高中数学好题速递400题（301—350）

高中数学好题速递400题（301—350）

好题速递301‎ 已知正数满足，则的最大值为 ．‎ 解：‎ 解法一：令，得 则 当且仅当，即时取得等号。‎ 解法二：‎ 令，则 令，则 原式 当且仅当，即时取得等号 好题速递302‎ x O y ‎1‎ ‎1f1(x)‎ f1(x)‎ 图1：n=1时 设函数，则方程有 个实数根．‎ 解：令，问题化为观察与图像的交点有几个．由于是偶函数，故是偶函数，只要考虑 时的交点个数．‎ n=1时，的图像是把的图像下移，‎ x O y ‎1‎ ‎1f1(x)‎ f2(x)‎ 图2：n=2时 再把x轴下的图像往上翻而得，，有1个零点，‎ 以零点为界，呈“减增”状态，最后趋于，‎ 如图1，有2个交点；‎ n=2时，的图像是把的图像下移，‎ 再把x轴下的图像往上翻而得，，有2个零点，‎ 以2个零点为界，呈“减增减增”状态，最后趋于，‎ 如图2，有个交点；……‎ n= n≥2时，，且有个零点 以个零点为界，呈“减增减增…减增”状态，最后趋于，故的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，∴有个交点，再由对称性知x<0时，也有个交点，故共有个交点，从而原方程有个实根 好题速递303‎ 已知数列满足．设为均不等于2的且互不相等的常数，若数列为等比数列，则的值为 ．‎ 解：‎ 因为数列为等比数列，所以，，且公比为，‎ 故为方程的两不等实根，从而．‎ 好题速递304‎ 已知若关于的方程在上有两个实数解，则的取值范围是 .‎ 解：可以转化为，记，则在上有两个实数解，可以转化为函数与的图象，结合图像和特殊点可知 好题速递305‎ 已知向量，，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为 ．‎ 解：易得 评注：这个题要注意向量的夹角是共起点的，所以要特别留意取本身还是补角。‎ 好题速递30O A B C M N P D E 6 ‎ 如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为 ．‎ 解：如图，连BP，则BP=1，设∠CBP=a，，‎ O A B C M N P a D E ‎，‎ ‎∴，‎ 四边形OMPN的周长 当时，‎ 好题速递307‎ 设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点、的直线与圆的位置关系是（ ）‎ ‎(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随m的变化而变化 解：，∴直线AB：，即 ‎ ，即，‎ 圆心到AB的距离，由韦达定理，,，∴‎ ‎ 取m=0，则d=0Þ相交；取m=2，则Þ相离，故选D 好题速递308‎ 已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称，则的取值集合是 ．‎ x ‎1‎ a ‎-1‎ 解：若，则，其图像呈“剑”形，如图，‎ 对称轴为x=a，则 同理，若时，对称轴是，∴‎ 若时，对称轴是，∴‎ 好题速递309‎ 在中，若，则面积的最大值为 ．‎ 解：在中延长到，使，所以，则已知变为。‎ 解法一：由极化恒等式知，‎ 故，所以，当且仅当时取得最大值。‎ 解法二：以边所在直线为轴，边的中点为坐标原点建立坐标系，由，则，所以，设。由，所以，则，所以，所以。‎ 解法三：， ‎ 因为，故 所以 好题速递310‎ 定义：{x，y}为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 ．‎ 解：因为a，b 均为正实数，‎ 当，即时，，即 所以 当时，‎ 综上，h的最大值是 好题速递311‎ 已知共有项的数列，，定义向量、，若，则满足条件的数列的个数有（ ）个 ‎ A. 2 B. C. D. ‎ 解： ÞÞ，∵,‎ ‎∴Þ为等比数列，‎ ‎∴Þ ‎∵时，，∴，故当时，，即始终有两种选择，∴有个 好题速递312‎ 若方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆，则的最小值为 ．‎ 解：方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，‎ 有 ，即，化简得，‎ 又，，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令，平移直线，当过时，‎ 好题速递313‎ 已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列， 则正数q的取值集合是 ．‎ 解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设的公差为d，则 ‎① 若删去a2，则由‎2a3＝a1＋a4得‎2a1q＝a1＋a1q，即，‎ 整理得q(q－1)＝(q－1)(q＋1)．‎ 又q≠1，则可得，又q＞0解得；‎ ‎② 若删去a3，则由‎2a2＝a1＋a4得‎2a1q＝a1＋a1q，即2q＝1＋q，‎ 整理得q(q－1)(q＋1)＝q－1．‎ 又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 ．‎ 综上所述，．‎ 好题速递314‎ D A B C 如图，梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若，则　　 　　．‎ 解：转基底，以为基底，则，‎ 则 所以，则∠BAD＝60o，‎ 则 点评：本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．‎ 好题速递315‎ 数列是等差数列，数列满足，设为的前n项和．若，则当取得最大值时n的值等于___________．‎ 解：设的公差为d，由得 ，所以，‎ 从而可知1≤n≤16时，， n≥17时，．‎ 从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b 15＝a‎15a16a17＜0，b16＝a‎16a17a18＞0，‎ 故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．‎ 因为，，所以，‎ 所以b15＋b16＝a‎16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故Sn中S16最大．‎ 点评：利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．‎ 好题速递316‎ 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线条数为________条．‎ 解：在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与直线A1D1，EF，CD均相交，故满足题意的直线有无数条．‎ 好题速递317‎ 已知，，成等差数列，则①；②；③中，正确的是 ．（填入序号）‎ 解：2(ac)2=(bc)2+(ab)2=|bc|2+|ab|2≥2|bc|×|ab|=2|ac|b2Þ|ac|≥b2，‎ ‎∴①、②错，‎ 而，③对 好题速递318‎ 已知函数在定义域上是单调函数,若对任意，都有,则不等式的解集为 . ‎ 解：因函数在定义域上是单调函数，故，即，‎ 从而有，又，所以从而，‎ 由 ‎ ‎.‎ 好题速递319‎ 已知的内角的对边成等比数列，则的取值范围为 。‎ 解：由且，得，得，得 又，即，得，又 ‎， 即。‎ 点评：本题是三角形里隐含的三边关系的应用，有时会成为高考大题第2小问中隐含的定义域要求，这个是值得注意的点。‎ 好题速递320‎ 已知函数，则 ． ‎ 解：由对称性可知 同理 故 点评：本题显然是倒序求和、首位求和的变式题，不过在处理过程中的拆角技巧还是比较难的。各省份的高考题中常有这类求具体角的三角函数值的问题，这类问题要多观察所给角与要求角之间的关系，特别关注这些特殊角。‎ 好题速递321‎ 各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 . ‎ 解：设，，，，其中，均为正偶数，‎ 则，‎ 整理得，(注意体会这里用“”而不用“”的好处)‎ 所以，即，‎ 所以的所有可能值为24，26，28，‎ 当时，，；‎ 当时，（舍去）；‎ 当时，，，‎ 所以q的所有可能值构成的集合为.‎ 好题速递322‎ 曲线C：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则“望圆”面积的最小值为 ．‎ 解：，令，得，所以望点为，‎ 设望圆的方程为，‎ 由得 当，即时，，所以圆的面积为．‎ 好题速递323‎ 已知数列满足，且，它的前项和为．则 ．‎ 解：，解得 两式相减得 ‎，故，故数列为周期为3的数列 好题速递324‎ 定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数在区间上的最小值是（ ）‎ ‎ ‎ 解：ÞÞ，‎ Þ，，‎ 当时有最小值为 好题速递325‎ 已知，向量满足，，，则的最大值为 。‎ 解法一：设，则由已知条件易知和共以为直径的外接圆。‎ 由是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显然用极化恒等式是一个不错的选择。‎ 故 问题转化为求的最大值，如图 所以 解法二：如解法一画图，设，则 在中由余弦定理得 所以，所以 解法三：如图建系，，，‎ 则，，‎ 得 则 而横坐标，所以 好题速递326‎ 在△ABC中，已知BC = 4，AC = 3，(A - B) = ，则△ABC的面积为 ． ‎ 解：在角A中作出A - B，即在BC上取一点D，‎ 使DB = DA，设DB = x，则DC = 4 - x．‎ 在△ACD中，ÐCAD = (A - B) = ，‎ ‎∴，得x = 2．则DA = DC = DB，ÐBAC = 90°，．‎ ‎△ABC的面积为．‎ 好题速递327‎ 若的外接圆是半径为1的圆，且，则的取值范围是 。‎ 解法一：‎ 是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显然用极化恒等式是一个不错的选择。‎ ‎（其中为中点）‎ 点在圆上运动，故，即 故 又不与重合，所以，所以 解法二：如图建系设点。，，‎ 因为，所以 解法三：基底角度，一问三不知转基底 由于不与重合，所以 好题速递328‎ 如图，点是以为圆心，1为半径的圆上任意三点，则的最小值是 。‎ 解法一：固定点，极化角度 设，则 解法二：固定点，投影角度 设，则 所以 故 好题速递329‎ 已知函数，若，，则的取值范围是 。‎ 解：关于对称，由得，即 因为，所以，解得（这里是求定义域，函数没有定义域就没有意义，千万记得定义域优先）‎ 好题速递330‎ 已知，若且，则的取值范围是_______。‎ 解：，即 解法一：不等式角度解题 由基本不等式得，解得 这个解法对不对呢？看似正确，其实这里的最大值6取不到，因为解法中并没有用到的限制条件 这里介绍一种方法，可以来处理有限制条件的问题（类似于极化恒等式的变形）‎ 因为 即，得 因为，故，故 即 解得 ‎【点评】这里要注意以前我们所学的“两个字母一个方程”的问题或者“基本不等式”的问题，在没有其余限制条件时不等式和法都适用，但多了限制条件就不确定是在区域边界还是内部取得最值，故需要验证或者另寻他法了。‎ 解法二：规划角度解题 ‎，即表示圆 所以点所满足的条件为 画出可行域即个圆弧，目标函数为 故当时，；当时，‎ 但最大最小值都无限接近，取不到，所以 解法三：图像角度解题 很多同学是画出图像，‎ 观察发现因为部分的图像比部分的图像变化快，故当的直线向上平移时，虽然向左变小，向右变大，但显然变得多，故变大，即的中点向右上方运动 因此当，即时，‎ 当，即时，‎ 但最大最小值都无限接近，取不到，所以 好题速递331‎ 设，是夹角为的两个单位向量，若，是以为直角顶点的直角三角形，则 。‎ 解法一：，，‎ 因为，‎ 即 O M N P Q 解法二：反向延长到，使 因为，故由中线等于斜边的一半可得是直角三角形，‎ 即，因为，所以三点共线，故 好题速递332‎ 已知，则的最大值是_______。‎ 解法一：令，，则，目标函数为 画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，‎ 如图，目标函数与相切时 当且仅当，即时取得 解法二：令，，则，‎ 所以 解法三：三角换元，，则，‎ 令，‎ 故 解法四：令， ，则 则，‎ 点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即，这在12月18日每日一题的第一种解法中也有体现。‎ 好题速递333‎ 已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x＞0，都有，则= ．‎ 解：必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾．所以可设．则．‎ 将c代入，得，即．‎ ‎∵是单调增函数，当时，成立，‎ ‎∴．则．‎ 好题速递334‎ 设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是 ．‎ 解：设是以为直角顶点的直角三角形，则 所以 所以 ‎（这里可以理解为三角形两边之和大于第三边，也可以理解为圆外一点（）到圆上一点距离，同时连最小值也可以求出）‎ 当且仅当三点共线且点在第三象限时，‎ 好题速递335‎ ‎★函数，，当时，，且的最大值为2，则 ．‎ 解：因为的最大值为2，所以 由 由 所以 故题目变为对恒成立。‎ 此时注意到，是一个零点 由于对，，故是个偶重零点，故也是的根，‎ 所以，‎ 点评：这又是一个二次函数的好题，解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。‎ ‎“零点是个守门员，负责正负分界线，奇次零点穿过去，偶次零点弹回来”‎ 好题速递336‎ 已知对任意恒成立，则 ．‎ 解：用两边夹逼的方法，令，解得 故，即 所以对任意恒成立，所以 故 点评：这又是夹逼形式的好题，解法中让不等号两边同时取到，求出临界点的方法要注意。‎ 好题速递337‎ 已知非零向量与向量 的夹角为钝角，，当时，取最小值，则 ．‎ O a ‎-2a b b-2a 解法一：由当时，取最小值，可知本题是“神图”的应用，如图所示，设，则 即 故 解法二：‎ 当且仅当时，‎ 所以且，得 故 好题速递338‎ 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 解：‎ 故 好题速递339‎ 已知函数，，若存在实数使得，且，则实数的取值范围是 ．‎ 解：因为是增函数，且，故，所以原条件等价于 在区间上有解，即在上有解 因为的值域为，所以实数的取值范围是 好题速递340‎ 在中，，，若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ．‎ 解：如图，作于，则，‎ 设，则，‎ 所以，所以 设椭圆的方程为，将与代入可得，‎ 故 好题速递341‎ 实数满足，则的最大值为 ．‎ 解：因为，‎ 所以相加得 即 当且仅当同时满足，即或时上式取等号。‎ 点评：本题是三元均值不等式的问题，难点在于每个均值不等式的系数配凑。这里其实是用待定系数法来确定系数。‎ ‎，故 因此，解得 好题速递342‎ 已知数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是 ．‎ 解：，‎ 因为，‎ 故，（即奇数项为负，偶数项为正）‎ 又因为，‎ 所以这个数列是震荡数列，奇数项恒负且递增，偶数项恒正且递减 所以条件转化为存在正整数，使得 只要，即 好题速递343‎ 已知为实数，且，则的最小值为 ． ‎ 解法一：令，则，且 所以 解法二：齐次化转函数求值域 令，‎ 好题速递344题 已知是单位圆的内接三角形，是圆的直径，若满足，则 ．‎ 解：如图，因为是圆的直径，所以 同理（其实就是投影，点积转投影记得吗？）‎ 所以 所以，则是直径，所以 好题速递345题 已知正四面体的棱长为，是棱上任意一点（不与重合），且点到面和面的距离分别为，则的最小值为 ．‎ 解：棱长为的正四面体，体高 所以如图作面，则在中，‎ 得 同理 所以 所以 所以 好题速递346题 设非零向量满足且，则的取值范围是 ． ‎ 解：由得，且 又，即的终点在以的终点为圆心，1为半径的圆上 就是在上的投影，显然 好题速递347题 已知，若，则的取值范围是 ．‎ 解：‎ 的取值范围问题等价于曲线上的点与点连线的斜率的范围问题．‎ 此时点在上，由图可知：‎ 好题速递348题 若点为的重心，且，则的最大值为 ． ‎ 解：如图，点在以为直径的圆上运动，且由于点为的重心，所以 故点在以为圆心，以长为半径的圆上运动，‎ 问题转化为圆上一点与线段形成的张角问题。‎ 如图，画一个最小圆，即时，其余的都在圆外，根据圆外角小于圆上角，可知当时，最大，即最大 此时由得 或二倍角公式 好题速递349题 在中，过中线中点作一直线分别交边，于两点，设，，则的最小值为 ． ‎ 解：因为是中点，所以 又因为为中点，‎ 所以 因为三点共线，所以 所以 当且仅当时等号成立。‎ 好题速递350题 定义函数图象上的点到坐标原点距离的最小值叫作函数的“中心距离”，给出以下四个命题：‎ ‎① 函数的“中心距离”等于；‎ ‎②函数的“中心距离”等于1；‎ ‎③ 若函数与的“中心距离相等”，则函数至少有一个零点；‎ ‎④是其定义域上的奇函数，是它的“中心距离”为0的充分不必要条件。‎ 以上命题是真命题的是 ． ‎ 解：对①，，①正确 对②，，即以为圆心，3为半径的上半圆，中心距离为1，②正确 对③，有反例如，故③错；‎ 对④，有反例，奇函数的定义域可能不包含，如，故④错。‎ 设函数，若在区间 内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，求实数的取值范围。‎ 解：，‎ 若存在使得，则必有 由得 由得 由得，所以，得 综上可得