2020年高中数学新教材同步必修第一册 第2章 再练一课 (范围：2
再练一课(范围：2.1～2.3)
1．(2019·全国Ⅱ)设集合 A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则 A∩B 等于( )
A．{x|x<1} B．{x|－2
3}
答案 A
解析 因为 A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3 或 x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，
所以 A∩B＝{x|x<1}，故选 A.
2．设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M >N B．M ≥N C．M0.
∴M >N.
3．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为 2，－1，则当 a<0 时，不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集
为( )
A．{x|x<－1 或 x>2} B．{x|x≤－1 或 x≥2}
C．{x|－10，b>0，下列不等式中不正确的是( )
A. ab
2 <1
a
＋1
b B．ab≤a2＋b2
2
C．ab≤
a＋b
2 2 D.
a＋b
2 2≤a2＋b2
2
答案 A
解析 当 a>0，b>0 时，因为 2
1
a
＋1
b
≤ ab，所以 2
ab
≤1
a
＋1
b
，当且仅当 a＝b 时等号成立，故 A
不正确；显然 B，C，D 均正确．
5．对一切实数 x，不等式 x2＋a|x|＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．{a|a<－2} B．{a|a≥－2}
C．{a|－2≤a≤2} D．{a|a≥0}
答案 B
解析 当 x＝0 时，x2＋a|x|＋1＝1≥0 成立．
当 x≠0 时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－ |x|＋ 1
|x| 恒成立．
∵|x|＋ 1
|x|
≥2(当且仅当|x|＝1 时，等号成立)，
∴－ |x|＋ 1
|x| ≤－2.∴a≥－2.
6．一段长为 40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________m2.
答案 100
解析 设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 2(x＋y)＝40，即 x＋y＝20，
∴矩形的面积 S＝xy≤
x＋y
2 2＝100，当且仅当 x＝y＝10 时，等号成立，此时菜园的面积最大，
最大面积是 100 m2.
7．若不等式 x2＋ax＋1≥0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为________．
答案 {a|－2≤a≤2}
解析 ∵Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
8．已知 x>0，y>0，且满足x
3
＋y
4
＝1，则 xy 的最大值为________．
答案 3
解析 因为 x>0，y>0，x
3
＋y
4
＝1，
所以x
3
＋y
4
≥2 x
3·y
4
＝ xy
3 (当且仅当x
3
＝y
4
＝1
2
，即 x＝3
2
，y＝2 时取等号)，
即 xy
3
≤1，解得 xy≤3，
所以 xy 的最大值为 3.
9．已知不等式 ax2－3x＋6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}．
(1)求 a，b 的值；
(2)解不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)由题意知，1 和 b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两根，则
3
a
＝1＋b，
2
a
＝b，
解得 a＝1，
b＝2.
(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为 x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当 c>2 时，原不等式的解集为{x|22 时，原不等式的解集为{x|20)米，则 AN＝(x＋2)米，
∵DN∶AN＝DC∶AM，∴AM＝3x＋2
x
，
∴SAMPN＝AN·AM＝3x＋22
x
，
由 SAMPN>32，得3x＋22
x
>32，
又 x>0，得 3x2－20x＋12>0，
解得 06，
即 DN 长的取值范围是 x|06 .
(2)矩形花坛 AMPN 的面积为
3x＋22
x
＝3x＋12
x
＋12≥2 3x·12
x
＋12＝24，
当且仅当 3x＝12
x
，即 x＝2 时，矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24.
故 DN 的长为 2 米时，矩形 AMPN 的面积最小，最小值为 24 平方米．
11．若一元二次不等式 2kx2＋kx－3
8<0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( )
A．－30，b>0 且 a2＋b2
2
＝1，则 a 1＋b2的最大值为( )
A.3 2
2 B.3
2 C.3 2
4 D.3
4
答案 C
解析 ∵ 2a2· 1＋b2≤ 2a22＋ 1＋b22
2
＝2a2＋1＋b2
2
＝2＋1
2
＝3
2
，当且仅当 2a2＝ 1＋b2时
等号成立，∴a 1＋b2≤3 2
4
，故 a 1＋b2的最大值为3 2
4 .
13．当 x＝a 时，x－4＋ 9
x＋1
(x>－1)取得最小值 b，则 a＋b 等于( )
A．－3 B．2 C．3 D．8
答案 C
解析 因为 x>－1，所以 x＋1>0，
所以 x－4＋ 9
x＋1
＝(x＋1)＋ 9
x＋1
－5
≥2 x＋1· 9
x＋1
－5＝2×3－5＝1，
当且仅当 x＋1＝ 9
x＋1
，即 x＝2 时，等号成立，
此时 a＝2，b＝1，所以 a＋b＝3.
14．若不等式 x2－4x＋m<0 的解集为空集，则不等式 x2－(m＋3)x＋3m≥0 的解集为________．
答案 {x|x≥m 或 x≤3}
解析 由题意知 16－4m≤0，∴m≥4，
∴x2－(m＋3)x＋3m＝(x－3)(x－m)≥0，
∴x≥m 或 x≤3.
15．若关于 x 的不等式(1＋k2)x≤k4＋4 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( )
A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M
C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M
答案 A
解析 由题可知 M＝ x|x≤k4＋4
k2＋1 ，
当 k∈R 时，k4＋4
k2＋1
＝k2＋12－2k2＋3
k2＋1
＝k2＋12－2k2＋1＋5
k2＋1
＝(k2＋1)＋ 5
k2＋1
－2
≥2 k2＋1· 5
k2＋1
－2＝2 5－2>2(当且仅当 k2＝ 5－1 时，取等号)．∴2∈M,0∈M.
16．第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决
定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为 500 万元，每生产 x(x>0)台，
需另投入成本 y1 万元．若年产量不足 80 台，则 y1＝1
2x2＋40x；若年产量不小于 80 台，则 y1
＝101x＋8 100
x
－2 180.每台设备售价为 100 万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全
部售完．
(1)写出年利润 y(万元)关于年产量 x(台)的关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
解 (1)当 0
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