2020年高中数学第二章对数函数及其性质的应用

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2020年高中数学第二章对数函数及其性质的应用

1 第 2 课时 对数函数及其性质的应用 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.设 a=log54,b=log53,c=log45,则(  ) A.alog44=1, ∴log530, ∴logax 是减函数,∴Error!得 1 20 且 a≠1)在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(2)的大小 关系为(  ) A.f(a+1)=f(2) B.f(a+1)>f(2) C.f(a+1)f(2). 2 答案:B 5.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,设 a=f(- 3),b=f(log3 1 2),c=f (4 3 ),则 a、b、c 的大小关系是(  ) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 解析:a=f(- 3)=f( 3),b=f(log3 1 2)=f(log32),c=f (4 3 ). ∵0<log32<1,1< 4 3< 3,∴ 3> 4 3>log32. ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴a>c>b. 答案:C 6.已知 log0.45(x+2)>log0.45(1-x),则实数 x 的取值范围是________. 解析:原不等式等价于Error!解得-2<x<- 1 2. 答案:(-2,- 1 2) 7.若实数 a 满足 loga2>1,则实数 a 的取值范围是________. 解析:当 a>1 时,loga2>1=logaa. ∴2>a.∴10,所以 x+1<2-2x<10x+10, 解得- 2 3ln e,∴x>1. ∵y=log52 1 4= 1 2,∴ 1 2b>1,0b>1,0bc,选项 A 不正确. ∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是减函数, ∴当 a>b>1,0bac,选项 B 不正确. ∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴alg a>blg b>0. 1 2 − 4 ∴ a lg b> b lg a.又∵0logbc,选项 D 不正确. 答案:C 3.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f (1 2 )=0,则不等式 f(log4x)<0 的解集是________. 解析:由题意可知,f(log4x)<0⇔- 1 2<log4x< 1 2⇔log44 <log4x<log44 ⇔ 1 2< x<2. 答案:{x| 1 2<x<2} 4.已知 f(x)=Error!是 R 上的增函数,求 a 的取值范围. 解析:f(x)是 R 上的增函数,则当 x≥1 时,y=logax 是增函数,∴a>1. 又当 x<1 时,函数 y=(6-a)x-4a 是增函数.∴6-a>0,∴a<6. 又(6-a)×1-4a≤loga1,得 a≥ 6 5. ∴ 6 5≤a<6. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≤0 时,f(x)=log (-x+1). (1)求 f(0),f(1); (2)求函数 f(x)的解析式; (3)若 f(a-1)<-1,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)因为当 x≤0 时,f(x)=log (-x+1),所以 f(0)=0. 又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 f(1)=f(-1)=log [-(-1)+1]=log 2=-1,即 f(1)=-1. (2)令 x>0,则-x<0, 从而 f(-x)=log (x+1)=f(x), ∴x>0 时,f(x)=log (x+1). ∴函数 f(x)的解析式为 1 2 − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 (3)设 x1,x2 是任意两个值,且 x1-x2≥0, ∴1-x1>1-x2>0. ∵f(x2)-f(x1)=log (-x2+1)-log (-x1+1)=log 1-x2 1-x1>log 1=0, ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)=log (-x+1)在(-∞,0]上为增函数. 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. ∵f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1,解得 a>2 或 a<0. 故实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 6.已知函数 f(x)=loga(1+x),其中 a>1. (1)比较 1 2[f(0)+f(1)]与 f( 1 2)的大小; (2)探索 1 2[f(x1-1)+f(x2-1)]≤f (x1+x2 2 -1)对任意 x1>0,x2>0 恒成立. 解析:(1)∵ 1 2[f(0)+f(1)]= 1 2(loga1+loga2)=loga 2, 又∵f (1 2 )=loga 3 2,且 3 2> 2,由 a>1 知函数 y=logax 为增函数,所以 loga 2<loga 3 2. 即 1 2[f(0)+f(1)]<f (1 2 ). (2)由(1)知,当 x1=1,x2=2 时,不等式成立. 接下来探索不等号左右两边的关系: 1 2[f (x1-1)+f(x2-1)]=loga x1x2, f(x1+x2 2 -1)=loga x1+x2 2 , 因为 x1>0,x2>0, 所以 x1+x2 2 - x1x2=  x1- x22 2 ≥0, 即 x1+x2 2 ≥ x1x2. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 又 a>1, 所以 loga x1+x2 2 ≥loga x1x2, 即 1 2[f(x1-1)+f(x2-1)]≤f (x1+x2 2 -1). 综上可知,不等式对任意 x1>0,x2>0 恒成立.
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