【数学】2020一轮复习北师大版（理）38　空间几何体的表面积与体积作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）38　空间几何体的表面积与体积作业

课时规范练38　空间几何体的表面积与体积 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2018广东广州七校联考,11)如图,画出的是某四棱锥的三视图,网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为(　　)‎ A.15 B.16 C.‎50‎‎3‎ D.‎‎53‎‎3‎ ‎2.(2018山东临沂三模,7)如图,网格中小正方形的边长为1,某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.‎63‎‎2‎+9‎2‎+9‎3‎ ‎ B.‎63‎‎2‎+9‎‎2‎‎+‎‎9‎‎3‎‎2‎ C.36+9‎2‎‎+‎‎9‎‎3‎‎2‎ ‎ D.36+9‎2‎+9‎‎3‎ ‎3.(2018海南五模,8)已知某几何体的三视图如图所示,俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成,则该几何体的体积为(　　)‎ A.8+‎2π‎3‎ B.8+‎π‎6‎ C.4+π‎3‎ D.8+‎π‎3‎ ‎4.(2018浙江嘉兴四模,9)某几何体的三视图如图(单位:m),则该几何体的体积是(　　)‎ A.‎2‎‎3‎ m3 B.‎4‎‎3‎ m3‎ C.2 m3 D.4 m3‎ ‎5.(2018山西太原一模,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎16‎‎3‎ B.‎‎20‎‎3‎ C.‎16‎‎9‎ D.‎‎20‎‎9‎ ‎6.(2018福建三明一中一模,10)我国古代数学名著《九章算术》记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无丈.刍,草也;甍,屋盖也.”翻译为:“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图,为刍甍的三视图,其中主视图为等腰梯形,左视图为等腰三角形,则它的体积为(　　)‎ A.‎160‎‎3‎ B.160‎ C.‎256‎‎3‎ D.64‎ ‎7.(2018江西南昌六模,11)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的外接球的表面积为(　　)‎ A.32π B.16π C.36π D.72π ‎8.(2018贵州贵阳一中高三月考,11)已知正四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是(　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎ B.‎8‎‎3‎ C.‎9‎‎2‎ D.‎‎9‎‎4‎ ‎9.(2018天津,理11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为　　　　　. ‎ ‎10.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2‎3‎,则该直四棱柱的侧面积为　　　　　. ‎ ‎11.(2018云南师范大学附属中学三模,14)已知半径为5的球O被两平行的平面所截,两截面圆的半径分别为3和4,则分别以两截面为上、下底面的圆台的侧面积为　　　　　. ‎ ‎12.某几何体的三视图如图所示,坐标纸上的每个小方格的边长为1,则该几何体的外接球的表面积是　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎13.(2018江西南昌测试八,7)某几何体的三视图如图(虚线刻画的小正方形边长为1)所示,则这个几何体的体积为(　　)‎ A.‎9‎‎4‎ B.‎‎8‎‎2‎‎3‎ C.12 D.‎‎8‎‎3‎ ‎14.(2018河南信阳二模,11)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为2,a,b,且2a+b=‎5‎‎2‎(a>0,b>0),则此三棱锥外接球表面积的最小值为(　　)‎ A.‎17‎‎4‎π B.‎21‎‎4‎π C.4π D.5π ‎15.(2018黑龙江哈尔滨押题二,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.30π+8‎3‎ ‎ B.‎76π‎3‎+8‎‎3‎ C.‎80π‎3‎+8‎3‎ ‎ D.‎92π‎3‎+8‎‎3‎ ‎16.(2018广西防城港高三模拟,15)各面均为等边三角形的四面体ABCD的外接球的表面积为3π,过棱AB作球的截面,则截面面积的最小值为　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎17.(2018辽宁葫芦岛二模,11)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为x的正方形,侧棱AA1=3,P为矩形CDD1C1内部(含边界)一点,M为BC中点,∠APD=∠CPM,Q为空间任一点且|QA1|=1,三棱锥Q-PCD的体积的最大值记为V(x),则关于函数V(x),下列结论正确的是(　　)‎ A.V(x)为奇函数 B.V(x)在区间(0,+∞)上不单调 C.V(3)=4‎‎3‎ D.V(6)=21‎ 参考答案 课时规范练38　空间几何体的表面积与体积 ‎1.C　由题得几何体原图是下图中的四棱锥A-BCDE,‎ 底面四边形BCDE的面积为4×4-‎1‎‎2‎×4×2-‎1‎‎2‎×2×2=10,所以四棱锥的体积为‎1‎‎3‎×10×5=‎50‎‎3‎.故选C.‎ ‎2.B　由题得几何体的原图如图所示.几何体的左边是一个三棱柱,右边是一个三棱锥.由题得S四边形ABED=S四边形BCFE=3×3=9,S△ABC=S△DEO=S△FEO=‎1‎‎2‎×3×3=‎9‎‎2‎,由题得AC=DF=3‎2‎,∴S矩形ACFD=3×3‎2‎=9‎2‎,S△DFO=‎3‎‎4‎×(3‎2‎)2=‎9‎‎2‎‎3‎,所以几何体的表面积=9‎2‎+‎9‎‎2‎‎3‎+9+9+3×‎9‎‎2‎=‎63‎‎2‎+9‎2‎+‎9‎‎3‎‎2‎.故选B.‎ ‎3.D　由三视图可知几何体为半圆锥与正方体的组合体,V=23+‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×π×12×2=8+π‎3‎,故选D.‎ ‎4.A　由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,底面的底边长为2 m,底面的高,即为三视图的宽1 m,故底面面积S=‎1‎‎2‎×2×1=1 m2,棱锥的高即为三视图的高,故h=2 m,故棱锥的体积V=‎1‎‎3‎×1×2=‎2‎‎3‎ m3,故选A.‎ ‎5.B　由给定的三视图可知,该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面,高为2的四棱锥,其体积为V1=‎1‎‎3‎×2×2×2=‎8‎‎3‎;右侧为一个直三棱柱,其底面如俯视图所示,高为2,其体积为V2=‎1‎‎2‎×2×2×2=4,所以该几何体的体积为V=V1+V2=‎8‎‎3‎+4=‎20‎‎3‎,故选B.‎ ‎6.‎ A　由三视图可知该刍甍是一个组合体,它由一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成,根据三视图中的数据,求出棱锥与棱柱的体积相加即可,‎1‎‎2‎×4×4×4+2×‎1‎‎3‎×2×4×4=32+‎64‎‎3‎=‎160‎‎3‎,故选A.‎ ‎7.C　还原几何体,如图所示三棱锥B1-BCD(如下图),‎ 将此三棱锥补形为直三棱柱B1C1D1-BCD(如下图),‎ 在直三棱柱B1C1D1-BCD中取BC、B1C1的中点O1、O2,取O1O2中点O,‎ R=‎(O‎2‎B‎1‎‎)‎‎2‎+(OO‎2‎‎)‎‎2‎=‎(‎5‎)‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=3,S表=4πR2=4×32=36π.故答案为C.‎ ‎8.B　因为球O与正四棱锥S-ABCD所有面都相切,于是由等体积法知VS-ABCD=VO-ABCD+VO-SAB+VO-SBC+VO-SDA+VO-SCD⇒‎1‎‎3‎×42×h=‎1‎‎3‎×42×1+4×‎1‎‎3‎×‎4×‎h‎2‎‎+4‎‎2‎×1⇒h=‎8‎‎3‎.故选B.‎ ‎9.‎1‎‎12‎　由题意可知,四棱锥M-EFGH的底面EFGH为正方形且边长为‎2‎‎2‎,其高为‎1‎‎2‎,‎ 所以V四棱锥M-EFGH=‎1‎‎3‎×‎2‎‎2‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎1‎‎12‎.‎ ‎10.16‎2‎　侧棱长为‎(2‎3‎)‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=2‎2‎,因为侧面为矩形,所以侧面积为4×2‎2‎×2=16‎2‎.‎ ‎11.7‎2‎π或35‎2‎π　由题意,得两截面圆到球心的距离分别为‎5‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=4,‎5‎‎2‎‎-‎‎4‎‎2‎=3,则分别以两截面为上、下底面的圆台的底面半径分别为4,3,圆台的高为4+3=7或4-3=1,则其母线长为‎(4-3‎)‎‎2‎+‎‎7‎‎2‎=5‎2‎或‎(4-3‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=‎2‎,则该圆台的侧面积为S=π×(3+4)×5‎2‎=35‎2‎π或S=π×(3+4)×‎2‎=7‎2‎π.‎ ‎12.‎1 000‎‎9‎π　根据几何体的三视图,得该几何体是如图所示的三棱锥,‎ 三棱锥的高PD=6,且侧面PAC⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=PC=‎4‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=2‎13‎,AC=8,BC=6,AB=‎8‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=10,∴PA2+PB2=AB2,∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点E,设该几何体的外接球的球心为O.OE⊥底面ABC,设OE=x,外接球的半径为R,则x2+‎10‎‎2‎2=32+(6-x)2,解得x=‎5‎‎3‎.∴R2=‎5‎‎3‎2+52=‎250‎‎9‎,∴外接球的表面积S=4π×R2=‎1 000π‎9‎.‎ ‎13.D　几何体为如图多面体PABCDE,所以体积为VD-PABE+VA-BCD=‎1‎‎3‎×2×‎1‎‎2‎×2×(1+2)+‎1‎‎3‎×2×‎1‎‎2‎×2×1=‎8‎‎3‎.故选D.‎ ‎14.B　由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点处,即为三棱锥A-CB1D1,且长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为2,a,b,‎ ‎∴此三棱锥的外接球即为长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球,‎ 且球半径为R=‎2‎‎2‎‎+a‎2‎+‎b‎2‎‎2‎=‎4+a‎2‎+‎b‎2‎‎2‎,‎ ‎∴三棱锥外接球表面积为4π‎4+a‎2‎+‎b‎2‎‎2‎2=π(4+a2+b2)=5π(a-1)2+‎21π‎4‎,‎ ‎∴当且仅当a=1,b=‎1‎‎2‎时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为‎21‎‎4‎π.故选B.‎ ‎15.D　根据三视图知,该几何体是左边为圆柱的一部分,右边是圆柱挖去一个半球体,结合图中数据,计算该几何体的表面积为:S=π·22+‎1‎‎3‎·2π·2·2+2·2‎3‎·2+2π·2·4+‎1‎‎2‎·4π·22=‎92π‎3‎+8‎3‎.故选D.‎ ‎16.π‎2‎　将四面体放回一个正方体中,使正四面体的棱都是正方体的面对角线,那么正四面体和正方体的外接球是同一个球,当AB是截面圆的直径时,截面面积最小.因外接球的表面积为3π,则球的直径为‎3‎,则正方体的体对角线为‎3‎,棱长为1,面对角线为‎2‎,截面圆面积最小值为π×‎2‎‎2‎2=π‎2‎.‎ ‎17.D　∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC中点,∠APD=∠CPM,P为矩形CDD1C1内部(含边界)一点,∴Rt△ADP∽Rt△PMC,∴ADMC=PDPC=2,即PD=2PC,∵|QA1|=1,则A1在以Q为球心的球面上,而A1到面PCD的距离为x,则(VQ-PCD)max=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×3×x×(x+1)=‎1‎‎2‎x(x+1),由此可知A,B,C选项都不正确,而V(6)=‎1‎‎2‎×6×(6+1)=21.故选D.‎