【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第7节独立重复试验与二项分布学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第7节独立重复试验与二项分布学案

第七节　独立重复试验与二项分布 ‎1．条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ‎(1)0≤P(B|A)≤1；‎ ‎(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ ‎2.事件的相互独立性 ‎(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．‎ ‎(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．‎ ‎②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．‎ ‎3．独立重复试验与二项分布 ‎(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则 P(A‎1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．‎ ‎(2)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)‎ ‎(2)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(　　)‎ ‎(3)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　)‎ ‎(4)相互独立事件一定是互斥事件．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)‎ A.　　　　 B.　　　　‎ C.　　　　 D. A　[所求概率P＝C·1·3－1＝.]‎ ‎3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. B　[设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝.‎ 故P(B|A)＝＝.]‎ ‎4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)‎ A．0.648 B．0.432 ‎ C．0.36　　 D．0.312‎ A　[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]‎ ‎5．(2017·湖州调研)如图971所示的电路有a，b，c三个开关， 每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．‎ 图971‎ 　[理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，之间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝.‎ 所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝.]‎ 条件概率 ‎　(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. ‎(2)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．‎ ‎(1)B　(2)　[(1)法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，即n(A)＝4，‎ 事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.‎ 故由古典概型概率P(B|A)＝＝.‎ 法二：P(A)＝＝，P(AB)＝＝.‎ 由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.‎ ‎(2)由题意可得，事件A发生的概率 P(A)＝＝＝.‎ 事件AB表示“豆子落在△EOH内”，‎ 则P(AB)＝＝＝.‎ 故P(B|A)＝＝＝.‎ ‎(2)法一：设A＝{第一次取到不合格品}，‎ B＝{第二次取到不合格品}，‎ 则P(AB)＝，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ 法二：第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为.]‎ ‎[规律方法]　条件概率的求法 ‎(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．‎ ‎(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎[变式训练1]‎ ‎　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. C　[设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.‎ 由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，‎ 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，‎ 所以两次都取到红球的概率为.]‎ 相互独立事件同时发生的概率 ‎　(2017·嘉兴质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；‎ ‎(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列. ‎ ‎【导学号：51062363】‎ ‎[解]　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立.2分 ‎(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，于是P()＝P()P()＝×＝.‎ 故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.6分 ‎(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X ‎＝0)＝P()＝×＝，‎ P(X＝100)＝P(F)＝×＝，‎ P(X＝120)＝P(E)＝×＝，‎ P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.10分 故所求X的分布列为 X ‎0‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎220‎ P ‎15分 ‎[规律方法]　1.求解该类问题关键是正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．‎ ‎2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法．‎ ‎(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．‎ ‎(2)正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ ‎[变式训练2]　在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．‎ ‎(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；‎ ‎(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥‎2”‎的事件概率. 【导学号：51062364】‎ ‎[解]　(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，‎ 则P(A)＝＝，P(B)＝＝.2分 ‎∵事件A与B相互独立，A与相互独立，则A表示事件“‎ 甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．‎ ‎∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝.6分 ‎(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，‎ 则P(C)＝＝.8分 依题意，A，B，C相互独立，，，相互独立，‎ 且AB，AC，BC，ABC彼此互斥．‎ 又P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，12分 P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.‎ ‎∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.15分 独立重复试验与二项分布 ‎　(2017·金丽衢十二校质检)在2016～2017赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数)，假设各场比赛相互独立.‎ ‎　场次 球员　　‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲 乙 根据统计表的信息：‎ ‎(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；‎ ‎(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；‎ ‎(3)在接下来的3场比赛中，用X 表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．‎ ‎[解]　(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4,5,6,7,10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是.4分 ‎(2)在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3,6,8,10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是.6分 设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B2，‎ 则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝.9分 ‎(3)X的可能取值为0,1,2,3，依题意X～B.‎ P(X＝0)＝C03＝；‎ P(X＝1)＝C12＝；‎ P(X＝2)＝C21＝；‎ P(X＝3)＝C3＝，12分 X的分布列如下表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝np＝3×＝.15分 ‎[规律方法]　1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．‎ ‎2．(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．‎ ‎(2)牢记公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义．‎ ‎[变式训练3]　某架飞机载有5位空降兵依次空降到A，B，C三个地点，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是，用ξ表示地点C空降人数，求：‎ ‎(1)地点A空降1人，地点B，C各空降2人的概率；‎ ‎(2)随机变量ξ的分布列与数学期望. 【导学号：51062365】‎ ‎[解]　(1)设“地点A空降1人，地点B，C各空降2人”为事件M，易知基本事件的总数n＝35＝243个，事件M发生包含的基本事件M＝CC＝30个.5分 故所求事件M的概率P(M)＝＝＝.6分 ‎(2)依题意，5位空降兵空降到地点C相当于5次独立重复试验．‎ ‎∴ξ～B，且ξ的取值可能为0,1,2,3,4,5.‎ 则P(ξ＝k)＝Ck5－k.‎ ‎∴P(ξ＝0)＝C05＝，P(ξ＝1)＝C4＝，8分 P(ξ＝2)＝C23＝，P(ξ＝3)＝C32＝，10分 P(ξ＝4)＝C4＝，P(ξ＝5)＝C5＝.13分 ‎∴随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 根据二项分布得数学期望E(ξ)＝5×＝.15分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．‎ ‎2．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C个互斥事件的和，其中每一个事件发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．易混淆“相互独立”和“事件互斥”‎ 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．‎ ‎2．易混淆P(B|A)与P(A|B)‎ 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．‎ ‎3．易混淆二项分布与两点分布 由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．‎ 课时分层训练(五十八)‎ 独立重复试验与二项分布 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2017·杭州二中模拟)设随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. A　[X～B，由二项分布可得，‎ P(X＝3)＝C3·3＝.]‎ ‎2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．0.75‎ C．0.6 D．0.45‎ A　[已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.]‎ ‎3．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)(　　)‎ A. B. C. D. B　[由题意P＝××＝.故选B.]‎ ‎4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ‎(　　) 【导学号：51062367】‎ A. B. C. D. B　[设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；‎ 事件B：乙实习生加工的零件为一等品，‎ 则P(A)＝，P(B)＝，‎ 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝‎ ×＋×＝.]‎ ‎5．(2017·宁波质检)中秋节放假，甲回老家过节的概率为 ‎，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(　　)‎ A. B. C. D. B　[“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝，‎ 由题意知，A，B，C相互独立．‎ 所以三人都不回老家过节的概率P()＝P()P()P()＝.‎ 故至少有一人回老家过节的概率P＝1－＝.]‎ 二、填空题 ‎6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．‎ 　[设该队员每次罚球的命中率为p，其中0＜p＜1，则依题意有1－p2＝，p2＝，又0＜p＜1，∴p＝.]‎ ‎7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.‎ 　[因为X～B(2，p)，‎ 所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)‎ ‎＝1－C(1－p)2＝，‎ 解得p＝.‎ 又Y～B(3，p)，‎ 所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)‎ ‎＝1－C(1－p)3＝.]‎ ‎8．(2017·浙江镇海中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________. 【导学号：51062368】‎ 　[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果．‎ 由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等．‎ 所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果．‎ 所以P(B)＝，P(AB)＝.‎ 所以P(A|B)＝＝＝.]‎ 三、解答题 ‎9．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．‎ ‎(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，‎ 则P(A)＝××＝.6分 ‎(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.‎ 又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.10分 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎12分 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.13分 ‎10．(2017·豫北十所名校联考)为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会调查了26个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了100名青少年上网时间作参考，得到如下的统计表格．平均每天上网时间超过2个小时可视为“网瘾”患者，‎ 时间(单位：小时)‎ ‎[0,1]‎ ‎(1,2]‎ ‎(2,3]‎ ‎(3,4]‎ ‎(4,5]‎ ‎(5,6]‎ ‎(6,12]‎ 人数 ‎52‎ ‎23‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎(1)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选3名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；‎ ‎(2)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选4名青少年，记X为“网瘾”患者的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【解】　由题意得，该100名青少年中有25个是“网瘾”患者．‎ ‎(1)设Ai(0≤i≤3)表示“所挑选的3名青少年有i个青少年是网瘾患者”，“至少有一人是网瘾患者”记为事件A，‎ 则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝1－P(A0)＝1－3＝.7分 ‎(2)法一：X的可能取值为0,1,2,3,4，‎ P(X＝0)＝4＝，P(X＝1)＝C3＝，P(X＝2)＝C22＝，P(X＝3)＝C3＝，P(X＝4)＝C4＝.10分 X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎13分 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.15分 法二：由题意知：随机变量X～B，10分 所以分布列Pi＝Ci4－i(i＝0,1,2,3,4)，‎ E(X)＝4×＝1.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设随机变量X服从二项分布X～B，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是(　　)‎ A. B. C. D. C　[∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，‎ ‎∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.‎ ‎∵X服从X～B，‎ ‎∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝.]‎ ‎2．将一个半径适当的小球放入如图972所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________. 【导学号：51062369】‎ 图972‎ 　[记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，‎ 从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.]‎ ‎3．(2017·绍兴模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.‎ ‎(1)求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数．求ξ的分布列和数学期望. 【导学号：51062370】‎ ‎[解]　(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.‎ 依题意有P(A1)＝2××＝，‎ P(A2)＝×＝，‎ P(B0)＝×＝，‎ P(B1)＝2××＝.‎ 所求的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)‎ ‎＝×＋×＋×＝.‎ ‎(2)ξ的可能取值为0,1,2,3，‎ 且ξ～B.‎ P(ξ＝0)＝3＝，‎ P(ξ＝1)＝C××2＝，‎ P(ξ＝2)＝C×2×＝，‎ P(ξ＝3)＝3＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望E(ξ)＝3×＝.‎