2019年高考数学练习题汇总附加题满分练1
附加题满分练
附加题满分练1
1.如图，过点P作圆O的切线PC，切点为C，过点P的直线与圆O交于点A，B(PA
0，y>0，z>0，证明：≥.
证明 因为x>0，y>0，z>0，
所以≥ ，≥ ，
所以≥.
当且仅当x∶y∶z＝1∶2∶3时，等号成立.
5.已知点A(1,2)在抛物线F：y2＝2px上.
(1)若△ABC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3, 求－＋的值；
(2)若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求－＋－的值.
解 (1)由点A(1,2)在抛物线F上，得p＝2，
∴抛物线F：y2＝4x，
设B，C，
∴－＋＝－＋＝－＋＝1.
(2)另设D，则－＋－＝－＋－＝0.
6.已知fn(x)＝Cxn－C(x－1)n＋…＋(－1)kC(x－k)n＋…＋(－1)nC(x－n)n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n.
(1)试求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；
(2)试猜测fn(x)关于n的表达式，并证明你的结论.
解 (1)f1(x)＝Cx－C(x－1)＝1，
f2(x)＝Cx2－C(x－1)2＋C(x－2)2＝x2－2(x－1)2＋(x－2)2＝2，
f3(x)＝Cx3－C(x－1)3＋C(x－2)3－C(x－3)3＝x3－3(x－1)3＋3(x－2)3－(x－3)3＝6.
(2)猜测fn(x)＝n！，n∈N*.
以下用数学归纳法证明.
①当n＝1时，f1(x)＝1，等式成立.
②假设当n＝m(m≥1，m∈N*)时，等式成立，即
fm(x)＝(－1)kC(x－k)m＝m！.
当n＝m＋1时，则fm＋1(x)＝(－1)kC·(x－k)m＋1.
因为C＝C＋C，kC＝(m＋1)·C，其中k＝1,2，…，m，
且C＝C，C＝C，
所以fm＋1(x)＝(－1)kC(x－k)m＋1
＝x(－1)kC(x－k)m－(－1)kkC(x－k)m
＝x(－1)kC(x－k)m＋x(－1)kC(x－k)m－(m＋1)(－1)kC(x－k)m
＝x·m！＋(－x＋m＋1)(－1)kC·[(x－1)－k]m
＝x·m！＋(－x＋m＋1)·m!
＝(m＋1)·m！＝(m＋1)！.
即当n＝m＋1时，等式也成立.
由①②可知，对n∈N*，均有fn(x)＝n！.
