2019年高考数学练习题汇总高考解答题仿真练1
高考解答题仿真练1
1．已知向量m＝(cos x,1)，n＝，f(x)＝m·n.
(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；
(2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝，sin Asin C＝sin2B，求a－c的值．
解 由题意得，f(x)＝cos xsin＋1
＝cos x＋1
＝sin 2x－×＋1
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋.
(1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，
∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是和.
(2)由f(B)＝sin＋＝，
得sin＝1.
又B是△ABC的内角，∴2B－＝，B＝.
又sin Asin C＝sin2B，∴由正弦定理可得ac＝b2.
在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
可得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则a－c＝0.
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，∠APB＝90°，BP＝BC，M为PC的中点．求证：
(1)AP∥平面BDM；
(2)BM⊥平面ACP.
证明 (1)设AC∩BD＝O，连结OM，
因为ABCD是平行四边形，
所以O为AC的中点．
因为M为PC的中点，所以AP∥OM.
又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
(2)因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP.
又因为平面ABP⊥平面BCP，平面ABP∩平面BCP＝BP，AP⊂平面ABP，
所以AP⊥平面BCP.
又因为BM⊂平面BCP，所以AP⊥BM.
因为BP＝BC，M为PC的中点，所以BM⊥CP.
又因为AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面ACP，
所以BM⊥平面ACP.
3．如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元，经测算f(t)＝
(1)用t表示线段EF的长；
(2)求修建该参观线路的最低费用．
解 设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥l，DQ＝QE.
以O为坐标原点，OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
(1)由题意，得点E的坐标为.
设直线EF的方程为y－1＝k(k<0)，
即kx－y＋1－＝0.
因为直线EF与半圆相切，
所以圆心O到直线EF的距离为＝1，
解得k＝.
代入y－1＝k，可得点F的坐标为.
所以EF＝＝＋，
即EF＝＋(0
0，
所以当t∈时，y′<0，当t∈(1,2)时，y′>0，
所以y在上单调递减；在(1,2)上单调递增．
所以当t＝1时，y取最小值24.5.
由①②知，修建该参观线路的最低费用为24.5 万元．
4．(2018·江苏金陵中学调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点.设F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF，BF并延长，分别交椭圆于C，D两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2＝mk1？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆的半焦距为c，
则c＝，
由题意知
解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)①当AF⊥x轴时，A，B，
C，F(，0)．
则kBF＝，直线BD的方程为y＝(x－)．
由消去y，
得13x2－2x－45＝0，
因为x＝－是该方程的一个解，
所以点D的横坐标xD＝，
则yD＝，即D.
所以k2＝＝，
又k1＝，所以k2＝7k1，即m＝7.
②当AF与x轴不垂直时，
设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，k1＝，
又F(，0)，
所以直线AF的方程为y＝(x－)．
由消去y，
得(7－2x0)x2－8yx －7x＋8x0＝0.
因为x＝x0是该方程的一个解，
所以点C的横坐标xC＝.
又点C(xC，yC)在直线y＝(x－)上，
所以yC＝(xC－)＝，
从而点C的坐标为，
同理，点D的坐标为，
所以k2＝ ＝＝7k1，即m＝7.
综合①②可知，存在m＝7，使得k2＝7k1.
5．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．
(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；
(2)若λ＝，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)；
(3)若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数λ的取值范围．
(1)解 f′(x)＝ln x＋1，则f′(1)＝1且f(1)＝0，
所以函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1，
从而g′(1)＝2λ＝1，即λ＝.
(2)证明 设函数h(x)＝xln x－(x2－1)，x∈[1，＋∞)，
则h′(x)＝ln x＋1－x.
设p(x)＝ln x＋1－x，从而p′(x)＝－1≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
所以p(x)＝ln x＋1－x≤p(1)＝0，即h′(x)≤0，
因此函数h(x)＝xln x－(x2－1)在[1，＋∞)上单调递减，
即h(x)≤h(1)＝0，所以当x≥1时，f(x)≤g(x)成立．
(3)解 设函数H(x)＝xln x－λ(x2－1)，x∈[1，＋∞)，
从而对任意x∈[1，＋∞)，不等式H(x)≤0＝H(1)恒成立．
又H′(x)＝ln x＋1－2λx，
当H′(x)＝ln x＋1－2λx≤0，即≤2λ恒成立时，函数H(x)单调递减．
设r(x)＝，x∈[1，＋∞)，
则r′(x)＝≤0，
所以r(x)max＝r(1)＝1，即2λ≥1，
所以λ≥，符合题意；
当λ≤0时，H′(x)＝ln x＋1－2λx≥0恒成立，此时函数H(x)单调递增．
于是，不等式H(x)≥H(1)＝0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；
当0<λ<时，设q(x)＝H′(x)＝ln x＋1－2λx，x≥1，
则由q′(x)＝－2λ＝0，得x＝>1.
当x∈时，q′(x)＝－2λ>0，
此时q(x)＝H′(x)＝ln x＋1－2λx单调递增，
所以H′(x)＝ln x＋1－2λx>H′(1)＝1－2λ>0，
故当x∈时，函数H(x)单调递增．
于是当x∈时，H(x)>0成立，不符合题意．
综上所述，实数λ的取值范围为.
6．(2018·苏州调研)已知等差数列{an}的前2m－1项中，奇数项的和为56，偶数项的和为48，且a2＝3(其中m∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若ak1，ak2，…，akn，…是一个等比数列，其中k1＝1，k2＝5，求数列{kn}的通项公式；
(3)若存在实数a，b，使得a≤≤b对任意n∈N*恒成立，求b－a的最小值．
解 (1)由题意，·m＝56，
·(m－1)＝48，
因为a2＋a2m－2＝a1＋a2m－1，
所以＝，解得m＝7.
所以a1＋a13＝16，
因为a1＋a13＝a2＋a12，且a2＝3，
所以a12＝13.
设数列{an}的公差为d，则10d＝a12－a2＝10，
所以d＝1.
所以a1＝2，通项公式an＝n＋1(n∈N*)．
(2)由题意，ak1＝a1＝2，ak2＝a5＝6，
设这个等比数列的公比为q，则q＝＝3.
那么akn＝2×3n－1，
另一方面akn＝kn＋1，所以kn＝2×3n－1－1(n∈N*)．
(3)记cn＝＝，
则cn＋1－cn＝－ ＝.
因为n∈N*，
所以当n≥2时，－2n2＋2n＋3＝－2n(n－1)＋3<0，
即cn＋10，
所以当n＝2时，cn取最大值c2＝，
所以b≥.
又c1＝0，当n>1时，cn>0，
所以当n＝1时，cn取最小值c1＝0，所以a≤0.
综上，b－a的最小值为.
