2016年普通高等学校招生全国统一考试浙江文科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试浙江文科数学

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 浙江文科数学 ‎1.(2016浙江,文1)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.{1} B.{3,5}‎ C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}‎ 答案C　由题意,得∁UP={2,4,6}　,又Q={1,2,4},‎ 所以(∁UP)∪Q={1,2,4,6},故选C.‎ ‎2.(2016浙江,文2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(　　)‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案C　对于选项A,∵α∩β=l,∴l⊂α,∵m∥α,∴m与l可能平行　,也可能异面　,故选项A不正确;‎ 对于选项B,D,∵α⊥β,m∥α,n⊥β,∴m与n可能平行　,可能相交　,也可能异面　,故选项B,D不正确.‎ 对于选项C,∵α∩β=l,∴l⊂β.　∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.‎ ‎3.(2016浙江,文3)函数y=sin x2的图象是(　　)‎ 答案D　∵f(-x)=sin(-x)2=sin x2=f(x),‎ ‎∴y=sin x2的图象关于y轴　对称,排除A,C;‎ 又当x=±π‎2‎时,sinπ‎2‎‎4‎≠1,∴排除B,故选D.‎ ‎4.(2016浙江,文4)若平面区域x+y-3≥0,‎‎2x-y-3≤0,‎x-2y+3≥0‎夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A.‎3‎‎5‎‎5‎ B.‎2‎ C.‎3‎‎2‎‎2‎ D.‎‎5‎ 答案B　画平面区域x+y-3≥0,‎‎2x-y-3≤0,‎x-2y+3≥0‎如图阴影部分所示.‎ ‎∵两平行直线的斜率为1,‎ ‎∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直　,‎ ‎∴两平行线间的最短距离是AB的长度.‎ 由x+y-3=0,‎x-2y+3=0,‎得A(1,2).‎ 由x+y-3=0,‎‎2x-y-3=0,‎得B(2,1).‎ ‎∴|AB|=‎(1-2‎)‎‎2‎+(2-1‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎,故选B.‎ ‎5.(2016浙江,文5)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若logab>1,则(　　)‎ A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0‎ C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0‎ 答案D　当01得b0,(a-1)(a-b)<0,(b-a)(b-1)>0.‎ ‎∴排除A,B,C.‎ 当a>1时,由logab>1得b>a>1　.‎ ‎∴b-a>0,b-1>0.∴(b-1)(b-a)>0.故选D.‎ ‎6.(2016浙江,文6)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A　∵f(x)=x2+bx=x+‎b‎2‎‎2‎‎-‎b‎2‎‎4‎,‎ ‎∴当x=-b‎2‎时,f(x)取最小值-b‎2‎‎4‎　.‎ 令t=f(x),则t≥-b‎2‎‎4‎,　‎ ‎∴f(t)=t2+btt≥-‎b‎2‎‎4‎.‎ ‎∵对称轴为t=-b‎2‎,又t≥-b‎2‎‎4‎,‎ ‎∴当-b‎2‎‎4‎≤-b‎2‎,即b≤0或b≥2时,f(t)的最小值　在t=-b‎2‎处取得,且f(t)的最小值与f(x)的最小值相等.‎ 综上,可知b<0是f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等的充分不必要条件.‎ ‎7.(2016浙江,文7)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|,且f(x)≥2x,x∈R.(　　)‎ A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b 答案B　∵f(x)≥|x|且f(x)≥2x,∴f(x)表示的区域如图阴影部分所示.‎ ‎∵对于选项A和选项C而言,无论f(a)≤|b|还是f(a)≥|b|,均有a≤b或a≥b都成立,∴选项A和选项C均不正确;‎ 对于选项B,若f(a)≤2b,只能得到a≤b,故选项B正确;‎ 对于选项D,若f(a)≥2b,由图象可知a≥b与a≤b均有可能,故选项D不正确.‎ ‎8.(2016浙江,文8)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)‎ A.{Sn}是等差数列 B.{Sn‎2‎}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{dn‎2‎}是等差数列 答案A　如图,延长AnA1,BnB1交于P,过An作对边BnBn+1的垂线,其长度记为h1,过An+1作对边Bn+1Bn+2的垂线,其长度记为h2,‎ 则Sn=‎1‎‎2‎|BnBn+1|×h1,Sn+1=‎1‎‎2‎|Bn+1Bn+2|×h2　.‎ ‎∴Sn+1-Sn=‎1‎‎2‎|Bn+1Bn+2|h2-‎1‎‎2‎|BnBn+1|h1.　‎ ‎∵|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,　‎ ‎∴Sn+1-Sn=‎1‎‎2‎|BnBn+1|(h2-h1).　‎ 设此锐角为θ,‎ 则h2=|PAn+1|sin θ,h1=|PAn|sin θ,　‎ ‎∴h2-h1=sin θ(|PAn+1|-|PAn|)=|AnAn+1|sin θ.　‎ ‎∴Sn+1-Sn=‎1‎‎2‎|BnBn+1||AnAn+1|sin θ.　‎ ‎∵|BnBn+1|,|AnAn+1|,sin θ均为定值,∴Sn+1-Sn为定值.‎ ‎∴{Sn}是等差数列.故选A.‎ ‎9.(2016浙江,文9)‎ 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是　　　　　 cm2,体积是　　　　　 cm3. ‎ 答案80　40‎ 解析由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,‎ 故S表=6×22+2×42+4×2×4-2×22=80(cm2),V=23+4×4×2=40(cm3).‎ ‎10.(2016浙江,文10)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　　,半径是　　　　　. ‎ 答案(-2,-4)　5‎ 解析由题意,可得a2=a+2　,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,x+‎‎1‎‎2‎‎2‎+(y+1)2=-‎5‎‎4‎不表示圆.‎ ‎11.(2016浙江,文11)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　　,b=　　　　　. ‎ 答案‎2‎　1‎ 解析因为2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1,所以A=‎2‎,b=1.‎ ‎12.(2016浙江,文12)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=　　　　　,b=　　　　　. ‎ 答案-2　1‎ 解析因为f(x)-f(a)=x3+3x2+1-a3-3a2-1=x3+3x2-a3-3a2,(x-b)(x-a)2=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b,‎ 所以‎-2a-b=3,‎a‎2‎‎+2ab=0,‎‎-a‎2‎b=-a‎3‎-3a‎2‎,‎解得a=-2,‎b=1.‎ ‎13.(2016浙江,文13)设双曲线x2-y‎2‎‎3‎=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　　. ‎ 答案(2‎7‎,8)‎ 解析由题意,知a=1,b=‎3‎,c=2,则e=ca=2.设P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性　不妨设P在右支上,由△F1PF2为锐角三角形,可知1|F1F2|2　,‎ 即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>‎7‎‎2‎,‎ 所以‎7‎‎2‎|=BD'‎‎·n‎|BD'‎||n|‎‎=‎‎6‎‎3‎‎9-5cosα,所以cos α=1时,cos θ取最大值‎6‎‎6‎.‎ ‎15.(2016浙江,文15)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是　　　　　. ‎ 答案‎7‎ 解析由已知得=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,‎3‎).‎ 设e=(cos α,sin α),　‎ 则|a·e|+|b·e|=|cos α|+|cos α+‎3‎sin α|　‎ ‎≤|cos α|+|cos α|+‎3‎|sin α|=2|cos α|+‎3‎|sin α|,　‎ 取等号时cos α与sin α同号.　‎ 所以2|cos α|+‎3‎|sin α|=|2cos α+‎3‎sin α|=‎7‎‎2‎‎7‎cosα+‎3‎‎7‎sinα‎=‎‎7‎|sin(α+θ)|其中sinθ=‎‎2‎‎7‎‎,‎cosθ=‎3‎‎7‎,取θ为锐角.‎ 显然‎7‎|sin(α+θ)|≤‎7‎.‎ 易知当α+θ=π‎2‎时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sin α,cos α同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为‎7‎.‎ ‎16.(2016浙江,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.‎ ‎(1)证明:A=2B;‎ ‎(2)若cos B=‎2‎‎3‎,求cos C的值.‎ 证明(1)由正弦定理　得sin B+sin C=2sin Acos B,‎ 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,‎ 于是sin B=sin(A-B).‎ 又A,B∈(0,π),故0n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.‎ 当n≥3时,Tn=3+‎9(1-‎3‎n-2‎)‎‎1-3‎‎-‎(n+7)(n-2)‎‎2‎=‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎,‎ 所以Tn=‎‎2,n=1,‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎‎,n≥2,n∈N‎*‎.‎ ‎18.(2016浙江,文18)‎ 如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(1)求证:BF⊥平面ACFD;‎ ‎(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.‎ 因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,‎ 所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.　‎ 又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,‎ 所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.　‎ 所以BF⊥平面ACFD.‎ ‎(2)解因为BF⊥平面ACK,‎ 所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.　‎ 在Rt△BFD中,BF=‎3‎,DF=‎3‎‎2‎,得cos∠BDF=‎21‎‎7‎,‎ 所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为‎21‎‎7‎.‎ ‎19.(2016浙江,文19)‎ 如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.‎ 解(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,‎ 由抛物线的定义　得p‎2‎=1,即p=2.‎ ‎(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.‎ 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),‎ 由y‎2‎‎=4x,‎x=sy+1‎消去x得y2-4sy-4=0,‎ 故y1y2=-4,所以,B‎1‎t‎2‎‎,-‎‎2‎t.‎ 又直线AB的斜率　为‎2tt‎2‎‎-1‎,‎ 故直线FN的斜率　为-t‎2‎‎-1‎‎2t.‎ 从而得直线FN:y=-t‎2‎‎-1‎‎2t(x-1),直线BN:y=-‎2‎t.‎ 所以Nt‎2‎‎+3‎t‎2‎‎-1‎‎,-‎‎2‎t.‎ 设M(m,0),由A,M,N三点共线　得‎2tt‎2‎‎-m‎=‎‎2t+‎‎2‎tt‎2‎‎-‎t‎2‎‎+3‎t‎2‎‎-1‎,‎ 于是m=‎2‎t‎2‎t‎2‎‎-1‎.‎ 所以m<0或m>2.‎ 经检验,m<0或m>2满足题意.‎ 综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).‎ ‎20.(2016浙江,文20)设函数f(x)=x3+‎1‎‎1+x,x∈[0,1].证明:‎ ‎(1)f(x)≥1-x+x2;‎ ‎(2)‎3‎‎4‎‎‎3‎‎4‎,所以f(x)>‎3‎‎4‎.‎ 综上,‎3‎‎4‎

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