2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）

‎2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）‎ ‎2．（5分）若tanα＞0，则（　　）‎ A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0‎ ‎3．（5分）设z=+i，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 ‎6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③‎ ‎8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（　　）‎ A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为　　．‎ ‎14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ 由此可判断乙去过的城市为　　．‎ ‎15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　　．‎ ‎16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠AMN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=1000m，则山高MN=　　 m．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 ‎17．（12分）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎[75，85）‎ ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125）‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．‎ ‎（1）证明：B1C⊥AB；‎ ‎（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ ‎20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（1）求M的轨迹方程；‎ ‎（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，‎ ‎（1）求b；‎ ‎（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠D=∠E；‎ ‎（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ ‎　‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎　‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎24．若a＞0，b＞0，且+=．‎ ‎（Ⅰ）求a3+b3的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）‎ ‎【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，‎ 则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）若tanα＞0，则（　　）‎ A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0‎ ‎【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．‎ ‎【解答】解：∵tanα＞0，‎ ‎∴，‎ 则sin2α=2sinαcosα＞0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设z=+i，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．‎ ‎【解答】解：z=+i=+i=．‎ 故|z|==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ e===2，‎ 解得，a=1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 ‎【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），‎ f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，‎ ‎|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，‎ f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．‎ ‎|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，‎ 故选：C ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．‎ ‎【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，‎ ‎∴+=（+）+（+）=+=（+）=，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③‎ ‎【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =π，‎ ‎②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，‎ ‎③y=cos（2x+）的最小正周期为 =π，‎ ‎④y=tan（2x﹣）的最小正周期为 ，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．‎ ‎【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，‎ 可知几何体如图：几何体是三棱柱．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；‎ 第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；‎ 第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．‎ 不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F，‎ ‎∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，‎ ‎∴=x0+，‎ 解得x0=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（　　）‎ A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3‎ ‎【分析】如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 当a≥1时，由，‎ 解得，y=．‎ ‎∴．‎ 当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，‎ ‎∴，化为a2+2a﹣15=0，‎ 解得a=3，a=﹣5舍去．‎ 当a＜1时，不符合条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，‎ ‎∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；‎ ‎①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；‎ ‎②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；‎ ‎③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；‎ 故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；‎ 而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；‎ 故f（）=﹣3•+1＞0；‎ 故a＜﹣2；‎ 综上所述，‎ 实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为　　．‎ ‎【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，‎ 其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ 由此可判断乙去过的城市为　A　．‎ ‎【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．‎ ‎【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，‎ 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，‎ 再由丙说：我们三人去过同一城市，‎ 则由此可判断乙去过的城市为A．‎ 故答案为：A．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　x≤8　．‎ ‎【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．‎ ‎【解答】解：x＜1时，ex﹣1≤2，‎ ‎∴x≤ln2+1，‎ ‎∴x＜1；‎ x≥1时，≤2，‎ ‎∴x≤8，‎ ‎∴1≤x≤8，‎ 综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．‎ 故答案为：x≤8．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠AMN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=1000m，则山高MN=　500　 m．‎ ‎【分析】△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM•sin∠MAN，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=1000，‎ ‎∴AC==1000．‎ ‎△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，‎ ‎∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=1000．‎ Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=1000×sin30°=500（m），‎ 故答案为：500．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 ‎17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；‎ ‎（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．‎ ‎【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，‎ 故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，‎ 故an=2+（n﹣2）×=n+1，‎ ‎（2）设数列{}的前n项和为Sn，‎ Sn=，①‎ Sn=，②‎ ‎①﹣②得Sn==，‎ 解得Sn==2﹣．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎[75，85）‎ ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125）‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；‎ ‎（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．‎ ‎（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：‎ ‎（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，‎ 质量指标的样本的方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，‎ 这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．‎ ‎（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，‎ 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．‎ ‎（1）证明：B1C⊥AB；‎ ‎（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ ‎【分析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，证明B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AB；‎ ‎（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1‎ 为等边三角形，求出B1到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，‎ ‎∵侧面BB1C1C为菱形，‎ ‎∴BC1⊥B1C，‎ ‎∵AO⊥平面BB1C1C，‎ ‎∴AO⊥B1C，‎ ‎∵AO∩BC1=O，‎ ‎∴B1C⊥平面ABO，‎ ‎∵AB⊂平面ABO，‎ ‎∴B1C⊥AB；‎ ‎（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，‎ ‎∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，‎ ‎∴BC⊥平面AOD，‎ ‎∴OH⊥BC，‎ ‎∵OH⊥AD，BC∩AD=D，‎ ‎∴OH⊥平面ABC，‎ ‎∵∠CBB1=60°，‎ ‎∴△CBB1为等边三角形，‎ ‎∵BC=1，∴OD=，‎ ‎∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=，‎ 由OH•AD=OD•OA，可得AD==，∴OH=，‎ ‎∵O为B1C的中点，‎ ‎∴B1到平面ABC的距离为，‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（1）求M的轨迹方程；‎ ‎（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；‎ ‎（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，‎ ‎∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．‎ 设M（x，y），则，．‎ 由题意可得：．‎ 即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．‎ 整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．‎ ‎∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．‎ ‎（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，‎ 由于|OP|=|OM|，‎ 故O在线段PM的垂直平分线上，‎ 又P在圆N上，‎ 从而ON⊥PM．‎ ‎∵kON=3，‎ ‎∴直线l的斜率为﹣．‎ ‎∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．‎ 则O到直线l的距离为．‎ 又N到l的距离为，‎ ‎∴|PM|==．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，‎ ‎（1）求b；‎ ‎（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；‎ ‎（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，‎ ‎∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．‎ ‎（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，‎ ‎∴=．‎ ‎①当a时，则，‎ 则当x＞1时，f′（x）＞0，‎ ‎∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，‎ 解得；‎ ‎②当a＜1时，则，‎ 则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；‎ 当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．‎ ‎∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，‎ 而=+，不符合题意，应舍去．‎ ‎③若a＞1时，f（1）=，成立．‎ 综上可得：a的取值范围是．‎ ‎　‎ 请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠D=∠E；‎ ‎（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；‎ ‎（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠D=∠CBE，‎ ‎∵CB=CE，‎ ‎∴∠E=∠CBE，‎ ‎∴∠D=∠E；‎ ‎（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，‎ ‎∴O在直线MN上，‎ ‎∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，‎ ‎∴OM⊥AD，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠A=∠CBE，‎ ‎∵∠CBE=∠E，‎ ‎∴∠A=∠E，‎ 由（Ⅰ）知，∠D=∠E，‎ ‎∴△ADE为等边三角形．‎ ‎　‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|‎ 的最大值与最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，‎ 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．‎ 对于直线l：，‎ 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．‎ P到直线l的距离为．‎ 则，其中α为锐角．‎ 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．‎ 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．‎ ‎　‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎24．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+=．‎ ‎（Ⅰ）求a3+b3的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．‎ ‎（Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，‎ ‎∴=+≥2，∴ab≥2，‎ 当且仅当a=b=时取等号．‎ ‎∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，‎ ‎∴a3+b3的最小值为4．‎ ‎（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．‎ 而由（1）可知，2≥2=4＞6，‎ 故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：maths；sxs123；xintrl；炫晨；豫汝王世崇；caoqz；qiss；清风慕竹；沂蒙松；whgcn；minqi5；刘长柏（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日