直线、平面垂直的判定及其性质教案1

直线、平面垂直的判定及其性质教案1

‎ ‎ 直线和平面垂直的判定与性质（一）‎ ‎　 ‎ 一、素质教育目标 ‎（一）知识教学点 ‎1．直线和平面垂直的定义及相关概念．‎ ‎2．直线和平面垂直的判定定理．‎ ‎3．线线平行的性质定理（即例题1）．‎ ‎（二）能力训练点 ‎1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．‎ ‎2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用．‎ ‎（三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．‎ 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 ‎1．教学重点 ‎（1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直．‎ ‎（2）掌握直线和平面垂直的判定定理：‎ ‎（3）掌握线线平行的性质定理：‎ 若a∥b，a⊥α则b⊥α．‎ 第 8 页 共 8 页 ‎ ‎ ‎2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题．‎ ‎3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可．‎ 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时．‎ 四、学生活动设计（略）‎ 五、教学步骤 ‎（一）温故知新，引入课题 ‎1．空间两条直线有哪几种位置关系？‎ ‎（三种：相交直线、平行直线、异面直线）‎ ‎2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？‎ ‎（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）‎ ‎3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？‎ ‎（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）‎ ‎4．怎样判定直线和平面平行？‎ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手．‎ ‎（板书课题：§1．9直线和平面垂直）‎ ‎（二）猜想推测，激发兴趣 ‎1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．‎ 第 8 页 共 8 页 ‎ ‎ ‎2．指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．‎ ‎3．说明直线和平面垂直的画法及表示．‎ 师：要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）‎ ‎（三）层层推进，证明定理 指导学生写出已知条件和结论，并画出图形如右：‎ 求证：l⊥α 师：你如何证明直线和平面垂直呢？‎ 生：根据直线和平面垂直的概念，只需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．‎ 师：设g是平面α内的任意一条直线，现在只要证明l⊥α就可以了．对于平面α内不经过点B的直线，可以过点B作它的平行直线，所以，我们先证明l，g都经过点B的情况．‎ ‎（生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示．）‎ ‎1．l、g是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l上点B的两侧分别取点A，A′，使AB＝A′B．‎ ‎2．直线m、n和线段AA′是什么关系？‎ 第 8 页 共 8 页 ‎ ‎ ‎（m、n垂直平分AA′）‎ ‎3．从结论看，直线g与线段AA′应当有什么关系？（g垂直平分AA′）‎ ‎4．怎样证明直线g垂直平分线段AA′？‎ ‎（只要g上一点E，有EA＝EA′）‎ ‎5．过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？‎ ‎（利用全等三角形性质）‎ ‎（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）‎ 参看右图并作如下说明：‎ ‎1．当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．‎ ‎2．如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．‎ ‎3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．‎ 这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．‎ ‎（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．‎ ‎4．强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．‎ 第 8 页 共 8 页 ‎ ‎ ‎（1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．‎ ‎（2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．‎ ‎（四）初步运用，提高能力 例1　 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．‎ 分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．‎ 已知：a∥b，a⊥α　　 （如图1-68）．‎ 求证：b⊥α，‎ 要证明：b⊥α，根据判定定理，只要证明在平面α内有两条相交直线m、n与b垂直即可．‎ 证明：在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n＝A．‎ 说明：‎ ‎1．本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．‎ ‎2．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．‎ 第 8 页 共 8 页 ‎ ‎ 练习（课后练习2）求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．‎ 已知：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA．‎ 求证：‎ OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB．‎ 证明：（以证明OA⊥平面BOC为例，目的是强化书写格式）‎ ‎（五）归纳小结，强化思想 师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面α，那么l就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路．‎ 六、作业 作为一般要求，完成习题四1、2、3、4．‎ 提高要求，完成以下两个补充练习：‎ ‎1．如图1-70，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]‎ 第 8 页 共 8 页 ‎ ‎ A、AH⊥△EFH 所在平面 B、AD⊥△EFH所在平面 C、HF⊥△AEF所在平面 D、HD⊥△AEF所在平面 答案：选择（A）‎ ‎∵AH⊥EH，AH⊥FH，‎ ‎∴AH⊥平面EFH．‎ 讲评作业时说明：应用折叠不变性设计的本题，目的是用于培养学生的空间想象能力和“转化”思想方法；折叠问题要注意应用折叠前、后平面图和立体图中，各个元素间大小和位置关系不变的量．‎ ‎2．如图1-71，MN是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和b，‎ 第 8 页 共 8 页 ‎ ‎ 求证：MN⊥平面α．‎ 证明：过相交直线a和MN作平面β，‎ 设α∩β=a′，‎ ‎∵a∥α．‎ ‎∴ a∥a′‎ ‎∵ MN是a、b的公垂线，∴MN⊥a，于是MN⊥a′．‎ 同样过相交直线b和MN作平面γ，‎ 设α∩γ＝b′，则可得MN⊥b′．‎ ‎∵a′、b′是α 内两条相交直线，∴MN⊥α．‎ 第 8 页 共 8 页