2020年高中数学新教材同步必修第一册 第1章 1．1 集合的概念

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第1章 1．1 集合的概念

1．1 集合的概念 第 1 课时 集合的概念 学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属 于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用． 知识点一 元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母 a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母 A，B，C… 表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 思考 我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？ 答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准． 知识点二 元素与集合的关系 1．属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A. 2．不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A. 知识点三 常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或 N＋ Z Q R 1．组成集合的元素一定是数．( × ) 2．接近于 0 的数可以组成集合．( × ) 3．分别由元素 0,1 和 1,0 组成的两个集合是相等的．( √ ) 4．一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) 一、对集合的理解 例 1 (1)考察下列每组对象，能构成集合的是( ) ①中国各地的美丽乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于 3 的自然数； ④截止到 2019 年 1 月 1 日，参加一带一路的国家． A．③④B．②③④C．②③D．②④ 答案 B 解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合， 故选 B. (2)下列说法中，正确的有______．(填序号) ①单词 book 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个； ②集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 不可能是等腰 三角形； ③将小于 10 的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个 集合． 答案 ② 解析 ①不正确.book 的字母 o 有重复，共有 3 个不同字母，元素个数是 3. ②正确.集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，所以 a，b，c 都不相等，它们构成的三角形三边不相 等，故不可能是等腰三角形． ③不正确.小于 10 的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个 数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关． 反思感悟 判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序 无关． 二、元素与集合的关系 例 2 下列关系中正确的个数为( ) ① 2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z. A．1B．2C．3D．4 答案 B 解析 ①∵ 2是无理数，∴ 2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R， 故③错误；④∵|－4|＝4 是整数，∴|－4|∈Z，故④正确． 反思感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特 征即可． 跟踪训练 1 给出下列说法： ①R 中最小的元素是 0； ②若 a∈Z，则－a∉Z； ③若 a∈Q，b∈N*，则 a＋b∈Q. 其中正确的个数为( ) A．0B．1C．2D．3 答案 B 解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若 a∈Z，则－a 也是整数，故－a∈Z， 所以②也不正确；只有③正确． 三、元素特性的应用 例 3 已知集合 A 含有两个元素 a－3 和 2a－1，若－3∈A，试求实数 a 的值． 解 ∵－3∈A， ∴－3＝a－3 或－3＝2a－1， 若－3＝a－3， 则 a＝0， 此时集合 A 中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则 a＝－1， 此时集合 A 中含有两个元素－4，－3，符合题意； 综上所述，a＝0 或 a＝－1. 延伸探究 若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数 a 的值． 解 ∵a∈A，∴a＝a－3 或 a＝2a－1， 解得 a＝1，此时集合 A 中有两个元素－2,1， 符合题意． 故所求 a 的值为 1. 反思感悟 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 跟踪训练 2 已知集合 A 中含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，则实数 a＝________. 答案 －1 解析 若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1，即 a＝±1. 当 a＝1 时，a＝a2，集合 A 中有一个元素， ∴a≠1. 当 a＝－1 时， 集合 A 中含有两个元素 1，－1，符合互异性． ∴a＝－1. 1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A．一切很大的数 B．好心人 C．漂亮的小女孩 D．方程 x2－1＝0 的实数根 答案 D 2．下列结论不正确的是( ) A．0∈NB. 2∉QC．0∉QD．8∈Z 答案 C 解析 0 是有理数，故 0∈Q，所以 C 错误． 3．若以集合 A 的四个元素 a，b，c，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 答案 A 解析 由于 a，b，c，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． 4．一个小书架上有十个不同品种的书各 3 本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有 ________个元素． 答案 10 解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的 元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有 10 个元素． 5．如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数 x 的取值范围是________． 答案 x≠0,2 解析 由集合元素的互异性可得 x2－x≠x，解得 x≠0,2. 1．知识清单： (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系． (2)常用数集的表示． (3)集合中元素的特性及应用． 2．方法归纳：分类讨论． 3．常见误区：忽视集合中元素的互异性． 1．以下各组对象不能组成集合的是( ) A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程 x2－7＝0 的实数解 D．周长为 10cm 的三角形 答案 B 解析 因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合． 2．若 a 是 R 中的元素，但不是 Q 中的元素，则 a 可以是( ) A．3.14B．－5C.3 7D. 7 答案 D 解析 由题意知 a 应为无理数，故 a 可以为 7. 3．有下列说法： ①集合 N 中最小的数为 1；②若－a∈N，则 a∈N；③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 2；④所有小的正数组成一个集合． 其中正确命题的个数是( ) A．0B．1C．2D．3 答案 A 解析 N 中最小的数为 0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2∉N 可知②错；若 a∈N，b∈N， 则 a＋b 的最小值为 0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选 A. 4．给出下列关系：①1 3 ∈R；② 5∈Q；③－3∉Z；④－ 3∉N，其中正确的个数为( ) A．1B．2C．3D．4 答案 B 解析 1 3 是实数，①正确； 5是无理数，②错误；－3 是整数，③错误；－ 3是无理数，④ 正确．故选 B. 5．集合 A 中有三个元素 2,3,4，集合 B 中有三个元素 2,4,6，若 x∈A 且 x∉B，则 x 等于( ) A．2B．3C．4D．6 答案 B 解析 集合 A 中的元素 3 不在集合 B 中，且仅有这个元素符合题意． 6．下列说法中：①集合 N 与集合 N*是同一个集合；②集合 N 中的元素都是集合 Z 中的元素； ③集合 Q 中的元素都是集合 Z 中的元素；④集合 Q 中的元素都是集合 R 中的元素．其中正 确的有________． 答案 ②④ 解析 因为集合 N*表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表 示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确． 7．已知集合 A 是由 0，m，m2－3m＋2 三个元素构成的集合，且 2∈A，则实数 m＝________. 答案 3 解析 由题意知，m＝2 或 m2－3m＋2＝2， 解得 m＝2 或 m＝0 或 m＝3，经验证， 当 m＝0 或 m＝2 时，不满足集合中元素的互异性， 当 m＝3 时，满足题意，故 m＝3. 8．若由 a，b a ，1 组成的集合与由 a2，a＋b,0 组成的集合相等，则 a2019＋b2019 的值为________． 答案 －1 解析 由已知可得 a≠0， 因为两集合相等，所以有 b a ＝0， a2＝1， 或 b a ＝0， a＋b＝1， 所以 b＝0， a＝1， (舍)或 b＝0， a＝－1， 经检验，a＝－1，b＝0，满足条件， 所以 a2019＋b2019＝－1. 9．设 A 是由满足不等式 x<6 的自然数组成的集合，若 a∈A 且 3a∈A，求 a 的值． 解 ∵a∈A 且 3a∈A， ∴ a<6， 3a<6， 解得 a<2.又 a∈N， ∴a＝0 或 1. 10．设 x∈R，集合 A 中含有三个元素 3，x，x2－2x. (1)求元素 x 应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数 x 的值． 解 (1)由集合元素的互异性可得 x≠3，x2－2x≠x，且 x2－2x≠3，解得 x≠－1，x≠0，且 x≠3. (2)若－2∈A，则 x＝－2 或 x2－2x＝－2. 由于方程 x2－2x＋2＝0 无实数解，所以 x＝－2. 经检验，知 x＝－2 符合互异性．故 x＝－2. 11．集合 A 中含有三个元素 2,4,6，若 a∈A，且 6－a∈A，那么 a 为( ) A．2B．2 或 4C．4D．0 答案 B 解析 若 a＝2，则 6－2＝4∈A； 若 a＝4，则 6－4＝2∈A； 若 a＝6，则 6－6＝0∉A，故选 B. 12．已知 x，y 为非零实数，代数式 x |x| ＋ y |y| ＋ xy |xy| 的值所组成的集合是 M，则下列判断正确的是 ( ) A．－1∈MB．1∈MC．2∈MD．3∉M 答案 A 解析 ①当 x，y 均为正数时，代数式 x |x| ＋ y |y| ＋ xy |xy| 的值为 3；②当 x，y 为一正一负时，代数式 x |x| ＋ y |y| ＋ xy |xy| 的值为－1；③当 x，y 均为负数时，代数式 x |x| ＋ y |y| ＋ xy |xy| 的值为－1，所以集合 M 的元素有－1,3，故选 A. 13．由 a2,2－a,4 组成一个集合 A，且集合 A 中含有 3 个元素，则实数 a 的取值可以是( ) A．1B．－2C．－1D．2 答案 C 解析 由题意知 a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得 a≠±2，且 a≠1，结合选项知 C 正确，故选 C. 14．已知集合 A 中的元素满足 x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈” 或“∉”) 答案 ∈ ∈ 解析 当 k＝0 时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得 k＝－11，所以－34∈A. 15．已知集合 M 有 2 个元素 x,2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是________． ①2∈M；②1∈M；③x≠3. 答案 ② 解析 依题意 x≠－1， 2－x≠－1， x≠2－x. 解得 x≠－1，x≠1 且 x≠3， 当 x＝2 或 2－x＝2，即 x＝2 或 0 时，M 中的元素为 0,2，故①可能正确； 当 x＝1 或 2－x＝1，即 x＝1 时，M 中两元素为 1,1 不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 16．设集合 A 中的元素均为实数，且满足条件：若 a∈A，则 1 1－a ∈A(a≠1)． 求证：(1)若 2∈A，则 A 中必还有另外两个元素； (2)集合 A 不可能是单元素集． 证明 (1)若 a∈A，则 1 1－a ∈A. 又因为 2∈A，所以 1 1－2 ＝－1∈A. 因为－1∈A，所以 1 1－－1 ＝1 2 ∈A. 因为1 2 ∈A，所以 1 1－1 2 ＝2∈A. 所以 A 中另外两个元素为－1，1 2. (2)若 A 为单元素集，则 a＝ 1 1－a ， 即 a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以 a≠ 1 1－a ，所以集合 A 不可能是单元素集．