2021高考数学一轮复习课时作业7二次函数与幂函数理
课时作业7 二次函数与幂函数
[基础达标]
一、选择题
1．[2020·山东济南月考]若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．0
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)－f(－x)＝0，即ax2＋(2a2－a－1)x＋1－[ax2－(2a2－a－1)x＋1]＝0，化简得(2a2－a－1)x＝0，又对任意的x∈R恒成立，所以2a2－a－1＝0，解得a＝1或－.故选C项．
答案：C
2．函数y＝x的图象是( )
解析：由幂函数y＝xα，若0<α<1，在第一象限内过(1,1)，排除A、D，又其图象上凸，则排除C，故选B.
答案：B
3．[2020·湖北武汉模拟]函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件．当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知，解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]．故选D项．
答案：D
4．[2020·四川绵阳模拟]已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m
5
]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
解析：如图，作出函数y＝x2－2x＋3的图象，由图象可知m的取值范围是[1,2]．故选B项．
答案：B
5．[2020·湖南益阳模拟]已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为( )
A．(－，)∪(2，＋∞) B．(－，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－，2)
解析：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，∴a＋2＝0，得a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4，∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或即或解得－
2.综上，原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞)．故选A项．
答案：A
二、填空题
6．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
解析：当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝ax2－bx，
而f(－x)＝－f(x)，
即－x2－x＝ax2－bx，
所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.
答案：0
7．[2020·江西九江共青模拟]已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝________.
解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.
答案：－1
5
8．[2020·河北唐山模拟]已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．
解析：设f(x)＝a2＋49(a≠0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－3，x1x2＝＋，则|x1－x2|＝＝2＝7，得a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
三、解答题
9．已知二次函数f(x)有两个零点0与－2，且它有最小值－1.求f(x)的解析式．
解析：由于f(x)有两个零点0和－2，
所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a.
由于f(x)有最小值－1，
所以必有，
解得a＝1.
因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
10．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：∵幂函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，
得解得1≤a<.
∴a的取值范围为.
5
[能力挑战]
11．[2020·西藏日喀则高一月考]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，故①正确；②∵图象的对称轴为直线x＝－＝－1，∴2a－b＝0，故②错误；③当x＝－1时，由图象可知y＝a－b＋c≠0，故③错误；④∵函数图象开口向下，∴a<0,5a<2a，又b＝2a，∴5ax2f(x2)；②x1f(x1)xf(x2)；④xf(x1)h(x2)，即>，于是xf(x1)>xf(x2)，故③正确，④错误．故选C项．
答案：C
13．[2020·河北武邑调研]已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3.若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝x3.易知f(x)在R上是增函数，由f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，得得m的取值范围是(－∞，－)，故选A项．
答案：A
5
