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高中数学新人教版选修2-2课时作业:第一章 导数及其应用1.3.2 函数的极值与导数
1.3.2 函数的极值与导数 明目标、知重点 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值 如图,函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点 的函数值都小,f′(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右 侧 f′(x)>0,则把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y =f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图,函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大,f′(b) =0;而且在点 x=b 的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大 值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 2.求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. 情境导学] 在必修 1 中,我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点 附近,也存在着哪一点的函数值大,哪一点的函数值小的问题,如何利用导数的知识来判断 函数在某点附近函数值的大小问题?又如何求出这些值?这就是本节我们要研究的主要内 容. 探究点一 函数的极值与导数的关系 思考 1 如图观察,函数 y=f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的函数 值有什么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号 有什么规律? 答 以 d、e 两点为例,函数 y=f(x)在点 x=d 处的函数值 f(d)比它在点 x=d 附近其他点的 函数值都小,f′(d)=0;在 x=d 的附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.类似地,函数 y =f(x)在点 x=e 处的函数值 f(e)比它在 x=e 附近其他点的函数值都大,f′(e)=0;在 x= e 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0. 结论 思考 1 中点 d 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(d)叫做函数 y=f(x)的极小值;点 e 叫 做函数 y=f(x)的极大值点,f(e)叫做函数 y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极 值点,极大值和极小值统称为极值. 思考 2 函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的 吗? 答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值;在区 间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个. 思考 3 若某点处的导数值为零,那么,此点一定是极值点吗?举例说明. 答 可导函数的极值点处导数为零,但导数值为零的点不一定是极值点.可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0 且在 x0 两侧 f′(x)的符号不同. 例如,函数 f(x)=x3 可导,且在 x=0 处满足 f′(0)=0,但由于当 x<0 和 x>0 时均有 f′(x)>0, 所以 x=0 不是函数 f(x)=x3 的极值点. 思考 4 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b) 内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有________个极小 值点. 答案 1 解析 由图可知,在区间(a,x1),(x2,0),(0,x3)内 f′(x)>0;在区间(x1,x2),(x3,b)内 f′(x)<0. 即 f(x)在(a,x1)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减,在(x2,x3)内单调递增,在(x3,b)内单 调递减.所以,函数 f(x)在开区间(a,b)内只有一个极小值点,极小值点为 x=x2.故填 1. 例 1 求函数 f(x)=1 3 x3-4x+4 的极值. 解 f′(x)=x2-4. 解方程 x2-4=0,得 x1=-2,x2=2. 由 f′(x)>0,得 x<-2 或 x>2; 由 f′(x)<0,得-2查看更多