高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.7.2 定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
明目标、知重点
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．
2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．
变速直
线运动
做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝
v(t)(v(t)≥0)在时间区间 a，b]上的定积分，即ʃb
av(t)dt.
变力
做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x)相同的
方向从 x＝a 移动到 x＝b(a
0，
得 t∈(0,1)∪(3,4)．
这说明 t∈(1,3)时质点运动方向与 t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．
故 s＝ʃ4
0|t2－4t＋3|dt
＝ʃ1
0(t2－4t＋3)dt＋ʃ3
1(4t－t2－3)dt＋ʃ4
3(t2－4t＋3)dt＝4.
即在时刻 t＝4 时，该质点运动的路程为 4 m.
探究点二 变力做功问题
思考 恒力 F 沿与 F 相同的方向移动了 s，力 F 做的功为 W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决
呢？
答 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力 F(x)作用下运动，沿与 F 相同的方向从 x＝a 到 x
＝b(a2
(单位：N)的作用下沿与 F(x)相同的方向，从 x
＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为( )
A．44 J B．46 J
C．48 J D．50 J
答案 B
解析 W＝ʃ4
0F(x)dx＝ʃ2
010dx＋ʃ4
2(3x＋4)dx
＝10x|2
0＋(3
2
x2＋4x)|4
2＝46(J)．
6．做直线运动的质点在任意位置 x 处，所受的力 F(x)＝1＋ex，则质点沿着与 F(x)相同的方
向，从点 x1＝0 处运动到点 x2＝1 处，力 F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C.1
e
D．e－1
答案 B
解析 W＝ʃ1
0F(x)dx＝ʃ1
0(1＋ex)dx＝(x＋ex)|1
0
＝(1＋e)－1＝e.
二、能力提升
7．若 1 N 的力能使弹簧伸长 2 cm，则使弹簧伸长 12 cm 时克服弹力所做的功为________．
答案 0.36 J
解析 弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设 F＝kx，求得 k＝50，∴F(x)＝50x.
∴W＝ʃ0.12
0 50xdx＝25x2|0.12
0 ＝0.36 (J)．
8．汽车以每小时 32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度 a＝－1.8 m/s2
刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位)
答案 21.95 m
解析 t＝0 时，v0＝32 km/h＝32×1 000
3 600
m/s＝80
9
m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝80
9
－
1.8 t．停止时，v(t)＝0，则80
9
－1.8 t＝0，得 t＝400
81
s，
所以汽车所走的路程
s＝
400
8
0 v(t)dt＝
80
9
t－1
2
t2×1.8
|
400
8
0 ≈21.95(m)．
9．把一个带＋q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距
离坐标原点为 r 处的单位电荷受到的电场力由公式 F＝kq
r2(其中 k 为常数)确定．在该电场中，
一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着 r 轴的方向从 r＝a 处移动到 r＝b(a0)．当 x＝0 时，t＝0；
当 x＝a 时，t＝(a
b
)1
3
.
所以阻力所做的功为
W 阻＝ʃa
0F 阻 dx＝
1
3( )
0
a
b kv2·vdt
＝
1
3( )
0
a
b 9kb2t4·3bt2dt＝
1
3( )
0
a
b 27kb3t6dt
＝27
7
kb3t7|
1
3( )
0
a
b ＝27
7
k
2
3b ·
7
3a .
故物体由 x＝0 运动到 x＝a 时，
阻力所做的功为 27
7
k
2
3b ·
7
3a .
12．物体 A 以速度 vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体 B 也以速度 vB＝10t(米/秒)
在同一直线上与物体 A 同方向运动，问多长时间物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运
动的距离各是多少？
解 依题意知物体 A，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．
设 a 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，则
A 从开始到 a 秒末所走的路程为
sA＝ʃa
0vAdt＝ʃa
0(3t2＋1)dt＝a3＋a；
B 从开始到 a 秒末所走的路程为
sB＝ʃa
0vBdt＝ʃa
010tdt＝5a2.
由题意得 sA＝sB＋5，即 a3＋a＝5a2＋5，得 a＝5.
此时 sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．
故 5 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运动的距离分别是 130 米和 125 米．
三、探究与拓展
13．有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与 x 轴正方
向一致)．求
(1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移；
(2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
解 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝ʃ4
0(8t－2t2)dt－ʃ6
4(8t－2t2)dt
＝(4t2－2
3
t3)|4
0－(4t2－2
3
t3)|6
4＝128
3
.
当 t＝6 时，点 P 的位移为ʃ6
0(8t－2t2)dt
＝(4t2－2
3
t3)|6
0＝0.
(2)依题意知ʃt
0(8t－2t2)dt＝0，
即 4t2－2
3
t3＝0，
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，t＝6 是所求的值．
所以，t＝6.
