高考数学真题专题归纳专题07平面向量含解析理

高考数学真题专题归纳专题07平面向量含解析理

专题07 平面向量 ‎【2020年】‎ ‎1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a，b满足，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，，.‎ ‎，‎ 因此，.‎ ‎2.（2020·山东卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 的模为2，根据正六边形的特征，‎ 可以得到在方向上的投影的取值范围是，‎ 结合向量数量积的定义式，‎ 可知等于的模与在方向上的投影的乘积，‎ 19‎ 所以的取值范围是，‎ ‎3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，‎ 则点、、、，‎ ‎，‎ 则点，，，‎ 因此，，.‎ ‎4.（2020·天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 19‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 解得，‎ 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，‎ ‎,‎ ‎∵，∴的坐标为,‎ ‎∵又∵,则，设，则（其中），‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以，当时，取得最小值.‎ ‎5.（2020·浙江卷）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ 19‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎6.（2020·江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵三点共线，‎ ‎∴可设，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ 若且，则三点共线，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵,,，‎ ‎∴，‎ 设，，则，.‎ 19‎ ‎∴根据余弦定理可得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴的长度为.‎ 当时， ，重合，此时的长度为，‎ 当时，，重合，此时，不合题意，舍去.‎ ‎7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：，‎ 由向量垂直的充分必要条件可得：，‎ 即：，解得：.‎ ‎8.（2020·新课标Ⅰ）设为单位向量，且，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为单位向量，所以 所以 解得：‎ 所以 ‎ 【2019年】‎ 19‎ ‎1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．‎ ‎2．【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则· =‎ A．−3 B．−2‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由=—=（1，t-3），，得，则，．故选C．‎ ‎3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】与的夹角为锐角，所以，即 ‎，因为，所以|+|>||；‎ 当|+|>||成立时，|+|2>|-|2•>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C．‎ 19‎ ‎4．【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，，‎ 所以，‎ ‎，所以，‎ 所以 ．‎ ‎5．【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.‎ 因为∥，，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以直线的斜率为，其方程为，‎ 直线的斜率为，其方程为.‎ 由得，，‎ 所以.‎ 19‎ 所以.‎ ‎6．【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．‎ ‎，‎ ‎，‎ 19‎ 得即故 ‎【2018年】‎ ‎1．【2018·全国I卷 】在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量的运算法则，可得 ‎ ‎，所以.‎ 故选A.‎ ‎2．【2018·全国II卷 】已知向量，满足，，则 A．4 B．3‎ C．2 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所以选B.‎ ‎3．（2018·浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是 A．−1 B．+1‎ C．2 D．2−‎ ‎【答案】A 19‎ ‎【解析】设，则由得，‎ 由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.‎ ‎4．【2018·天津卷 】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，.‎ 设 ‎ ‎ ‎= ‎ 所以当时，上式取最大值，故选A.‎ ‎5．【2018·北京卷 】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ 19‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】，因为a，b均为单位向量，所以 a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.‎ ‎6．【2018·全国III卷 】已知向量，，．若，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得，，，，即，故答案为.‎ ‎7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；‎ ‎∴；‎ ‎∴a=b+2，或b=a+2；‎ 且；‎ ‎∴；‎ 当a=b+2时，；‎ ‎∵b2+2b﹣2的最小值为；‎ ‎∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点 19‎ 的横坐标为___________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，‎ 由得或，‎ 因为，所以 ‎【2017年】‎ ‎1．【2017·全国III卷 】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为 A．3 B．2‎ C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.‎ 设，‎ 易得圆的半径，即圆C的方程是，‎ ‎，若满足，‎ 19‎ 则 ，，所以，‎ 设，即，点在圆上，‎ 所以圆心到直线的距离，即，解得，‎ 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．‎ ‎2．【2017·全国II卷 】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，‎ 则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为，故选B．‎ ‎3．【2017·北京卷 】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 19‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么 ‎；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.‎ ‎4．【2017·全国I卷 】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一：，‎ 所以.‎ 方法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为.‎ ‎5．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．‎ 19‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由可得，，根据向量的分解，‎ 易得，即，即，即得，‎ 所以．‎ ‎6．【2017·天津卷】在中，，，．若，‎ ‎，且，则的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得，‎ 则．‎ ‎7．【2017·山东卷 】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得．‎ ‎8．【2017·浙江卷】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是___________．‎ 19‎ ‎【答案】4，‎ ‎【解析】设向量的夹角为，则，‎ ‎，‎ 则，‎ 令，则，‎ 据此可得：，‎ 即的最小值是4，最大值是．‎ ‎【2016年】‎ ‎1.【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（ ）‎ ‎（A）4 （B）–4 （C） （D）–‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可设，又，‎ 所以, 所以，故选B.‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量，由得，解得，故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】已知向量 ， ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 19‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得，所以，故选A．‎ ‎4.【2016年高考北京理数】设，是向量，则“”是“”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】由，故是既不充分也不必要条件，故选D.‎ ‎5.【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接 并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，，∴，，‎ ‎，∴，故选B.‎ ‎6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 19‎ 设由已知，得，又 ‎，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.‎ ‎7.【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】由,得,所以,解得.‎ ‎8.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ ‎，‎ 19‎ 因此，‎ ‎9.【2016高考浙江理数】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，即最大值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 19‎