高考数学难点突破01__集合思想及应用
高中数学难点 1 集合思想及应用
集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,主要考查对集合基本概念的认识和
理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观
点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
●难点磁场
(★★★★★)已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且 0≤x≤2},如果 A∩
B≠ ,求实数 m 的取值范围.
●案例探究
[例 1]设 A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在 k、
b∈N,使得(A∪B)∩C= ,证明此结论.
命题意图:本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从集合符号上分辨
出所考查的知识点,进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托:解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为 A∩C= 且 B∩C= ,这
样难度就降低了.
错解分析:此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不能认清其实质内
涵,因而可能感觉无从下手.
技巧与方法:由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行
限制,可得到 b、k 的范围,又因 b、k∈N,进而可得值.
解:∵(A∪B)∩C= ,∴A∩C= 且 B∩C=
∵
bkxy
xy 12
∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0
∵A∩C=
∴Δ 1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0
∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b2-16>0,即 b2>1 ①
∵
bkxy
yxx 05224 2
∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C= ,∴Δ 2=(1-k)2-4(5-2b)<0
∴k2-2k+8b-19<0,从而 8b<20,即 b<2.5 ②
由①②及 b∈N,得 b=2 代入由Δ 1<0 和Δ 2<0 组成的不等式组,得
032
,0184
2
2
kk
kk
∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= .
[例 2]向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数是全体
的五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B
都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A、B 都赞成的学生和
都不赞成的学生各有多少人?
命题意图:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考
生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托:解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析:本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.
技巧与方法:画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系.
解:赞成 A 的人数为 50×
5
3 =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 名学生组
成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体为集合 B.
设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为
3
x +1,赞成 A 而
不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x.
依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得 x=21.
所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人.
●锦囊妙计
1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用
描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P;要重
视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,
如 A B,则有 A= 或 A≠ 两种可能,此时应分类讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)集合 M={x|x= 42
kx ,k∈Z},N={x|x= 22
k ,k∈Z},则( )
A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=
2.(★★★★)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1
0,b>0},当 A∩B 只有一个元
素时,a,b 的关系式是_________.
三、解答题
5.(★★★★★)集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0},
求当 a 取什么实数时,A∩B 和 A∩C= 同时成立.
6.(★★★★★)已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的前 n 项
和记作 Sn,设集合 A={(an, n
Sn )|n∈N*},B={(x,y)| 4
1 x2-y2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.
(1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;
(2)A∩B 至多有一个元素;
(3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ .
7.(★★★★)已知集合 A={z||z-2|≤2,z∈C},集合 B={w|w= 2
1 zi+b,b∈R},当 A∩B=B 时,
求 b 的值.
8.(★★★★)设 f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}.
(1)求证:A B;
(2)如果 A={-1,3},求 B.
参考答案
难点磁场
解:由
)20(01
022
xyx
ymxx 得 x2+(m-1)x+1=0 ①
∵A∩B≠
∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.
首先,由Δ =(m-1)2-4≥0,得 m≥3 或 m≤-1,当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)<0 及
x1x2=1>0 知,方程①只有负根,不符合要求.
当 m≤-1 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有正根,且必有一根在区
间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.
故所求 m 的取值范围是 m≤-1.
歼灭难点训练
一、1.解析:对 M 将 k 分成两类:k=2n 或 k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ + 4
,n∈Z}∪{x|x=
nπ + 4
3 ,n∈Z},对 N 将 k 分成四类,k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ + 2
,n
∈Z}∪{x|x=nπ + ,n∈Z}∪{x|x=nπ +π ,n∈Z}∪{x|x=nπ + 4
5 ,n∈Z}.
答案:C
2.解析:∵A∪B=A,∴B A,又 B≠ ,
∴
121
712
21
mm
m
m
即 2<m≤4.
答案:D
二、3.a=0 或 a≥
8
9
4.解析:由 A∩B 只有 1 个交点知,圆 x2+y2=1 与直线
b
y
a
x =1 相切,则 1=
22 ba
ab
,
即 ab= 22 ba .
答案:ab=
三、5.解:log2(x2-5x+8)=1,由此得 x2-5x+8=2,∴B={2,3}.由 x2+2x-8=0,∴C={2,-
4},又 A∩C= ,∴2 和-4 都不是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 的解,而 A∩B ,即 A
∩B≠ ,
∴3 是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 的解,∴可得 a=5 或 a=-2.
当 a=5 时,得 A={2,3},∴A∩C={2},这与 A∩C= 不符合,所以 a=5(舍去);当 a=
-2 时,可以求得 A={3,-5},符合 A∩C= ,A∩B ,∴a=-2.
6.解:(1)正确.在等差数列{an}中,Sn= 2
)( 1 naan ,则
2
1n
Sn (a1+an),这表明点(an, n
Sn )
的坐标适合方程 y 2
1 (x+a1),于是点(an, n
Sn )均在直线 y= 2
1 x+ 2
1 a1 上.
(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y 应是方程组
14
1
2
1
2
1
22
1
yx
axy
的解,由方程组消
去 y 得:2a1x+a1
2=-4(*),当 a1=0 时,方程(*)无解,此时 A∩B= ;当 a1≠0 时,方程(*)
只有一个解 x=
1
2
1
2
4
a
a ,此时,方程组也只有一解
1
2
1
1
2
1
4
4
2
4
a
ay
a
ay
,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B 至多有一个元素.
(3)不正确.取 a1=1,d=1,对一切的 x∈N*,有 an=a1+(n-1)d=n>0, n
Sn >0,这时集合 A 中的
元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于 a1=1≠0.如果 A∩B≠ ,那么据(2)
的结论,A∩B 中至多有一个元素(x0,y0),而 x0= 5
2
2
4
1
2
1
a
a <0,y0= 4
3
2
01 xa <0,这样
的(x0,y0)A,产生矛盾,故 a1=1,d=1 时 A∩B= ,所以 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ 是不正
确的.
7.解:由 w= 2
1 zi+b 得 z= i
bw 22 ,
∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得| i
bw 22 -2|≤2,化简得|w-(b+i)|≤1.
∴集合 A、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面,集合 A 表示以点(2,0)为圆心,
半径为 2 的圆面,集合 B 表示以点(b,1)为圆心,半径为 1 的圆面.
又 A∩B=B,即 B A,∴两圆内含.
因此 22 )01()2( b ≤2-1,即(b-2)2≤0,∴b=2.
8.(1)证明:设 x0 是集合 A 中的任一元素,即有 x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有 f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故 A B.
(2)证明:∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程 x2+(p-1)x+q=0 有两根-1 和 3,应用韦达定理,得
3
1
3)1(
),1(31
q
p
q
p
∴f(x)=x2-x-3.
于是集合 B 的元素是方程 f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*)的根.
将方程(*)变形,得(x2-x-3)2-x2=0
解得 x=1,3, 3 ,- 3 .
故 B={- ,-1, ,3}.