x<0,则x+(  )‎ A.有最小值,且最小值为2‎ B.有最大值,且最大值为2‎ C.有最小值,且最小值为-2‎ D.有最大值,且最大值为-2‎ 解析 因为x<0,所以-x>0,x+=-≤-2=-2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.‎ 答案 D ‎4.(2020·安徽江南十校联考)已知实数x满足logx>1,则函数y=8x+ - 13 -‎ 的最大值为(  )‎ A.-4 B.8 C.4 D.0‎ 解析 由logx>1得00,8b>0,所以2a+≥2=2·2=,当且仅当2a=,即a=-3,b=1时取等号.故2a+的最小值为.‎ 答案  考点一 利用基本不等式求最值 多维探究 角度1 配凑法求最值 ‎【例1-1】 (1)(2020·乐山一中月考)设00,则a+的最小值为________.‎ 解析 (1)y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]‎ ‎≤2=,‎ 当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.‎ - 13 -‎ ‎∵∈,∴函数y=4x(3-2x)的最大值为.‎ ‎(2)由题意可知a+=a++-≥2-=,当且仅当a+=,即a=时等号成立.所以a+的最小值为.‎ 答案 (1) (2) 规律方法 配凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:‎ ‎(1)配凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;‎ ‎(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标;‎ ‎(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.‎ 角度2 常数代换法求最值 ‎【例1-2】 (2019·龙岩一模)已知x>0,y>0,且+=,则x+y的最小值为(  )‎ A.3 B.5 C.7 D.9‎ 解析 ∵x>0,y>0,且+=,∴x+1+y=2(x+1+y)=2≥2=8,当且仅当=,即x=3,y=4时取等号,∴x+y≥7,故x+y的最小值为7.‎ 答案 C 规律方法 常数代换法求最值的步骤 ‎(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);‎ ‎(2)把确定的定值(常数)变形为1;‎ ‎(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;‎ ‎(4)利用基本不等式求解最值.‎ 角度3 消元法求最值 ‎【例1-3】 若正数x,y满足x2+6xy-1=0,则x+2y的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 解析 因为正数x,y满足x2+6xy-1=0,所以y=.由即解得00,y>0,x+2y=5,则的最小值为________.‎ ‎(3)(角度3)若a,b,c都是正数,且a+b+c=2,则+的最小值是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ 解析 (1)f(x)==- ‎=-=- ‎=-(x+1)++2.‎ 因为x<-1,所以x+1<0,-(x+1)>0,‎ 所以f(x)≥2+2=4,‎ 当且仅当-(x+1)=,即x=-2时,等号成立.‎ 故f(x)的最小值为4.‎ ‎(2)∵x>0,y>0,∴>0.‎ ‎∵x+2y=5,∴= ‎==2+≥2=4,‎ 当且仅当2=,即x=3,y=1或x=2,y=时取等号.‎ ‎∴的最小值为4.‎ ‎(3)由题意可得b+c=2-a>0,所以00,μ>0),则+的最小值为(  )‎ A.16 B.8 C.4 D.2‎ ‎(2)(2020·长沙模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=,且+≥ 8恒成立,则正实数a的最小值为________.‎ 解析 (1)由题意可知,=λ+4μ,又B,P,D共线,由三点共线的充要条件可得λ+4μ=1,又因为λ>0,μ>0,所以+=×(λ+4μ)=8++≥8+2=16,当且仅当λ=,μ=时等号成立,故+的最小值为16.故选A.‎ ‎(2)∵PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,‎ ‎∴VP-ABC=××3×2×1=1=+x+y.‎ ‎∴x+y=,则2x+2y=1.‎ ‎∵a>0,∴+=(2x+2y)=2+2a++≥2+2a+4(当且仅当=,即y=x时,取等号),因此2+2a+4≥8,解得a≥1,‎ ‎∴正实数a的最小值为1.‎ - 13 -‎ 答案 (1)A (2)1‎ 规律方法 (1)当基本不等式与其它知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.‎ ‎(2)求参数的值或范围时,要观察题目的特点,利用基本不等式确定相关成立的条件,从而得到参数的值或范围.‎ ‎【训练3】 (2020·厦门联考)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为(  )‎ A. B.2 C.4 D. 解析 ∵对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,‎ ‎∴m2+2n2≥amn,即a≤=+恒成立,‎ ‎∵+≥2=2,当且仅当=即m=n时取等号,∴a≤2,故a的最大值为2,故选B.‎ 答案 B A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是(  )‎ A.a+b≥2 B.+≥2‎ C.≥2 D.a2+b2>2ab 解析 因为和同号,所以=+≥2.‎ 答案 C ‎2.若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为(  )‎ A.9 B.18 C.36 D.81‎ 解析 因为x+y=18,所以≤=9,当且仅当x=y=9时,等号成立.‎ 答案 A ‎3.下列结论正确的是(  )‎ A.当x>0且x≠1,lg x+≥2‎ B.<1(x∈R)‎ - 13 -‎ C.当x>0时,+≥2‎ D.当00时,+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立;‎ 对于D,当00,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值为(  )‎ A.4 B. C. D.6‎ 解析 圆的一般方程化成标准方程得(x+1)2+(y-2)2=4,依据圆心(-1,2)在直线ax-by+2=0上,得a+2b=2(a>0,b>0),∴+=(a+2b)=×≥×(5+2)=(当且仅当a=b=时取等号).‎ 答案 B ‎8.(2020·信阳模拟)已知角α,β的顶点都为坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,且都为第一象限的角,α,β的终边上分别有点A(1,a),B(2,b),且α=2β,则+b的最小值为(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ 解析 由已知可得tan α=a,tan β=,‎ ‎∵α=2β,∴tan α=tan 2β,∴a=,‎ 即a=,由a>0,b>0得>0,则00,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大值为8万元.‎ 答案 8‎ ‎11.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.‎ 解析 法一 由题意可设P(x0>0),‎ 则点P到直线x+y=0的距离d==≥=4,当且仅当2x0=,即x0=时取等号.故所求最小值是4.‎ 法二 设P(x0>0),则曲线在点P处的切线的斜率为k=1-.令1-=-1,结合x0>0得x0=,∴P(,3),曲线y=x+(x>0)上的点P到直线x+y=0的最短距离即为此时点P到直线x+y=0的距离,故dmin==4.‎ 答案 4‎ ‎12.(2019·天津卷)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为________.‎ 解析 ===2+.‎ ‎∵x>0,y>0且x+2y=4,‎ ‎∴4≥2(当且仅当x=2,y=1时取等号),‎ ‎∴2xy≤4,∴≥,‎ ‎∴2+≥2+=.‎ 答案  B级 能力提升 ‎13.正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[3,+∞) B.(-∞,3]‎ - 13 -‎ C.(-∞,6] D.[6,+∞)‎ 解析 因为a>0,b>0,+=1,‎ 所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,当且仅当=,即a=4,b=12时,等号成立.‎ 由题意,得16≥-x2+4x+18-m,‎ 即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立,‎ 令f(x)=x2-4x-2,‎ 则f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6,‎ 所以f(x)的最小值为-6,‎ 所以-6≥-m,即m≥6.‎ 答案 D ‎14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1,内切圆半径也为1,若△ABC的三边长分别为a,b,c,则+的最小值为(  )‎ A.2 B.2+ C.4 D.2+2 解析 因为△ABC的面积为1,内切圆半径也为1,‎ 所以(a+b+c)×1=1,所以a+b+c=2,‎ 所以+=+=2++≥2+2,‎ 当且仅当a+b=c,即c=2-2时,等号成立,‎ 所以+的最小值为2+2.‎ 答案 D ‎15.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.‎ 解析 ∵a,b∈R,ab>0,‎ ‎∴≥=4ab+≥2=4,‎ 当且仅当即时取得等号.‎ 答案 4‎ ‎16.已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a - 13 -‎ 的取值范围是________.‎ 解析 对任意x∈N*,f(x)≥3,‎ 即 ≥3恒成立,即a≥-+3.‎ 设g(x)=x+,x∈N*,则g(x)=x+≥4,‎ 当x=2时等号成立,又g(2)=6,g(3)=,‎ ‎∵g(2)>g(3),∴g(x)min=.∴-+3≤-,‎ ‎∴a≥-,故a的取值范围是.‎ 答案  C级 创新猜想 ‎17.(新定义题)规定:“⊗”表示一种运算,即a⊗b=+a+b(a,b为正实数).若1⊗k=3,则k的值为________,此时函数f(x)=的最小值为________.‎ 解析 由题意得1⊗k=+1+k=3,即k+-2=0,解得=1或=-2(舍去),所以k=1,故k的值为1.‎ 又f(x)===1++≥1+2=3,‎ 当且仅当=,即x=1时取等号,‎ 故函数f(x)的最小值为3.‎ 答案 1 3‎ - 13 -‎
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