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文档介绍
高考数学专题复习练习:5_4 平面向量的综合应用
1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧: 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|==, 其中a=(x,y),a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤: 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角). 3.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数),解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题. 【知识拓展】 1.若G是△ABC的重心,则++=0. 2.若直线l的方程为:Ax+By+C=0,则向量(A,B)与直线l垂直,向量(-B,A)与直线l平行. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若∥,则A,B,C三点共线.( √ ) (2)向量b在向量a方向上的投影是向量.( × ) (3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × ) (4)在△ABC中,若·<0,则△ABC为钝角三角形.( × ) (5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:=+t(+),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ ) 1.(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案 B 解析 =(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6), ∴||==2,||==4, ||==6, ∴||2+||2=||2, ∴△ABC为直角三角形. 2.已知在△ABC中,||=10,·=-16,D为边BC的中点,则||等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 D 解析 在△ABC中,由余弦定理可得,AB2+AC2-2AB·AC·cos A=BC2,又·=||·| |·cos A=-16,所以AB2+AC2+32=100,AB2+AC2=68.又D为边BC的中点,所以+=2,两边平方得4||2=68-32=36,解得||=3,故选D. 3.(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则点P的轨迹方程是____________. 答案 x+2y-4=0 解析 由·=4,得(x,y)·(1,2)=4, 即x+2y=4. 4.(2016·银川模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为________. 答案 4 解析 设a与b夹角为α, ∵|2a-b|2=4a2-4a·b+b2 =8-4|a||b|cos α=8-8cos α, ∵α∈[0,π],∴cos α∈[-1,1], ∴8-8cos α∈[0,16],即|2a-b|2∈[0,16], ∴|2a-b|∈[0,4]. ∴|2a-b|的最大值为4. 5.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=________ J. 答案 300 解析 W=F·s=|F||s|cos〈F,s〉 =6×100×cos 60°=300(J). 题型一 向量在平面几何中的应用 例1 (1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB=________. (2)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 答案 (1) (2)C 解析 (1)在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,∴==-, 又∵=+, ∴·=(+)·(-) =2-·+·-2 =||2+||||cos 60°-||2 =1+×||-||2=1. ∴||=0,又||≠0,∴||=. (2)由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心. 引申探究 本例(2)中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________. 答案 内心 解析 由条件,得-=λ,即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心. 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. (2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解. (1)在△ABC中,已知向量与满足(+)·=0,且·=,则△ABC为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 (2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5 解析 (1),分别为平行于,的单位向量,由平行四边形法则可知+为∠BAC的平分线.因为(+)·=0,所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC. 又·=··cos∠BAC=,所以cos∠BAC=,又0<∠BAC<π,故∠BAC=,所以△ABC为等边三角形. (2)以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=y. 则D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a), P(0,y), =(2,-y),=(1,a-y), 则+3=(5,3a-4y), 即|+3|2=25+(3a-4y)2, 由点P是腰DC上的动点,知0≤y≤a. 因此当y=a时,|+3|2的最小值为25. 故|+3|的最小值为5. 题型二 向量在解析几何中的应用 例2 (1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A、B、C三点共线,当k<0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________________. (2)设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则=________________________________________________________________________. 答案 (1)2x+y-3=0 (2)± 解析 (1)∵=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5),且∥, ∴(4-k)(k-5)+6×7=0, 解得k=-2或k=11. 由k<0可知k=-2,则过点(2,-1)且斜率为-2的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0. (2)∵·=0,∴OM⊥CM, ∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx, 由=,得k=±,即=±. 思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量),a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法. (2016·合肥模拟)如图所示,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于 A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为________. 答案 - 解析 ∵圆心O是直径AB的中点, ∴+=2,∴(+)·=2·, ∵与共线且方向相反, ∴当大小相等时,乘积最小.由条件知,当PO=PC=时,最小值为-2××=-. 题型三 向量的其他应用 命题点1 向量在不等式中的应用 例3 已知x,y满足若=(x,1),=(2,y),且·的最大值是最小值的8倍,则实数a的值是________. 答案 解析 因为=(x,1),=(2,y),所以·=2x+y,令z=2x+y,依题意,不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),观察图象可知,当目标函数z=2x+y过点C(1,1)时,zmax=2×1+1=3,目标函数z=2x+y过点F(a,a)时,zmin=2a+a=3a,所以3=8×3a,解得a=. 命题点2 向量在解三角形中的应用 例4 (2016·合肥模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若20a+15b+12c=0,则△ABC最小角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵20a+15b+12c=0, ∴20a(-)+15b+12c=0, ∴(20a-15b)+(12c-20a)=0, ∵与不共线, ∴⇒ ∴△ABC最小角为角A, ∴cos A= ==, ∴sin A=,故选C. 命题点3 向量在物理中的应用 例5 如图,一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为( ) A.2 B.2 C.2 D.6 答案 A 解析 如题图所示,由已知得F1+F2+F3=0,则F3=-(F1+F2),即F=F+F+2F1·F2=F+F+2|F1|·|F2|·cos 60°=28.故|F3|=2. 思维升华 利用向量的载体作用,可以将向量与三角函数、不等式结合起来,解题时通过定义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明晰化. (1)函数y=sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,M、N分别是最高点、最低点,O为坐标原点,且·=0,则函数f(x)的最小正周期是______. (2)已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1,则z=·的最大值为________. 答案 (1)3 (2)3 解析 (1)由图象可知,M,N, 所以·=·(xN,-1)=xN-1=0, 解得xN=2, 所以函数f(x)的最小正周期是2×=3. (2)∵=(x,y),=(1,1),=(0,1),=(2,3), ∴·=x+y,·=y,·=2x+3y, 即在条件下,求z=2x+3y的最大值,由线性规划知识得,当x=0,y=1时,zmax=3. 三审图形抓特点 典例 (2016·太原一模)已知A,B,C,D是函数y=sin(ωx+φ)一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则ω,φ的值为( ) A.ω=2,φ= B.ω=2,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ= ―→―→ ―→ 解析 由E为该函数图象的一个对称中心,作点C的对称点M,作MF⊥x轴,垂足为F,如图.B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,知OF=. 又A,所以AF===,所以ω=2.同时函数y=sin(ωx+φ)图象可以看作是由y=sin ωx的图象向左平移得到,故可知==,即φ=. 答案 A 1.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 解析 由(+)·=||2, 得·(+-)=0, 即·(++)=0, 2·=0, ∴⊥,∴A=90°. 又根据已知条件不能得到||=||, 故△ABC一定是直角三角形. 2.(2016·山东)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( ) A.4 B.-4 C. D.- 答案 B 解析 ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0, 即tm·n+n2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0, 由已知得t×|n|2×+|n|2=0,解得t=-4,故选B. 3.(2016·南宁模拟)已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1)且a∥b,则sin 2α等于( ) A.3 B.-3 C. D.- 答案 D 解析 由a∥b得cos α+2sin α=0, ∴cos α=-2sin α,又sin2α+cos2α=1, ∴5sin2α=1,sin2α=,cos2α=, sin 2α=2sin αcos α=-cos2α=-. 4.(2016·武汉模拟)设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若m·n=1+cos(A+B),则C等于( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 依题意得sin Acos B+cos Asin B=1+cos(A+B),sin(A+B)=1+cos(A+B),sin C+cos C=1,2sin(C+)=1,sin(C+)=. 又查看更多
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