2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 文科数学

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 文科数学

绝密 ★ 启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（文史类）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。‎ ‎2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。‎ 参考公式：‎ 如果时间A，B互斥，那么 球的表面积公式 ‎ P（A+B）=P（A）+P（B） .‎ 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径.‎ ‎ P（A·B）=P（A）·P（B）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）设集合，，，则 ‎ （A） （B）　 （C） （D）‎ 解析：因为，所以，选A．‎ ‎（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 ‎ （A）2 　　　　（B）3 　　　　 （C）4 　　　　（D）5‎ ‎　　解析：如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，，选D．‎ ‎（3）函数（）的反函数是 ‎ （A）（）　　 （B）（）‎ ‎（C）（） 　　（D）（）‎ 解析：当时，，解得，选A．‎ ‎（4）若等差数列的前5项和，且，则 ‎（A）12　　 　　（B）13　　　　　 （C）14　　　　 （D）15‎ 解析：，所以，选B．‎ ‎（5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 ‎（A） 　　（B） ‎ ‎ （C） 　 （D）‎ 解析：选C，A、B、D的反例如图． ‎ ‎（6）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， （D），‎ 解析：选C,‎ ‎．‎ ‎（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 ‎（A） （B）　 （C） （D）‎ 解析：抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．‎ ‎（8）已知函数，则不等式的解集是 ‎（A） 　 （B）　 　（C）　 　（D）‎ 解析：依题意得，选A．‎ ‎（9）设，，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 解析：，因为，所以，选D．‎ ‎（10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为 ‎（A） （B）　 （C） （D）‎ 解析：易得，在上单调递减，所以，故，选B．‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎ 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 ‎ 3．本卷共12小题，共100分。‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）‎ ‎（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．‎ ‎　　解析：依题意知抽取超过45岁的职工为．‎ ‎（12）的二项展开式中，的系数是________________（用数字作答）．‎ 解析：，，所以系数为10．‎ ‎（13）若一个球的体积为，则它的表面积为________________．‎ ‎　　解析：由得，所以．‎ ‎（14）已知平面向量，．若，则_____________．‎ ‎　　解析：因为，所以．‎ ‎（15）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_______________________．‎ 解析：圆心的坐标为，所以，圆的方程为．‎ ‎（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．‎ 解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、　4，3，2，1、　3，3，2，2．‎ 所以共有种不同排法．‎ 三、解答题（本题共6道大题，满分76分）‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知函数（）的最小值正周期是．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．‎ ‎（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解： ‎ 由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．‎ ‎（18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．‎ 由题意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．‎ 解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．‎ 由题意得，于是或（舍去），故．‎ 所以乙投球的命中率为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知．‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为 解法二：‎ 由题设和（Ⅰ）知 故甲投球2次至少命中1次的概率为 ‎（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，‎ 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为 ‎，‎ ‎，‎ 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小．‎ ‎（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，由题设可得 于是.在矩形中，.又，‎ 所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.‎ 在中，由余弦定理得 由（Ⅰ）知平面，平面，‎ 所以，因而，于是 是直角三角形，故．‎ 所以异面直线与所成的角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE 因为平面，平面，所以.又，‎ 因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，‎ ‎，从而是二面角的平面角。‎ 由题设可得，‎ 于是再中，‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在数列中，，，且（）．‎ ‎（Ⅰ）设（），证明是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．‎ ‎（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：由题设（），得 ‎，即，．‎ 又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）‎ ‎　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　……‎ ‎　　　　　　　　，（）．‎ 将以上各式相加，得（）．‎ 所以当时，‎ 上式对显然成立．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．‎ 由可得，由得，　①‎ 整理得，解得或（舍去）．于是．‎ 另一方面，，‎ ‎　　　　　．‎ 由①可得，．‎ 所以对任意的，是与的等差中项．‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ 已知函数（），其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎（21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：．‎ 当时，．‎ 令，解得，，．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在，内是增函数，在，内是减函数．‎ ‎（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．‎ 为使仅在处有极值，必须成立，即有．‎ 解些不等式，得．这时，是唯一极值．‎ 因此满足条件的的取值范围是．‎ ‎（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．‎ 当时，；当时，．‎ 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．‎ 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．‎ 所以，因此满足条件的的取值范围是．‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线 与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．‎ ‎（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得 ‎，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得．‎ 此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎，．‎ 从而线段的垂直平分线方程为．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．‎ 将上式代入③式得，整理得，．‎ 解得或．‎ 所以的取值范围是．‎