高中数学第三章 2_1 实际问题中导数的意义 课件

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第三章 导数应用 2.1 实际问题中导数的意义 导数来源于生活，服务于生活。实际生活中，有许多词语与导数有关。如物理上的功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降水强度、边际成本等。这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的含义。 一．复习引入： 例 1 、如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功 W （单位： J ）是时间 t （单位： s ）的函数，设这个函数可以表示为 W=W(t)= (1)   求 t 从 1s 变到 3s 时，功 W 关于时间 t 的平均变化率，并解释它的实际意义 (2)   求 W’(1),W’(2), 并解释它们的实际意义 二．新课探析 1 、功与功率 分析： 求功 W 关于时间 t 的 平均变化率 = 所以需要找出自变量 t 的变化量（从 1s 变到 3s ），函数值 W 的变化量（ W(1) 到 W(3) ），导数 W’(t) 表示在 t 时刻的瞬时变化率 解：（ 1 ）当 t 从 1s 变到 3s 时，功 W 从 W(1)=11j 变到 W(3)=21j 此时功 W 关于时间 t 的平均变化率为 它表示 t 从 1s 变到 3s 这段时间，这个人平均每秒做功 5j 。 (2) W’(t)= W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2) 分别表示 t=1s 和 t=2s 时，这个人每秒做的功为 7j 和 4j 在物理学中，通常称 力在单位时间内做的功叫做功率 ，它的单位是 瓦特 。 在气象部门发布的天气预报中，我们经常听到小雨、中雨、暴雨等专业术语，如何反映和区别它呢？ 在气象学中，通常把 单位时间内的降水量称为降水强度 。常用的单位是 毫米／天、毫米／小时 。 2 、降雨强度： 小雨 是指 24 小时内降水量不超过 10 毫米的雨； 小到中雨 是指 24 小时内降水量为 5 毫米～ 18 毫米； 中雨 是指 24 小时内降水量为 10 毫米～ 25 毫米； 中到大雨 是指 24 小时内降水量为 18 毫米～ 38 毫米 大雨 是指 24 小时内降水量为 25 毫米～ 50 毫米； 大到暴雨 是指 24 小时内降水量为 38 毫米～ 75 毫米 暴雨 是指 24 小时内降水量超过 50 毫米； 大暴雨 是指 24 小时内降水量超过 100 毫米； 特大暴雨 是指 24 小时内降雨量超过 200 毫米； 例 2 、 （降雨强度） 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据： 时间 t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量 y/mm 0 10 14 17 20 22 24 显然，降雨量 y 是时间 t 的函数，用 y=f(t) 表示。 (1) 分别计算当 t 从 0 变到 10 ，从 50 变到 60 时，降雨量 y 关于时间 t 的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； (2) 假设得到降雨量 y 关于时间 t 的函数的近似表达式为 f(t)= ，求 并解释它的实际意义。 解 （ 1 ）当 t 从 0 变到 10 时，降雨量 y 从 0 变到 10 ，此时， 降雨量 y 关于时间 t 的平均变化率为 它表示从 0 min 到 10 min 这段时间内，平均每分降雨量为 1 mm. 当 t 从 50 变到 60 时，降雨量 y 从 22 变到 24 ，此时，降雨量 y 关于时间 t 的平均变化率为 它表示从 50 min 到 60 min 这段时间内，平均每分降雨 量为 0.2 mm. 1 ＞ 0.2 ，说明这次降雨过程中，刚开始的 10 min 比以后 10 min 的雨下的大 . 在气象学中，通常把在单位时间（如 1 时、 1 天等） 内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的 一个重要指标 . 因此用气象学的知识解释， 0 ～ 10 min 这段时间的平均降雨强度是 1 mm/min ，而 50 ～ 60 min 这段时间的平均降雨强度为 0.2 mm/min. （ 2 ）首先求导函数，根据导数公式可得 将 t=40 代入可得 它表示的是 t=40 min 时降雨量 y 关于时间 t 的瞬时 变化率，即降雨强度 . 实际意义就是说 t=40 min 这个时刻的降雨强度 为 0.25 mm/min. 3. 边际 例 3 、 （边际成本） 建造一幢面积为 xm 2 的房屋需要成本 y 万元， y 是 x 的函数： （ 1 ）当 x 从 100 变到 120 时，建筑成本 y 关于建筑面积 x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ （ 2 ）求 并解释它的实际意义。 具体详解请同学们自学教材 5 分钟，之后我们来看几 个练习题 . 实际问题中导数的意义： （ 1 ）明确实际问题中的函数 , 自变量以及变化率； （ 2 ）建立导数数学模型。 （ 3 ）结合实际，明确在实际问题中导数的含义 以及需要用导数概念来理解的量。 请同学们仔细思考，结合实际问题讨论 交流导数的实际含义。 思考总结：