2021届新高考版高考数学一轮复习训练：专项突破一 新高考·新题型专练
专项突破 高考学科素养专练
专项突破一 新高考·新题型专练
一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则( )
A.M=N B.N⊆M C.M∩N=M D.(∁RM)∪N=R
2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是( )
A.复数z=1+2i1-i的虚部为32
B.复数z=2+5i-i的共轭复数z-= - 5 - 2i
C.复数z=12 - 12i在复平面内对应的点位于第二象限
D.若复数z满足1z∈R,则z∈R
3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是( )
图1 - 1
A.大部分月份制造业总体衰退
B.2019年3月制造业总体扩张最大
C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长
D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点
4.已知函数f (x)=x2,x≤0,-x2,x>0,则下列结论中正确的是( )
A.f ( - 2)=4
B.若f (m)=9,则m=±3
C.f (x)是偶函数
D.f (x)在R上单调递减
5.已知(ax2+1x)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和
为1 024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则( )
A.|b|=2
B.(2a+b)∥(a+2b)
C.向量2a - b与a - 2b的夹角为π4
D.向量a在b方向上的投影为55
7.已知函数f (x)=sin(2x - π6),下列结论正确的是( )
A.f (x)的最小正周期是π
B.f (x)=12是x=π2的充分不必要条件
C.函数f (x)在区间(π3,5π6)上单调递增
D.函数y=|f (x)|的图象向左平移π12个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=k4π(k∈Z)
8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是( )
A.P(A)=P(B)=P(C)
B.P(AB)=P(AC)=P(BC)
C.P(ABC)=18
D.P(A)P(B)P(C)=18
9.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f (x)=(x - 2)ex,则下列结论正确的是( )
A.f (x)>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞)
B.当x<0时,f (x)=(x+2)e - x
C.f (x)有且只有两个零点
D.∀x1,x2∈[1,2],|f (x1) - f (x2)|≤e
10.设圆A:x2+y2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是( )
A.圆A的半径为2
B.圆A截y轴所得的弦长为23
C.圆A上的点到直线3x - 4y+12=0的最小距离为1
D.圆A与圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0相离
11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角,且c - b=2bcos A,则下列结论中正确的是( )
A.a2=b(b+c) B.A=2B C.0
0,且∀x1,x2∈R(x1≠x2),f (x1)+f (x2)<2f (x1+x22),则下列各项中正确的是( )
A.f (2)b6
14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,E,F ,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则( )
图1 - 2
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
15.已知矩形ABCD,AB=1,BC=3,将△ADC沿对角线AC进行翻折,得到三棱锥D - ABC,则在翻折的过程中,下列结论正确的是( )
A.三棱锥D - ABC的体积的最大值为13
B.三棱锥D - ABC的外接球的体积不变
C.三棱锥D - ABC的体积最大时,二面角D - AC - B的大小是60°
D.异面直线AB与CD所成角的最大值为90°
16.已知椭圆x23+y26=1上有A,B,C三点,其中B(1,2),C( - 1, - 2),tan∠BAC=92,则下列说法正确的是( )
A.直线BC的方程为2x - y=0
B.kAC=12或4
C.点A的坐标为( - 19,229)
D.点A到直线BC的距离为459
17.在数列{an}中,a1=1,a2=2,a3=3,an+3+( - 1)nan+1=1(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是( )
A.数列{an}为等差数列 B.a18=10 C.a17=3 D.S31=146
18.过抛物线y2=3x的焦点f 的直线与抛物线交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1,直线AO交准线于点M(O为坐标原点),则下列说法正确的是( )
A.OA·OB=0 B.∠A1F B1=90° C.直线MB∥x轴 D.|AF|·|BF |的最小值是94
二、双空题.
19.已知函数g(x)=2sin[ω(x+π12)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x)的最小正周期为π,则f (x)= ;若函数f (x)在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则实数ω的值为 .
20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD中,E,F分别为边CD,AD上的点,△DEf 为等边三角形,CE=Ef ,且∠ABC=π3,AE=13,AF=3,则AC= ,△ABC面积的最大值为 .
图1 - 3
21.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1= - 12,且an+an+1=2n2+2n(n∈N*),则S2n= ,
an= .
22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点和双曲线x2 - y23=1的右焦点F2重合,则抛物线的方程为 ;P为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P与双曲线左焦点F 1之间的距离为 .
23.设函数f (x)(x∈R)的导函数为f ' (x),f (0)=2 020,且f ' (x)=f (x) - 2,则f (x)= ,f (x)+4 034>2f ' (x)的解集是 .
24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD中,E,F ,G,H分别是PA,PB,PC,PD上异于端点的点,且平面EF GH与平面ABCD平行,S为AC和BD的交点,当四棱锥S - EFGH的体积最大时,PEPA= ,此时四棱锥S - EFGH外接球的表面积为 .
图1 - 4
专项突破一 新高考·新题型专练
1.CD 由|x - 1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},所以M∩N=M,M⊆N,(∁RM)∪N=R,故选CD.
2.ABD 对于A,z=1+2i1-i=(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)= - 12+32i,其虚部为32,故A正确;
对于B,z=2+5i-i=(2+5i)i= - 5+2i,故z= - 5 - 2i,故B正确;
对于C,z=12 - 12i在复平面内对应的点的坐标为(12,-12),位于第四象限,故C不正确;
对于D,设z=a+bi(a,b∈R),则1z=1a+bi=a-bia2+b2,又1z∈R,则b=0,所以z=a∈R,故D正确.
故选ABD.
3.ABD 根据折线图可知,大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD.
4.AD 由于 - 2<0,所以f ( - 2)=( - 2)2=4,故A选项正确;由f (m)=9>0知m≤0,且m2=9,因此m= - 3,故B选项错误;由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数,且在R上单调递减,故C选项错误,D
选项正确.故选AD.
5.BCD 因为(ax2+1x)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以Cn4=Cn6,解得n=10.因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,解得a=1.故给定的二项式为(x2+1x)10,其展开式中奇数项的二项式系数之和为12×210=512,故A不正确.由n=10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项,而(x2+1x)10的展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B正确.展开式的通项公式为Tk+1=C10k(x2)10 - k·(1x)k=C10kx20 - 5k2(k=0,1,2,…,10),令20 - 5k2=0,解得k=8,即常数项为第9项,故C正确.令20 - 5k2=15,得k=2,故展开式中含x15项的系数为C102=45,故D正确.故选BCD.
6.AC 将a=(1,2),b=(m,1)代入b·(a+b)=3,得(m,1)·(1+m,3)=3,即m2+m=0,解得m= - 1或m=0(舍去),所以b=( - 1,1),所以|b|=(-1)2+12=2,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=( - 1,4),1×4 - ( - 1)×5=9≠0,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a - b与a - 2b的夹角为θ,易知2a - b=(3,3),a - 2b=(3,0),所以cos θ=(2a-b)·(a-2b)|2a-b||a-2b|=22,所以θ=π4,故C正确;向量a在b方向上的投影为a·b|b|=12=22,故D错误.故选AC.
7.AD 对于A,由最小正周期T=2πω=2π2=π知A正确;
对于B,由f (x)=12得2x - π6=2kπ+π6(k∈Z)或2x - π6=2kπ+5π6(k∈Z),即x=kπ+π6(k∈Z)或x=kπ+π2(k∈Z),可知f (x)=12是x=π2的必要不充分条件,B不正确;
对于C,由π30时,f (x)<0的解集为(0,2),f (x)>0的解集为(2,+∞),由f (x)为奇函数可知选项A正确;当x<0时,f (x)= - f ( - x)= - ( - x - 2)e - x=(x+2)e - x,选项B正确;当x>0时,x=2为f (x)的零点,又f (x)是定义在R上的奇函数,所以f (0)=0,f ( - 2)=0,故f (x)有且只有三个零点,选项C错误;当x>0时,f ' (x)=(x - 1)ex,故f (x)在[1,2]上单调递增,所以f (x)min=f (1)= - e,f (x)max=f (2)=0,所以|f (x1) - f (x2)|≤f (x)max - f (x)min=e,选项D正确.故选ABD.
【易错警示】 求解本题时,一定要注意奇函数在x=0处有定义时f (0)=0.
10.ABC 把圆A的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程,为(x - 1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2×4-1=23,B正确;圆心(1,0)到直线3x - 4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x - 4y+12=0的最小距离为3 - 2=1,C正确;易知圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据(4-1)2+42=5可知,圆A与圆B相切,D错误.故选ABC.
11.ABD 因为c - b=2bcos A,所以由余弦定理得c - b=2b·b2+c2-a22bc,所以c(c - b)=b2+c2 - a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c - b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C - sin B=2sin Bcos A,即sin(A+B) - sin B=2sin Bcos A,所以sin Acos B - sin Bcos A=sin B,即sin(A - B)=sin B,由于C是钝角,所以A - B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°0知,f (x)在R上单调递增,则f (2)0),{bn}的公差为d(d≠0).a5=a2a8=b2b8,b5=b2+b82,由基本不等式得b2b8≤b2+b82,当且仅当b2=b8时等号成立,易知数列{bn}不是常数列,故B正确,A错误.因为a2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d=a2(q6-1)6,所以a4 - b4=a2q2 - a2 - 2d=a2(q2 - 1 - q6-13)=a23(3q2 - q6 - 2)=a23(q2 - q6+2q2 - 2)=a23(1 - q2)(q4+q2 - 2)= - a23(1 - q2)2(q2+2)<0,a6 - b6=a2q4 - a2 - 4d=a23(3q4 - 1 - 2q6)= - a23(1 - q2)2(2q2+1)<0,所以a40),{bn}的公差为d(d≠0).an=a1qn - 1=a1q·qn,bn=b1+(n - 1)d=b1 - d+nd,将其分别理解成关于n的指数函数乘以正数a1q(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次函数的图象为直线),则两函数图象分别在n=2,n=8处相交,故当3≤n≤7时,anθ2,由tan∠BAC=92>0,知∠BAC<π2,则数形结合易知当θ1 - θ2=∠BAC时,才能满足题意,故tan(θ1 - θ2)=92,即kAB-kAC1+kAB·kAC=92,又kAB·kAC=yA-2xA-1·yA+2xA+1=yA2-4xA2-1=6-2xA2-4xA2-1= - 2,所以kAB - kAC= - 92,结合kAB·kAC= - 2,解得kAC=4,kAB=-12或kAC=12,kAB=-4.而当kAC=12,kAB=-4时,数形结合易知∠BAC≠θ1 - θ2,且∠BAC>π2,故舍去.当kAC=4,kAB=-12时,直线AC、直线AB的方程分别为y+2=4(x+1),y - 2= - 12(x - 1),可得A(19,229).由椭圆的对称性可知:当θ1<θ2时,同理可得kAC=-12,kAB=4,A( - 19, - 229),故B,C错误.易得直线BC的方程为2x - y=0,故当点A为(19,229)时,点A到直线BC的距离为|29-229|5=459,当点A为( - 19, - 229)时,点A到直线BC的距离也为459.故A,D正确,选AD.
17.BD 依题意得,当n是奇数时,an+3 - an+1=1,即数列{an}中的偶数项构成以a2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a18=2+(9 - 1)×1=10.当n是偶数时,an+3+an+1=1,所以an+5+an+3=1,两式相减,得an+5=an+1,即数列{an}中的奇数项从a3开始,每间隔一项的两项相等,即数列{an}的奇数项呈周期变化,所以a17=a4×3+5=a5.在an+3+an+1=1中,令n=2,得a5+a3=1,因为a3=3,所以a5= - 2,所以a17= - 2.在数列{an}中,a3+a5=1,a7+a9=1,…,
a27+a29=1,a31=a4×7+3=a3=3,偶数项构成以a2=2为首项、1为公差的等差数列,所以S31=1+7+3+15×2+15×(15-1)2=146.故选BD.
18.BCD 由题意可知,抛物线y2=3x的焦点F的坐标为(34,0),准线方程为x= - 34.易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+34,代入y2=3x,得y2 - 3my - 94=0,易知Δ>0,所以y1+y2=3m, y1y2= - 94,则x1x2=(my1+34)(my2+34)=916,所以OA·OB=(x1,y1)·(x2,y2)= x1x2+ y1y2=916 - 94= - 2716≠0,所以A不正确;因为A(y123,y1),O(0,0), M( - 34,yM)三点共线,所以y1y123=yM-34,所以y1yM= - 94,又y1y2= - 94,所以yM=y2,所以直线MB∥x轴,所以C正确;易知A1,B1的坐标分别为( - 34,y1),( - 34,y2),所以FA1·FB1=( - 34 - 34,y1
)·( - 34 - 34,y2)=94+ y1 y2=94 - 94=0,所以∠A1FB1=90°,所以B正确;设直线AB的倾斜角为θ(θ≠0) ,则|AF|=321-cosθ,|BF|=321+cosθ,所以|AF|·|BF|=321-cosθ·321+cosθ=94sin2θ≥94,当且仅当AB⊥x轴时取等号,所以D正确.故选BCD.
19. sin(2x - π6) 6 因为函数g(x)=2sin[ω(x+π12)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的,所以f (x)=sin[ω(x - π12)].①若f (x)的最小正周期为π,则f (x)=sin(2x - π6).②若函数f (x)在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则有f (π6)=sinωπ12=1,且2πω≥π3,结合ω>0,得ω=6.
【易错警示】 在进行三角函数图象变换时,一般“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意左、右平移时把x前面的系数提取出来.
20.23 33 在△AEF中,易知∠AFE=2π3,又AF=3,AE=13,由余弦定理得(13)2=32+EF2 - 2×3×EF×cos 2π3,可得EF=1.所以CE=DE=DF=
EF=1,AD=4,CD=2.又∠ADC=π3,所以在△ACD中,由余弦定理得AC2=42+22 - 2×4×2×cos π3=12,得AC=23.
解法一 设∠ACB=θ,则∠BAC=π - π3 - θ=2π3 - θ,所以在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC=ACsin∠ABC=4,所以AB=4sin θ,BC=4sin(2π3 - θ),于是△ABC的面积S△ABC=12AB·BCsin π3=43sin θsin(2π3 - θ)=43sin θ(32cos θ+12sin θ)=23(32sin 2θ - 12cos 2θ+12)=23sin(2θ - π6)+3,则当2θ - π6=π2,即θ=π3时,S△ABC取得最大值,为33.
解法二 在△ABC中,cos∠ABC=BC2+AB2-AC22BC·AB,结合基本不等式,得12=BC2+AB2-122BC·AB≥2BC·AB-122BC·AB,化简得BC·AB≤12(当且仅当AB=BC时取等号),所以△ABC的面积S△ABC=12BC·AB·sin∠ABC≤12×12×32=33,即△ABC面积的最大值为33.
21.2n2n+1 ( - 1)n+1n(n+1) 因为an+an+1=2n2+2n=1n - 1n+2,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n - 1+a2n=1 - 13+13 - 15+…+12n-1 - 12n+1=1 - 12n+1=2n2n+1.
因为an+an+1=2n2+2n,所以an+1=2n2+2n - an.又a1= - 12=11×2 - 1,所以a2=23+12=76=12×3+1,a3=22×4 - 76= - 1112=13×4 - 1,a4=23×5+1112=2120=14×5+1,…,归纳可得,an=( - 1)n+1n(n+1).
22.y2=8x 7 易知双曲线x2 - y23=1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则p2=2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.
设点P的坐标为(x0,y0),易知x0>0,由y2=8x,x2-y23=1得3x2 - 8x - 3=0,解得x0=3,则P(3,26)或P(3, - 26),则点P与双曲线左焦点F1( - 2,0)之间的距离为[3-(-2)]2+(0±26)2=7.
23.2+2 018ex ( - ∞,ln 2) 令h(x)=f(x)-2ex,则h' (x)=f '(x)ex-[f(x)-2]ex(ex)2=f '(x)-f(x)+2ex, 又f ' (x)=f (x) - 2,∴h' (x)=0,故h(x)为常数函数.设h(x)=c,则f(x)-2ex=c,∴f (x)=2+cex.∵f (0)=2 020,∴f (0)=2+c=2 020,∴c=2 018,故f (x)=2+2 018ex,f ' (x)=2 018ex.由f (x)+4 034>2f ' (x),得4 036+
2 018ex>2×2 018ex,故ex<2,故x0,函数f (x)单调递增,当23
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