高中数学人教a必修5学业分层测评11等差数列前n项和的综合应用word版含解析

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高中数学人教a必修5学业分层测评11等差数列前n项和的综合应用word版含解析

学业分层测评(十一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.等差数列前 n 项和为 Sn,若 a3=4,S3=9,则 S5-a5=( ) A.14 B.19 C.28 D.60 【解析】 在等差数列{an}中,a3=4,S3=3a2=9,∴a2=3,S5-a5=a1+ a2+a3+a4=2(a2+a3)=2×7=14. 【答案】 A 2.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值为确定的常数,则 下列各数中也是常数的是( ) A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 【解析】 a2 +a4 +a15=a1 +d+a1 +3d+a1 +14d=3(a1 +6d)=3a7 = 3×a1+a13 2 = 3 13 ×13a1+a13 2 = 3 13S13. 于是可知 S13 是常数. 【答案】 C 3.已知等差数列的前 n 项和为 Sn,若 S13<0,S12>0,则此数列中绝对值最 小的项为( ) A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.第 8 项 【解析】 由 S12=12a1+66d>0, S13=13a1+78d<0, 得 a1+11 2 d>0, a1+6d<0, 所以 a7<0, a6>-d 2 , 故|a6|>|a7|. 【答案】 C 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于 ( ) A.63 B.45 C.36 D.27 【解析】 ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3, S9-S6 构成等差数列,所以 S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即 S9-S6=2S6-3S3=2×36 -3×9=45. 【答案】 B 5.含 2n+1 项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n+1 n B.n+1 n C.n-1 n D.n+1 2n 【解析】 ∵S 奇=a1+a3+…+a2n+1=n+1a1+a2n+1 2 ,S 偶=a2+a4+…+ a2n=na2+a2n 2 .又∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴S 奇 S 偶 =n+1 n .故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6.已知等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 S3=9,a4+a5+a6=7,则 S9-S6= . 【解析】 ∵S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列,而 S3=9,S6-S3=a4+a5+ a6=7,∴S9-S6=5. 【答案】 5 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 50, ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0. 故当 n=5 或 6 时,Sn 最大. 【答案】 5 或 6 三、解答题 9.已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,数列{an}的前 n 项和取得最大值? 【解】 (1)由 a1=9,a4+a7=0, 得 a1+3d+a1+6d=0,解得 d=-2, ∴an=a1+(n-1)·d=11-2n. (2)法一 a1=9,d=-2, Sn=9n+nn-1 2 ·(-2)=-n2+10n =-(n-5)2+25, ∴当 n=5 时,Sn 取得最大值. 法二 由(1)知 a1=9,d=-2<0,∴{an}是递减数列. 令 an≥0,则 11-2n≥0,解得 n≤11 2 . ∵n∈N*,∴n≤5 时,an>0,n≥6 时,an<0. ∴当 n=5 时,Sn 取得最大值. 10.若等差数列{an}的首项 a1=13,d=-4,记 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Tn. 【解】 ∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n. 当 n≤4 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an =na1+nn-1 2 d=13n+nn-1 2 ×(-4) =15n-2n2; 当 n≥5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an) =S4-(Sn-S4)=2S4-Sn =2×13+1×4 2 -(15n-2n2) =2n2-15n+56. ∴Tn= 15n-2n2,n≤4, 2n2-15n+56,n≥5. [能力提升] 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则 n =( ) A.12 B.14 C.16 D.18 【解析】 Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80, S4=a1+a2+a3+a4=40, 所以 4(a1+an)=120,a1+an=30, 由 Sn=na1+an 2 =210,得 n=14. 【答案】 B 2.(2015·海淀高二检测)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则 数列{an}的前 n 项和数值最大时,n 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 因为 an+1-an=-3,所以数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差 的等差数列,所以 an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前 k 项和最大,则有 ak≥0, ak+1≤0, 所以 22-3k≥0, 22-3k+1≤0, 所以19 3 ≤k≤22 3 . 因为 k∈N*,所以 k=7. 故满足条件的 n 的值为 7. 【答案】 B 3.(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 44,偶数 项之和为 33,则这个数列的中间项是 ,项数是 . 【解析】 设等差数列{an}的项数为 2n+1, S 奇=a1+a3+…+a2n+1 =n+1a1+a2n+1 2 =(n+1)an+1, S 偶=a2+a4+a6+…+a2n=na2+a2n 2 =nan+1, 所以S 奇 S 偶 =n+1 n =44 33 ,解得 n=3,所以项数 2n+1=7, S 奇-S 偶=an+1,即 a4=44-33=11 为所求中间项. 【答案】 11 7 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2.【导 学号:05920069】 (1)求 Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象; (2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的 n 的取值范围,并求{Sn}的最大(或最小) 的项; (3){Sn}有多少项大于零? 【解】 (1)Sn=na1+nn-1 2 d=12n+nn-1 2 ×(-2)=-n2+13n.图象如图. (2)Sn=-n2+13n=- n-13 2 2+169 4 ,n∈N*, ∴当 n=6 或 7 时,Sn 最大;当 1≤n≤6 时,{Sn}单调递增;当 n≥7 时,{Sn} 单调递减. {Sn}有最大值,最大项是 S6,S7,S6=S7=42. (3)由图象得{Sn}中有 12 项大于零.
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