高中数学人教a必修5学业分层测评11等差数列前n项和的综合应用word版含解析

高中数学人教a必修5学业分层测评11等差数列前n项和的综合应用word版含解析

学业分层测评(十一) (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．等差数列前 n 项和为 Sn，若 a3＝4，S3＝9，则 S5－a5＝( ) A．14 B．19 C．28 D．60 【解析】 在等差数列{an}中，a3＝4，S3＝3a2＝9，∴a2＝3，S5－a5＝a1＋ a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝2×7＝14. 【答案】 A 2．等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，若 a2＋a4＋a15 的值为确定的常数，则 下列各数中也是常数的是( ) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 【解析】 a2 ＋a4 ＋a15＝a1 ＋d＋a1 ＋3d＋a1 ＋14d＝3(a1 ＋6d)＝3a7 ＝ 3×a1＋a13 2 ＝ 3 13 ×13a1＋a13 2 ＝ 3 13S13. 于是可知 S13 是常数． 【答案】 C 3．已知等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最 小的项为( ) A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项 【解析】 由 S12＝12a1＋66d>0， S13＝13a1＋78d<0， 得 a1＋11 2 d>0， a1＋6d<0， 所以 a7<0， a6>－d 2 ， 故|a6|>|a7|. 【答案】 C 4．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9 等于 ( ) A．63 B．45 C．36 D．27 【解析】 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3， S9－S6 构成等差数列，所以 S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即 S9－S6＝2S6－3S3＝2×36 －3×9＝45. 【答案】 B 5．含 2n＋1 项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n＋1 n B.n＋1 n C.n－1 n D．n＋1 2n 【解析】 ∵S 奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝n＋1a1＋a2n＋1 2 ，S 偶＝a2＋a4＋…＋ a2n＝na2＋a2n 2 .又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴S 奇 S 偶 ＝n＋1 n .故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6．已知等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，已知 S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则 S9－S6＝ . 【解析】 ∵S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列，而 S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋ a6＝7，∴S9－S6＝5. 【答案】 5 7．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－9n，第 k 项满足 50， ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0. 故当 n＝5 或 6 时，Sn 最大． 【答案】 5 或 6 三、解答题 9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和取得最大值？ 【解】 (1)由 a1＝9，a4＋a7＝0， 得 a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得 d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)法一 a1＝9，d＝－2， Sn＝9n＋nn－1 2 ·(－2)＝－n2＋10n ＝－(n－5)2＋25， ∴当 n＝5 时，Sn 取得最大值． 法二 由(1)知 a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列． 令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤11 2 . ∵n∈N*，∴n≤5 时，an>0，n≥6 时，an<0. ∴当 n＝5 时，Sn 取得最大值． 10．若等差数列{an}的首项 a1＝13，d＝－4，记 Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求 Tn. 【解】 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当 n≤4 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋nn－1 2 d＝13n＋nn－1 2 ×(－4) ＝15n－2n2； 当 n≥5 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn ＝2×13＋1×4 2 －(15n－2n2) ＝2n2－15n＋56. ∴Tn＝ 15n－2n2，n≤4， 2n2－15n＋56，n≥5. [能力提升] 1．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则 n ＝( ) A．12 B．14 C．16 D．18 【解析】 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40， 所以 4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30， 由 Sn＝na1＋an 2 ＝210，得 n＝14. 【答案】 B 2．(2015·海淀高二检测)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则 数列{an}的前 n 项和数值最大时，n 的值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 因为 an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以 19 为首项，－3 为公差 的等差数列，所以 an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前 k 项和最大，则有 ak≥0， ak＋1≤0， 所以 22－3k≥0， 22－3k＋1≤0， 所以19 3 ≤k≤22 3 . 因为 k∈N*，所以 k＝7. 故满足条件的 n 的值为 7. 【答案】 B 3．(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数 项之和为 33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ． 【解析】 设等差数列{an}的项数为 2n＋1， S 奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝n＋1a1＋a2n＋1 2 ＝(n＋1)an＋1， S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝na2＋a2n 2 ＝nan＋1， 所以S 奇 S 偶 ＝n＋1 n ＝44 33 ，解得 n＝3，所以项数 2n＋1＝7， S 奇－S 偶＝an＋1，即 a4＝44－33＝11 为所求中间项． 【答案】 11 7 4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.【导 学号：05920069】 (1)求 Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象； (2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的 n 的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小) 的项； (3){Sn}有多少项大于零？ 【解】 (1)Sn＝na1＋nn－1 2 d＝12n＋nn－1 2 ×(－2)＝－n2＋13n.图象如图． (2)Sn＝－n2＋13n＝－ n－13 2 2＋169 4 ，n∈N*， ∴当 n＝6 或 7 时，Sn 最大；当 1≤n≤6 时，{Sn}单调递增；当 n≥7 时，{Sn} 单调递减． {Sn}有最大值，最大项是 S6，S7，S6＝S7＝42. (3)由图象得{Sn}中有 12 项大于零．