2015广州一测文数参考答案

2015广州一测文数参考答案

1 2015 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案 不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分． 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共 5 小题，每小题 5 分，满 分 20 分．其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题． 11.  2, 12. 2e 13. 2015 2016 14. 2, 4   15. 3 说明: 第 14 题答案可以是 2,2 ,4kk Z. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知 识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：   sin cos6f x x x   sin cos cos sin cos66x x x   „ „„„„ „ „„„„ 1 分 31sin cos22xx „ „„„„ „ „„„„ 2 分 sin cos cos sin66xx „ „„„„ „ „„„„ 3 分 sin 6x  . „ „„„„ „ „„„„ 4 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A B C C A C A 2 ∴ 函数  fx的最小正周期为 2 . „ „„„„ „ „„„„ 5 分 （2）解：∵ 4 35f  ， ∴ 4sin 3 6 5    . „ „„„„ „ „„„„ 6 分 ∴ 4sin 25  . ∴ 4cos 5  . „ „„„„ „ „„„„ 7分 ∵  是第一象限角， ∴ 2 3sin 1 cos 5   . „ „„„„ „ „„„„ 8 分 ∴ sin 3tan cos 4  . „ „„„„ „ „„„„ 9 分 ∴ tan tan 4tan 4 1 tan tan 4    „ „„„„ „ „„„„ 10 分 3 14 3114    „ „„„„ „ „„„„ 11 分 1 7 . „ „„„„ „ „„„„ 12 分 17. （本小题满分 12 分） （本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以 及数据处理能力与应用意识） （1）解: 由 0.05 0.35 0.20 0.10 1.00c     ，得 0.30c  . „ „„„„ „ „„„„ 1 分 由 0.30100 a  ，得 30a  ， „ „„„„ „ „„„„ 2 分 由5 30 35 10 100b     ，得 20b  . „ „„„„ „ „„„„ 3 分 （2）解：依据分层抽样的方法，抽取的 20 名志愿者中身高在区间 175,180 上的有 0.20 20 4名，记为 , , ,A B C D ； „„„ „ „„„„„„„ „ „„„„ 5 分 而身高在区间 180,185 上的有 0.10 20 2名，记为 ,EF. „„„ „ „„„„ 7 分 记“这 2 名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180 cm”为事件 M ， 从身高不低于175 cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作，共有15种不同取法： { , },{ , },{ , },{ , },{ , }A B A C A D A E A F ，{ , },{ , },{ , },{ , }B C B D B E B F ， { , },{ , },{ , }C D C E C F ，{ , },{ , }D E D F ，{ , }EF ． „ „„„„ „ „„„„ 9 分 3 H F E P O D B A 事件 M 包含的基本事件有9 种：{ , },{ , }A E A F ，{ , },{ , }B E B F ，{ , },{ , }C E C F { , },{ , }D E D F ，{ , }EF ． „ „„„„ „ „„„„ 11 分 ∴  PM  93 15 5 为所求． „ „„„„ „ „„„„ 12 分 18．（本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点 E ， F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴ BD ∥ EF . „ „„„„ „ „„„„ 1 分 ∵菱形 ABCD的对角线互相垂直， ∴ BD AC . „ „„„„ „ „„„„ 2 分 ∴ EF AC . „ „„„„ „ „„„„ 3 分 ∴ EF AO ， EF PO . „ „„„„ „ „„„„ 4 分 ∵ AO 平面 POA， PO  平面 POA， AO PO O ， ∴ EF  平面 POA. „ „„„„ „ „„„„ 5 分 ∴ BD  平面 POA. „ „„„„ „ „„„„ 6 分 （2）解：设 AO BD H ，连接 BO ， ∵ 60DAB ， ∴△ ABD 为等边三角形. „ „„„„ „ „„„„ 7 分 ∴ 4BD  ， 2BH  ， 23HA  ， 3HO PO. „„„ „ „„„„ 8 分 在 R t△ BHO 中， 227BO BH HO   ， „ „„„„ „ „„„„ 9 分 在△ PBO 中， 2 2 210  BO PO PB ， „ „„„„ „ „„„„ 10 分 ∴ PO BO . „ „„„„ „ „„„„ 11 分 ∵ PO EF ， EF BO O ， EF  平面 BFED ， BO  平面 BFED ， ∴ PO 平面 BFED . „ „ „„„ „ „„„„ 12 分 梯形 BFED 的面积为  1 332S EF BD HO    ，„„„„ „ „„„„ 13 分 ∴四棱锥 P BFED 的体积 113 3 3 333V S PO      .„ „ „„„„ 14 分 19．（本小题满分14分） （本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运 算求解能力和创新意识） （1）解：∵ 1 1a  ,     1 11 2nn nnnS n S    , ∴ 21 12212SS   . „ „„„„ „ „„„„ 1 分 4 ∴ 2 1 11 2 1 2 3S S a     . „ „„„„ „ „„„„ 2 分 ∴ 2 2 1 2a S a   . „ „„„„ „ „„„„ 3 分 （2）解法 1: 由     1 11 2nn nnnS n S    , 得 1 1 12 nnSS nn   . „ „ „ „ „„„„ 4 分 ∴ 数列 nS n  是首项为 1 11 S  , 公差为 1 2 的等差数列. ∴    111 1 122 nS nnn      . „ „„„„ „ „„„„ 5 分 ∴  1 2n nnS  . „ „„„„ „ „„„„ 6 分 当 2n  时, 1n n na S S  „ „„„„ „ „„„„ 7 分    11 22 n n n n n . „ „„„„ „ „„„„ 8 分 而 11 a 适合上式， ∴ nan  . „ „„„„ „ „„„„ 9 分 解法 2: 由     1 11 2nn nnnS n S    , 得     1 1 2n n n nnn S S S    ， ∴   1 1 2nn nnna S  ． ① „ „ „ „„ „ „„„„ 4 分 当 2n  时，    1 11 2nn nnn a S     ，② ①  ②得         11 111 22n n n n n n n nna n a S S       ， ∴ 1nnna na n ． „ „„„„ „ „„„„ 5 分 ∴ 1 1nnaa ． „ „„„„ „ „„„„ ６分 ∴ 数列 na 从第２项开始是以 2 2a  为首项, 公差为1的等差数列. „„„ ７分 ∴  22na n n    . „ „„„„ „ „„„„ ８分 5 而 11 a 适合上式， ∴ nan  . „ „„„„ „ „„„„ 9 分 （3）解：由(2)知 nan ,  1 2n nnS  . 假设存在正整数 k , 使 ka , 2kS , 4ka 成等比数列, 则 2 24k k kS a a . „ „„„„ „ „„„„ 10 分 即   22 2 1 42 kk kk  . „ „„„„ „ „„„„ 11 分 ∵ k 为正整数, ∴ 22 1 4k . 得 2 1 2k  或 2 1 2k    , „ „„„„ „ „„„„ 12 分 解得 1 2k  或 3 2k  , 与 k 为正整数矛盾. „ „„„„ „ „„„„ 13 分 ∴ 不存在正整数 k , 使 ka , 2kS , 4ka 成等比数列. „ „„„„ „ „„„„ 14 分 20.（本小题满分14分） （本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查 数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解法 1： ∵ 双曲线 2 2 2 :12 xCy的顶点为 1( 2, 0)F  , 2 ( 2, 0)F , „„„„ 1 分 ∴ 椭圆 1C 两焦点分别为 1( 2, 0)F  , 2 ( 2, 0)F . 设椭圆 1C 方程为 12 2 2 2  b y a x  0ab ， ∵ 椭圆 1C 过点 A ( 2, 1) ， ∴ 1224a AF AF   ，得 2a  . „ „„„ „ „„„„ 2 分 ∴  222 22ba   . „ „„„ „ „„„„ 3 分 ∴ 椭圆 1C 的方程为 22 142 xy. „ „„„ „ „„„„ 4 分 6 解法 2: ∵ 双曲线 2 2 2 :12 xCy的顶点为 1( 2, 0)F  , 2 ( 2, 0)F , „„„„„„„ 1 分 ∴ 椭圆 1C 两焦点分别为 1( 2, 0)F  , 2 ( 2, 0)F . 设椭圆 1C 方程为 12 2 2 2  b y a x  0ab ， ∵ 椭圆 1C 过点 A ( 2, 1) ， ∴ 22 211ab. ① „ „„„ „ „„„„ 2 分 . ∵ 222ab, ② „ „„„ „ „„„„ 3 分 由①②解得 2 4a  , 2 2b  . ∴ 椭圆 1C 的方程为 22 142 xy. „ „„„ „ „„„„ 4 分 （2）解法 1：设点 ),( yxQ ，点 ),( 11 yxP ， 由 A ( 2, 1) 及椭圆 1C 关于原点对称可得 B ( 2, 1) ， ∴ ( 2, 1)AQ x y    ， 11( 2, 1)AP x y    ， ( 2, 1)BQ x y    ， 11( 2, 1)BP x y    . 由 0AQ AP   , 得 11( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y      ， „„„ „ „„„„ 5 分 即 11( 2)( 2) ( 1)( 1)x x y y      . ① 同理, 由 0BQ BP   , 得 11( 2)( 2) ( 1)( 1)x x y y      . ② „ „„„„ 6 分 ① ②得 2 2 2 2 11( 2)( 2) ( 1)( 1)x x y y     . ③ „ „„„ „ „„„„ 7 分 由于点 P 在椭圆 1C 上, 则 22 11142 xy，得 22 1142xy , 代入③式得 2 2 2 2 112( 1)( 2) ( 1)( 1)y x y y      . 当 2 1 10y  时，有 2225xy， 当 2 1 10y  ，则点 ( 2, 1)P 或 ( 2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或 7 ( 2, 1) ，其坐标也满足方程 2225xy. „ „„„ „ „„„„ 8 分 当点 P 与点 A 重合时，即点 P ( 2, 1) ，由②得 23yx， 解方程组 222 5, 2 3, xy yx    得点Q 的坐标为 2, 1 或 2 ,22  . 同理, 当点 P 与点 B 重合时，可得点Q 的坐标为 2,1 或 2 ,22  . ∴点Q 的轨迹方程为 2225xy, 除去四个点 2, 1 , 2 ,22  ,  2,1 , 2 ,22  . „ „„„ „ „„„„ 9 分 解法 2：设点 ),( yxQ ，点 ),( 11 yxP ， 由 A ( 2, 1) 及椭圆 1C 关于原点对称可得 B ( 2, 1) ， ∵ 0AQ AP   ， 0BQ BP   ， ∴ AQAP  ， BQBP  . ∴ 1 1 1 1 1 22 y y xx       1 2x  ，① „„„ „ „„„„ 5 分 1 1 1 1 1 22 y y xx       1 2x  . ② „„„ „ „„„„ 6 分 ①② 得 1 2 2 22 1 1 1 122 y y xx  . (*) „ „„„ „ „„„„ 7 分 ∵ 点 P 在椭圆 1C 上, ∴ 22 11142 xy，得 2 2 1 1 2 2 xy  , 代入(*)式得 2 21 22 1 11 12 122 x y xx   ，即 2 2 11122 y x  , 化简得 2225xy. 若点 ( 2, 1)P 或 ( 2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或 8 ( 2, 1) ，其坐标也满足方程 2225xy. „ „„„ „ „„„„ 8 分 当点 P 与点 A 重合时，即点 P ( 2, 1) ，由②得 23yx， 解方程组 222 5, 2 3, xy yx    得点Q 的坐标为 2, 1 或 2 ,22  . 同理, 当点 P 与点 B 重合时，可得点Q 的坐标为 2,1 或 2 ,22  . ∴点Q 的轨迹方程为 2225xy, 除去四个点 2, 1 , 2 ,22  ,  2,1 , 2 ,22  . „ „„„ „ „„„„ 9 分 (3) 解法１：点Q  ,xy到直线 :AB 20xy的距离为 2 3 xy . △ ABQ 的面积为 22 21 ( 2 2) ( 1 1)2 3 xy S        „ „„„ „ „„„„ 10 分 2xy 222 2 2x y xy   . „ „„„ „ „„„„ 11 分 而 2 22 2 2 (2 ) ( ) 4 22 yyxy x x     （当且仅当 2 2 yx  时等号成立） ∴ 2 2 2 2 2 2 2 252 2 2 2 4 522 yS x y xy x y x x y         52 2 . „„ 12 分 当且仅当 2 2 yx  时, 等号成立. 由 22 2, 2 2 5, yx xy     解得 2 ,2 2, x y     或 2 ,2 2. x y     „ „„„ „ „„„„ 13 分 ∴△ ABQ 的面积最大值为 52 2 , 此时,点Q 的坐标为 2 ,22   或 2 ,22  .„ 14 分 解法２：由于    2 22 2 1 1 2 3AB       ， 故当点Q 到直线 AB 的距离最大时，△ ABQ 的面积最大． „ „„„ „ „„„„ 10 分 9 设与直线 AB 平行的直线为 20x y m   ， 由 22 2 0, 2 5, x y m xy      消去 x ，得 225 4 2 2 5 0y my c    ， 由  2232 20 2 5 0mm     ，解得 52 2m  ． „ „„„ „ „„„„ 11 分 若 52 2m  ，则 2y  ， 2 2x  ；若 52 2m  ，则 2y  ， 2 2x  ． „ 12 分 故当点Q 的坐标为 2 ,22   或 2 ,22  时，△ ABQ 的面积最大，其值为  22 2 2221 5 2 2212 S AB      ． „ „„„ „ „„„„ 14 分 21. （本小题满分14分） （本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、 化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解: 由于 01t， 0x  ，则   1 1 1 12122 ttg x x x txx        ， 当且仅当 1 tx x  ，即 1xt时，   min 1g x t . „ „„„ „ „„ 1 分   2 22h x x x t     211xt    ，当 1x  时，   min 1h x t . „ „„„ „ „„„„ 2分 ∵ 01t， ∴1 1 2t   ， 0 1 1t   . 由于   32f x x ax bx     2x x ax b    ，结合题意，可知， 方程 2 0x ax b    的两根是 1 t ， 1 t ， „ „„„ „ „„„„ 3 分 故 11t t a    ， 11t t b     . „ „„„ „ „„„„ 4 分 ∴ 2 2 2 1 1 2 2a t t b       . ∴ 211 2ba . „ „„„ „ „„„„ 5 分 10 而方程 2 0x ax b    的一个根在区间 1, 2 上，另一个根在区间 0,1 上. 令   2x x ax b     ， 则       0 0, 1 1 0, 2 2 2 0. b ab ab                 „ „„„ „ „„„„ 6 分 即 2 2 2 11 0,2 11 1 0,2 12 2 1 0.2 a aa aa              解得 2 2, 0 2, 2. aa a a         或 „ „„„ „ „„„„ 7 分 ∴ 22a. „ „„„ „ „„„„ 8 分 ∴ 211 2ba ， 22a. 求 a 的取值范围的其它解法： 另法 1：由 11a t t    ，得 222 2 1at   ， „ „„„ „ „„„„ 6 分 ∵ 01t， ∴ 224a． „ „„„ „ „„„„ ７分 ∵ 11a t t    0 ， ∴ 22a． „ „„„ „ „„„„ 8 分 另法 2：设   11t t t     ， 01t， 则   2 1 1 1 1 0 2 1 2 1 21 ttt tt t           ， „ „„„ „ „„„„ 6 分 故函数  t 在区间 0,1 上单调递减． ∴    2,2t  ． „ „„„ „ „„„„ ７分 ∴ 22a． „ „„„ „ „„„„ 8 分 （2）解：由（1）得   3 2 211 2f x x ax a x     ， 11 则   2213 2 1 2f x x ax a      . „ „„„ „ „„„„ 9 分 ∵ 22a， ∴二次函数   2213 2 1 2f x x ax a      的开口向下，对称轴 2 33 ax . 故函数  fx 在区间 1,2 上单调递减. „ „„„ „ „„„„ 10 分 又    22111 3 2 1 2 022f a a a          ， „ „„„ „ „„„„ 11 分 ∴当  1,2x 时，    10f x f. ∴函数  fx在区间 1,2 上单调递减. „ „„„ „ „„„„ 12 分 ∴函数  fx的最大值为   211 2f a a ，最小值为   22 4 6f a a    . „ „„„ „ „„„„ 14 分