2014高考数学百题精练分项解析13

2014高考数学百题精练分项解析13

‎2014高考数学百题精练之分项解析13‎ ‎【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.‎ 一、选择题（每小题6分，共42分）‎ ‎1.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，（a+2b）·（a-3b）=-72，则向量a的模为（）‎ A.2B‎.4C.6D.‎ 答案：C 解析：由已知得a2-a·b-6b2=-72.故|a|2-2|a|-24=0，|a|=6或-4（舍）.‎ ‎2.若a=（2，3），b=（-4，7），则a在b方向上的投影为（）‎ A.B.C.D.‎ 答案：C 解析：a在b方向上的射影为.‎ ‎3.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且‎3a+2b与λa-b垂直，则λ等于（）‎ A.B.-C.±D.1‎ 答案：A 解析：因a⊥b，故a·b=0，又（‎3a+2b）（λa-b）=0.故3λa2-2b2=0,λ=.‎ ‎4.(2010天津和平区一模，4)已知a+b+c=0，|a|=1，|b|=2，|c|=，则a·b+b·c+c·a的值为（）‎ A.7B.C.-7D.-‎ 答案：D 解析：2（a·b+b·c+c·a）=a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）=-（a2+b2+c2）=-（1+4+2）=-7，‎ ‎∴a·b+b·c+c·a=-72.‎ ‎5.(2010湖南十校联考，3)已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于()‎ A.25B‎.24C.-25D.-24‎ 答案：C 解析：由已知得cosA=,cosB=0,cosC=.‎ 原式=-||||cosB-||||cosC-||||cosA ‎=0-4×5×-5×3×=-25.‎ ‎6.已知向量a=（2cosα,2sinα）,b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°，则直线x·cosα-y·sinα+=0与圆（x-cosβ）2+(y+sinβ)2=的位置关系是()‎ A.相切B.相交 C.相离D.随α、β而定 答案：C 解析：由d==|cos(α-β)+|,又因为a·b=6cosαcosβ+6sinαsinβ=|a||b|cos60°.‎ 故有cos(α-β)==.‎ ‎∴d=1＞.‎ ‎7.已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα,sinα）,则向量与向量的夹角的范围为()‎ A.［0,］B.［,］‎ C.［,］D.［π,］‎ 答案：D 解析：=(x,y),=-=(x-2,y-2),‎ x=2+cosα,y=2+sinα,‎ ‎·=2x,cosθ=.‎ 又（x-2）2+(y-2)2=()2,设y=kx,‎ ‎=.k=2±,即（）2最大为（2+）2，最小为（2-）2≤cosθ≤,θ∈［,］‎ 二、填空题（每小题5分，共15分）‎ ‎8.(2010江苏南京一模，14)若|a|=1，|b|=2，c=a-b，且c⊥a,则向量a与b的夹角为___________.‎ 答案：‎ 解析：c⊥a（a-b）a=0,a·b=a2=1,‎ ‎∴cos〈a、b〉==，故a与b夹角为.‎ ‎9.已知i，j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+λj,且a与b夹角为锐角，则实数λ取值范围为________________________.‎ 答案：λ＜且λ≠-2‎ 解析：由a与b夹角为锐角有可得.‎ ‎10.已知△ABC的面积为，||=3，||=5，·＜0，则||=____________.‎ 答案：7‎ 解析：S△=||·||·sinA=sinA=,又·＜0,即A＞90°,故A=120°.‎ ‎∴||2=|-|2=||2+||2-2||||cosA=32+52+3×5=49,||=7.‎ 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）‎ ‎11.已知向量a=（cosx,sinx）,b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x∈(0,π).‎ ‎(1)向量a、b是否共线？请说明理由；‎ ‎（2）求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.‎ 解析：（1）a与b共线.因cosx·（1-cos2x)-sinx·sin2x=cosx·2sin2x-2sin2x·cosx=0.‎ ‎(2)|b|=2|sinx|,‎ ‎∵x∈(0,π),∴sinx＞0,|b|=2sinx.‎ 又（a+b）·c=sinx+2sin2x,‎ ‎∴f(x)=-2sin2x+sinx ‎=-2(sinx-)2+.‎ ‎∵x∈(0,π),‎ ‎∴当sinx=时，函数f（x）取得最大值.‎ ‎12.已知a=（cosα,sinα）,b=(cosβ,sinβ)且a，b满足|ka+b|=|a-kb|（k＞0）.‎ ‎(1)用k表示a，b的数量积；‎ ‎（2）求a·b的最小值及此时a，b的夹角θ.‎ 解析：（1）|a|=1,|b|=1,‎ ‎|ka+b|2=3|a-kb|2,‎ k‎2a2+2ka·b+b2=‎3a2+3k2b2-6ka·b，8ka·b=2k2+2,a·b=.‎ ‎(2)k＞0,‎ a·b==(k+)≥,‎ 当k=1时等号成立.‎ 此时a·b的最小值为，夹角为θ=.‎ ‎13.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.‎ ‎（1）求证：（a-b）⊥c;‎ ‎(2)若|ka+b+c|＞1(k∈R),求k的取值范围.‎ ‎（1）证明：（a-b）·c=a·c-b·c ‎=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0,‎ ‎∴(a-b)⊥c.‎ ‎(2)解析：|ka+b+c|＞1|ka+b+c|2＞1k‎2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c＞1.‎ ‎∵|a|=|b|=|c|=1,且a，b，c夹角均为120°，‎ ‎∴a2=b2=c2=1,a·b=b·c=a·c=-.‎ ‎∴k2-2k＞0,k＞2或k＜0.‎ ‎14.设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.‎ ‎(1)若=a，=tb,=(a+b),则当t为何值时，A、B、C三点共线？‎ ‎（2）若|a|=|b|，且a与b的夹角为60°，则t为何值时，|a-tb|的值最小？‎ 解析：(1)∵A、B、C三点共线，‎ ‎∴=λ.‎ ‎∴tb-a=λ［(a+b)-a］=λb-λa ‎∴∴λ=,t=.‎ ‎(2)∵a·b=|a||b|cos60°=|a|2,‎ ‎∴|a-tb|2=|a|2-2t(a·b)+t2|b|2‎ ‎=|a|2-t|a|2+t2|a|2‎ ‎=|a|2［(t-)2+］.‎ ‎∴当t=时，|a-tb|有最小值|a|.‎