高二数学上学期期中试题文(3)

高二数学上学期期中试题文(3)

高级中学2018-2019（一）期中考试 高二年级 文科数学 ‎ ‎ 第I卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知命题，，则（　　）‎ Ａ．， Ｂ．，‎ Ｃ．， Ｄ．，‎ ‎2. 设四边形的两条对角线为,，则“”是“四边形为菱形”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3.双曲线的焦点坐标是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）‎ ‎ A．30° B．45° ‎ ‎ C．60° D． 90° ‎ ‎5.已知一个圆柱底面半径为2，体积为，则此圆柱的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知且与互相垂直，则的值是（ ）‎ A. .1 B. C. D. ‎ ‎7. 关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是（ ）‎ ‎ A．若，，则 B．若，，则 ‎ C．若，，则 D．若，，则 - 9 -‎ ‎8.已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（ ）‎ ‎ A. . B. . ‎ ‎ C. . D. .‎ ‎9.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎10．已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11椭圆＋=1上一点M到左焦点的距离为2，N是M的中点，则2 等于 （ ） ‎ ‎ A. 3 B. ‎4 C. 8 D.16‎ ‎12．已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分 ‎13.命题“”为假命题，则实数a的取值区间为 ‎ ‎14.已知点在双曲线：上，的焦距为6，则它的离心率为__________．‎ ‎15．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是______‎ - 9 -‎ ‎16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：‎ ‎①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．‎ 三、解答题：本大题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知命题关于的方程有实数根 命题方程表示双曲线 ‎（1）若是真命题，求的取值范围。‎ ‎（2）若命题是真命题，求的取值范围。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，短轴长为8。‎ ‎（1）求的方程 ‎ ‎（2）是椭圆上位于第一象限内的一点，且,求的面积。‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为，‎ 求证：(1) (2)‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知四棱锥的底面为菱形，且 为AB的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ - 9 -‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎ 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于两点．‎ （1） 写出的方程； ‎ （2） 若，求的值；‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 设，分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值．‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C B A C A D D A B C C A 二、填空题 ‎13 14. 3 15. 16. （1）（2）（4）‎ ‎17 18‎ ‎19证明：（1）由题意知，为的中点，‎ 又为的中点，因此．‎ 又因为平面，平面，‎ - 9 -‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为棱柱是直三棱柱，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为，平面，平面，，‎ 所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ 因为，所以矩形是正方形，因此．‎ 因为，平面，，所以平面．‎ ‎20． (Ⅰ)连接CO. ‎ ‎∵，∴△AEB为等腰直角三角形． ‎ ‎∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1. ‎ 又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，‎ ‎∴△ACB是等边三角形，‎ ‎∴CO＝. ‎ 又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO. ‎ 又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD. ‎ ‎(Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h.‎ ‎∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝. ‎ ‎∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC， ‎ ‎∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝， ‎ ‎∴点D到平面AEC的距离为. ‎ - 9 -‎ ‎21（1）（2）‎ 解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，‎ 其中，所以b2=a2﹣c2==1．‎ 故轨迹C的方程为：；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0‎ 由△=16k2+48＞0，可得：，‎ 再由，‎ 即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，‎ 所以，． ‎ 考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎22．（1）；（2）‎ ‎ (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.‎ ‎(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.‎ - 9 -‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C B A C A D D A B C C A 二、填空题 ‎13 14. 3 15. 16. （1）（2）（4）‎ ‎17 18‎ ‎19证明：（1）由题意知，为的中点，‎ 又为的中点，因此．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为棱柱是直三棱柱，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为，平面，平面，，‎ 所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ 因为，所以矩形是正方形，因此．‎ 因为，平面，，所以平面．‎ ‎20． (Ⅰ)连接CO. ‎ ‎∵，∴△AEB为等腰直角三角形． ‎ ‎∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1. ‎ - 9 -‎ 又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，‎ ‎∴△ACB是等边三角形，‎ ‎∴CO＝. ‎ 又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO. ‎ 又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD. ‎ ‎(Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h.‎ ‎∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝. ‎ ‎∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC， ‎ ‎∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝， ‎ ‎∴点D到平面AEC的距离为. ‎ ‎21（1）（2）‎ 解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，‎ 其中，所以b2=a2﹣c2==1．‎ 故轨迹C的方程为：；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0‎ 由△=16k2+48＞0，可得：，‎ 再由，‎ 即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，‎ - 9 -‎ 所以，． ‎ 考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎22．（1）；（2）‎ ‎ (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.‎ ‎(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.‎ - 9 -‎