高考数学总复习课时规范练30数列求和文新人教A版

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课时规范练 30 数列求和 基础巩固组 1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ ,…的前 n 项和 Sn 的值等于( ) A.n2+1- B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- 2.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=( ) A.-495 B.765 C.1 080 D.3 105 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,其中 m,n 为正整数,且 a1=1,则 a10 等于( ) A.1 B.9 C.10 D.55 4.已知函数 f(x)=xa 的图象过点(4,2),令 an= ,n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S2 018 等于( ) A. -1 B. +1 C. -1 D. +1 5.已知数列{an}中,an=2n+1,则 +…+ =( ) A.1+ B.1-2n C.1- D.1+2n 6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,若 Sn+1= Sn,则数列 的前 2 018 项和 为 . 7.已知等差数列{an}满足:a5=11,a2+a6=18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=an+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 〚导学号 24190915〛 8.设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 〚导学号 24190916〛 9.Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 an>0, +2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. 〚导学号 24190917〛 综合提升组 10.如果数列 1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前 n 项和 Sn>1 020,那么 n 的最小值是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 11.(2017 山东烟台模拟)已知数列{an}中,a1=1,且 an+1= ,若 bn=anan+1,则数列{bn}的前 n 项和 Sn 为( ) A. B. C. D. 〚导学号 24190918〛 12.(2017 福建龙岩一模,文 15)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对 n∈N*都有 Sn=1-an,若 bn=log2an,则 +…+ = . 13.(2017 广西模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= an-1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2log3 +1,求 +…+ . 〚导学号 24190919〛 创新应用组 14.(2017 全国Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴 趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已 知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的 三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 15.观察下列三角形数表: 1 第 1 行 2 2 第 2 行 3 4 3 第 3 行 4 7 7 4 第 4 行 5 11 14 11 5 第 5 行 …… 假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N*). (1)归纳出 an+1 与 an 的关系式,并求出 an 的通项公式; (2)设 anbn=1(n≥2),求证:b2+b3+…+bn<2. 答案： 1.A 该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ ,则 Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+ =n2+1- . 2.B 由 a1=-60,an+1=an+3 可得 an=3n-63,则 a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+… +a30)=S30-2S20=765,故选 B. 3.A ∵Sn+Sm=Sn+m,a1=1,∴S1=1.可令 m=1,得 Sn+1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=1,即当 n≥1 时,an+1=1,∴a10=1. 4.C 由 f(4)=2,可得 4a=2,解得 a= ,则 f(x)= . ∴an= , S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=( )+( )+( )+…+( )= -1. 5.C an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n, 所以 +…+ +…+ =1- =1- . 6. ∵Sn+1= Sn,∴ .又 a1=2, ∴当 n≥2 时,Sn= ·…· ·S1= ·…· ×2=n(n+1). 当 n=1 时也成立,∴Sn=n(n+1). ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n.当 n=1 时,a1=2 也成立,所以 an=2n. ∴ . 则数列 的前 2 018 项和 = . 7.解 (1)设{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 a5=11,a2+a6=18, 得 解得 a1=3,d=2,所以 an=2n+1. (2)由 an=2n+1 得 bn=2n+1+2n, 则 Sn=[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n)=n2+2n+ =n2+2n+2n+1-2. 8.解 (1)由题意,有 即 解得 故 (2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn= , 于是 Tn=1+ +…+ , ① Tn= +…+ . ② ①-②可得 Tn=2+ +…+ =3- ,故 Tn=6- . 9.解 (1)由 +2an=4Sn+3, 可知 +2an+1=4Sn+1+3. 两式相减可得 +2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)= =(an+1+an)·(an+1-an). 由于 an>0,可得 an+1-an=2. 又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去),a1=3. 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,故{an}的通项公式为 an=2n+1. (2)由 an=2n+1 可知 bn= . 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则 Tn=b1+b2+…+bn = . 10.D an=1+2+22+…+2n-1=2n-1. ∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2, ∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,∴使 Sn>1 020 的 n 的最小值是 10. 11.B 由 an+1= ,得 +2, ∴数列 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴ =2n-1,又 bn=anan+1, ∴bn= = , ∴Sn= ,故选 B. 12. 对 n∈N*都有 Sn=1-an,当 n=1 时,a1=1-a1,解得 a1= . 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=1-an-(1-an-1),化为 an= an-1. ∴数列{an}是等比数列,公比为 ,首项为 .∴an= . ∴bn=log2an=-n.∴ . 则 +…+ +…+ =1- . 13.解 (1)当 n=1 时,a1= a1-1,∴a1=2. 当 n≥2 时,∵Sn= an-1,① Sn-1= an-1-1(n≥2),② ∴①-②得 an= ,即 an=3an-1, ∴数列{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列,∴an=2·3n-1. (2)由(1)得 bn=2log3 +1=2n-1, ∴ +…+ +…+ = +…+ . 14.A 设数列的首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推,设第 n 组 的项数为 n,则前 n 组的项数和为 .第 n 组的和为 =2n-1,前 n 组总共的和为 -n=2n+1-2-n. 由题意,N>100,令 >100,得 n≥14 且 n∈N*,即 N 出现在第 13 组之后.若要使最小整数 N 满足:N>100 且前 N 项和为 2 的整数幂,则 SN- 应与-2-n 互为相反数,即 2k-1=2+n(k∈N*,n≥ 14),所以 k=log2(n+3),解得 n=29,k=5.所以 N= +5=440,故选 A. 15.解 (1)由题意知 an+1=an+n(n≥2),a2=2, ∴an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+2+3+…+(n-1)=2+ , ∴an= n2- n+1(n≥2). (2)∵anbn=1,∴bn= =2 , ∴b2+b3+b4+…+bn<2 +…+ =2 <2.