2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 4

2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 4

‎4.圆锥曲线 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1,2)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|＝|PN|.求直线AB的斜率．‎ 解　(1)依题意，设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，‎ 由抛物线C经过点P(1,2)，得a＝4，‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)因为|PM|＝|PN|，‎ 所以∠PMN＝∠PNM，所以∠1＝∠2，‎ 所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以kPA＋kPB＝0.‎ 依题意，直线AP的斜率存在，‎ 设直线AP的方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，‎ 将其代入抛物线C的方程，‎ 整理得k2x2－2(k2－2k＋2)x＋k2－4k＋4＝0.‎ 设A(x1，y1)，则1×x1＝，‎ y1＝k(x1－1)＋2＝－2，‎ 所以A，以－k替换点A坐标中的k，‎ 得B.‎ 所以kAB＝＝－1.所以直线AB的斜率为－1.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)和直线l：x＝4，圆C与直线l相切，并且圆心C关于点F的对称点在圆C上，直线l与x轴相交于点P.‎ ‎(1)求圆心C的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过点F且与直线l不垂直的直线m与圆心C的轨迹E相交于点A，B，求△PAB面积的取值范围．‎ 解　(1)设圆心C(x，y)，则圆心C到点F的距离等于它到直线l距离的一半，‎ ‎∴＝|4－x|，‎ 化简得圆心C的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线m的方程为x＝ky＋1，‎ 由得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0，Δ＞0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝－，y1y2＝－，‎ ‎|y1－y2|＝＝12，‎ ‎△PAB的面积S＝×|y1－y2|×|PF|＝18.‎ 设t＝k2＋1≥1，‎ 则＝＝，‎ 设f(t)＝9t＋＋6，t≥1，则f′(t)＝9－＞0，‎ ‎∴f(t)在[1，＋∞)上单调递增，f(t)≥f(1)＝16，‎ ‎∴S≤18＝，‎ 即△PAB面积的取值范围为.‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．‎ ‎(1)解　由题意可得解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　由题意可知直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，‎ 由消去y，‎ 整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，‎ ‎∵直线l与椭圆交于两点，‎ ‎∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0.‎ 设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.‎ ‎∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，‎ ‎∴k2＝·＝，‎ 整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，‎ ‎∴＋m2＝0，‎ 又m≠0，∴k2＝，‎ 结合图象(图略)可知k＝－，故直线l的斜率为定值．‎ ‎4．已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0)，直线y＝2与抛物线Γ交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|＝4.‎ ‎(1)求抛物线Γ在A，B两点处的切线方程；‎ ‎(2)若直线l与抛物线Γ交于M，N两点，且MN的中点在线段AB上，MN的垂直平分线交y轴于点Q，求△QMN面积的最大值．‎ 解　(1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝±2，所以4＝4，解得p＝3，所以x2＝6y，由y＝，得y′＝，故＝.‎ 所以在A点的切线方程为y－2＝(x－2)，即2x－y－2＝0，同理可得在B点的切线方程为2x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，‎ 故设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 联立 得x2－6kx－6m＝0，Δ＝36k2＋24m>0，‎ 所以x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m，‎ 故|MN|＝·＝2··.‎ 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，所以|MN|＝2··，‎ 由Δ＝36k2＋24m>0，得－0，得10，即m2<4.‎ y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－4.‎ ‎|y1－y2|＝2.‎ ‎|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝|m|.‎ 所以△ABF的面积S＝|m||x1－x2|＝m2＝.‎ 令00，‎ 当b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点)，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|＝2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l：x＝my＋4(m∈R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点D，求当△ADB的面积最大时，直线l的方程．‎ 解　(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×ab＝4，得ab＝2.‎ 延长F2Q交直线F1P于点R，因为F2Q为∠F1PF2的外角平分线的垂线，‎ 所以|PF2|＝|PR|，Q为F2R的中点，‎ 所以|OQ|＝＝＝＝a，‎ 所以a＝2，b＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1. ‎ ‎(2)联立消去x，‎ 得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，‎ 所以Δ＝(24m)2－4×36×(3m2＋4)＝144(m2－4)>0，即m2>4. ‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，‎ 由根与系数的关系，‎ 得y1＋y2＝，y1y2＝，‎ 直线A′B的斜率k＝＝，‎ 所以直线A′B的方程为y＋y1＝(x－x1)，‎ 令y＝0，得xD＝＝＝＋4，‎ 故xD＝1，所以点D到直线l的距离d＝，‎ 所以S△ADB＝|AB|·d＝＝18·.‎ 令t＝(t>0)，则S△ADB＝18·＝≤＝，‎ 当且仅当3t＝，即t2＝＝m2－4，即m2＝>4，m＝±时，△ADB的面积最大，‎ 所以直线l的方程为3x＋2y－12＝0或3x－2y－12＝0.‎