2020届高考理科数学全优二轮复习训练:专题2 第3讲 平面向量

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2020届高考理科数学全优二轮复习训练:专题2 第3讲 平面向量

专题复习检测 A卷 ‎1.已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ=(  )‎ A.3  B.-3  ‎ C.  D.- ‎【答案】B ‎2.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是(  )‎ A.x=-  B.x=-1‎ C.x=5  D.x=0‎ ‎【答案】D ‎3.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(  )‎ A.  B.2  ‎ C.5  D.10‎ ‎【答案】C ‎4.(2019年山东模拟)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a在b方向上的投影为(  )‎ A.1  B.    ‎ C.  D. ‎【答案】D ‎【解析】由a⊥(a-b),可得a·(a-b)=a2-a·b=0,所以a·b=a2=1.所以向量a在b方向上的投影为|a|cos 〈a,b〉===.故选D.‎ ‎5.(2019年湖南怀化模拟)在△ABC中,D为BC上一点,E是AD的中点,若=λ,=+μ,则λ+μ=(  )‎ A.  B.-  ‎ C.  D.- ‎【答案】B ‎【解析】如图所示,由=λ,可得-=λ(-),则=+.又E是AD的中点,所以=+=-+=+.又=+μ,AB,AC不共线,所以=,‎ eq f(-λ-2,2(1+λ))=μ,解得λ=,μ=-,则λ+μ=-.故选B.‎ ‎6.(2017年新课标Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.‎ ‎【答案】2 ‎【解析】|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4×2×1×cos 60°+4=12,∴|a+2b|==2.‎ ‎7.(2019年新课标Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos 〈a,c〉=________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,c2=(2a-b)2=4a2-4a·b+5b2=9,则 ‎|c|=3.所以cos 〈a,c〉==.‎ ‎8.(2018年内蒙古呼和浩特一模)在△ABC中,AB=,BC=2AC=2,满足|-t|≤||的实数t的取值范围是________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意,得AC=1,cos〈,〉===.由|-t|≤||,得2-2t||||cos〈,〉+t22≤32,即3-2t×2×+4t2≤3,解得0≤t≤.‎ ‎9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)求|a+b|的值;‎ ‎(2)当(a+2b)⊥(ka-b)时,求k的值.‎ ‎【解析】(1)由已知,得a·b=4×8×=-16,‎ ‎∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,‎ ‎∴|a+b|=4.‎ ‎(2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)·(ka-b)=0.‎ ‎∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,‎ 即16k-16(2k-1)-2×64=0,解得k=-7.‎ ‎10.已知向量a=(cos x,2cos x),b=(2cos x,sin x),函数f(x)=a·b.‎ ‎(1)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)当a≠0,a与b共线时,求f(x)的值.‎ ‎【解析】(1)∵f(x)=a·b=2cos2x+2sin xcos x ‎=sin 2x+cos 2x+1=sin+1,‎ ‎∴g(x)=sin+1‎ ‎=sin+1.‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,‎ 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ ‎∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)∵a≠0,a与b共线,∴cos x≠0.‎ ‎∴sin xcos x-4cos2x=0.∴sin x=4cos x,tan x=4.‎ 则f(x)=2cos2x+2sin xcos x===.‎ B卷 ‎11.(2017年新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(  )‎ A.-2  B.-    ‎ C.-  D.-1‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线DA所在直线为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),∴+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(-y)=2x2+22-≥-,当x=0,y=,即P时,·(+)有最小值-.‎ ‎12.(2018年四川成都模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两个动点,||=2,=-.若M是线段AB的中点,则·的值为(  )‎ A.3  B.2     ‎ C.-2  D.-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2),=,=(x2-x1,y2-y1).∴=-=.由||=2,得(x2-x1)2+(y2-y1)2=4.① 又A,B在圆O上,∴x+y=4,x+y=4.② 联立①②得x1x2+y1y2=2,∴·=·,化简得(x+y)-(x+y)+(x1x2+y1y2)=×4-×4+×2=3.‎ ‎13.(2019年浙江)已知正方形ABCD的边长为1,当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________,最大值是________.‎ ‎【答案】0 2 ‎【解析】由正方形ABCD的边长为1,可得+=,=-,·=0,‎ ‎∴|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|=|λ1+λ2-λ3-λ4+λ5+λ5+λ6-λ6|=|(λ1-λ3+λ5-λ6)·+(λ2-λ4+λ5+λ6)|.要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此时只需取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此时所求最小值为0.又|(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)·|2=(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤(|λ1|+|λ3|+|λ5-λ6|)2+(|λ2|+|λ4|+|λ5+λ6|)2=(2+|λ5-λ6|)2+(2+|λ5+λ6|)2=8+4(|λ5-λ6|+|λ5+λ6|)+(λ5-λ6)2+(λ5+λ6)2=8+4+2(λ+λ)=12+4=20,当且仅当λ1-λ3,λ5-λ6均非负或均非正,并且λ2-λ4,λ5+λ6均非负或均非正,可取λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,λ5=1,λ6=1,则所求最大值为=2.‎ ‎14.(2019年四川眉山模拟)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).‎ ‎(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;‎ ‎(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.‎ ‎【解析】(1)证明:因为m=(a,b),n=(sin B,sin A),m∥n,‎ 所以asin A=bsin B.‎ 结合正弦定理,可得a2=b2,即a=b,‎ 所以△ABC为等腰三角形.‎ ‎(2)因为m=(a,b),p=(b-2,a-2),m⊥p,‎ 所以m·p=a(b-2)+b(a-2)=0,则a+b=ab.‎ 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,其中c=2,C=,‎ 所以a2+b2-ab=4,则(a+b)2-3ab-4=0.‎ 所以(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4(ab=-1舍去).‎ 所以S△ABC=absin C=×4×sin=.‎
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