高中数学人教a版必修四课时训练 第三章 三角恒等变换 章末检测（b） word版含答案

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第三章 三角恒等变换(B) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A．0 B.1 2 C. 3 2 D．1 2．若函数 f(x)＝sin2x－1 2(x∈R)，则 f(x)是( ) A．最小正周期为π 2 的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为 2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 3．已知α∈(π 2 ，π)，sin α＝3 5 ，则 tan(α＋π 4)等于( ) A.1 7 B．7 C．－1 7 D．－7 4．函数 f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A．[－π，－5π 6 ] B．[－5π 6 ，－π 6 ] C．[－π 3 ，0] D．[－π 6 ，0] 5．化简：sin60°＋θ＋cos 120°sin θ cos θ 的结果为( ) A．1 B. 3 2 C. 3 D．tan θ 6．若 f(sin x)＝3－cos 2x，则 f(cos x)等于( ) A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x 7．若函数 f(x)＝sin(x＋π 3)＋asin(x－π 6)的一条对称轴方程为 x＝π 2 ，则 a 等于( ) A．1 B. 3 C．2 D．3 8．函数 y＝1 2sin 2x＋sin2x，x∈R 的值域是( ) A．[－1 2 ，3 2 ] B．[－ 2 2 ＋1 2 ， 2 2 ＋1 2 ] C．[－3 2 ，1 2 ] D．[－ 2 2 －1 2 ， 2 2 －1 2 ] 9．若 3sin θ＝cos θ，则 cos 2θ＋sin 2θ的值等于( ) A．－7 5 B.7 5 C．－3 5 D.3 5 10．已知 3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则 tan(α＋β)tan α的值为( ) A．±4 B．4 C．－4 D．1 11．若 cos θ 2 ＝3 5 ，sin θ 2 ＝－4 5 ，则角θ的终边所在的直线方程为( ) A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0 C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝0 12．使奇函数 f(x)＝sin(2x＋θ)＋ 3cos(2x＋θ)在[－π 4 ，0]上为减函数的θ的值为( ) A．－π 3 B．－π 6 C.5π 6 D.2π 3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．函数 f(x)＝sin2(2x－π 4)的最小正周期是______． 14．已知 sin αcos β＝1，则 sin(α－β)＝________. 15．若 0<α<π 2<β<π，且 cos β＝－1 3 ，sin(α＋β)＝1 3 ，则 cos α＝________. 16．函数 y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)已知 sin(α＋π 2)＝－ 5 5 ，α∈(0，π)． (1)求 sinα－π 2 －cos3π 2 ＋α sinπ－α＋cos3π＋α 的值； (2)求 cos(2α－3π 4 )的值． 18．(12 分)已知函数 f(x)＝2cos xsin x＋2 3cos2x－ 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值； (3)求函数 f(x)的单调增区间． 19．(12 分)已知向量 a＝(cos 3x 2 ，sin 3x 2 )，b＝(cos x 2 ，－sin x 2)，且 x∈[－π 3 ，π 4 ]． (1)求 a·b 及|a＋b|； (2)若 f(x)＝a·b－|a＋b|，求 f(x)的最大值和最小值． 20．(12 分)已知△ABC 的内角 B 满足 2cos 2B－8cos B＋5＝0，若BC→＝a，CA→＝b 且 a，b 满 足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为 a，b 的夹角． (1)求角 B； (2)求 sin(B＋θ)． 21．(12 分)已知向量 m＝(－1，cos ωx＋ 3sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且 m⊥n， 又函数 f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为3π 2 . (1)求ω的值； (2)设α是第一象限角，且 f(3 2α＋π 2)＝23 26 ，求 sinα＋π 4  cos4π＋2α 的值． 22．(12 分)已知函数 f(x)＝1 2sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－1 2sin(π 2 ＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π 6 ，1 2)． (1)求φ的值； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图 象，求函数 g(x)在[0，π 4 ]上的最大值和最小值． 第三章 三角恒等变换(B) 答案 1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.] 2．D [f(x)＝sin2x－1 2 ＝1 2(2sin2x－1)＝－1 2cos 2x， ∴T＝2π 2 ＝π，f(x)为偶函数．] 3．A [∵α∈(π 2 ，π)，sin α＝3 5 ，∴cos α＝－4 5 ， tan α＝sin α cos α ＝－3 4.∴tan(α＋π 4)＝1＋tan α 1－tan α ＝ 1－3 4 1＋3 4 ＝1 7.] 4．D [f(x)＝sin x－ 3cos x＝2sin(x－π 3)． 令 2kπ－π 2 ≤x－π 3 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 得 2kπ－π 6 ≤x≤2kπ＋5π 6 (k∈Z)， 令 k＝0 得－π 6 ≤x≤5π 6 . 由此可得[－π 6 ，0]符合题意．] 5．B [原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－1 2sin θ cos θ ＝sin 60°cos θ cos θ ＝sin 60°＝ 3 2 .] 6．C [f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x， ∴f(x)＝2x2＋2， ∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x.] 7．B [f(x)＝sin(x＋π 3)－asin(π 6 －x)＝sin(x＋π 3)－acos(π 3 ＋x)＝ 1＋a2sin(x＋π 3 －φ) ∴f(π 2)＝sin 5π 6 ＋asin π 3 ＝ 3 2 a＋1 2 ＝ 1＋a2. 解得 a＝ 3.] 8．B [y＝1 2sin 2x＋sin2x＝1 2sin 2x＋1－cos 2x 2 ＝1 2sin 2x－1 2cos 2x＋1 2 ＝ 2 2 sin(2x－π 4)＋1 2 ， ∵x∈R， ∴－1≤sin(2x－π 4)≤1， ∴y∈[－ 2 2 ＋1 2 ， 2 2 ＋1 2]． 9．B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1 3. cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ＝cos2θ＋2sin θcos θ－sin2θ cos2θ＋sin2θ ＝1＋2tan θ－tan2θ 1＋tan2θ ＝ 1＋2×1 3 －1 9 1＋1 9 ＝7 5.] 10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β ＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0， ∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4.] 11．D [cos θ 2 ＝3 5 ，sin θ 2 ＝－4 5 ，tan θ 2 ＝－4 3 ，∴tan θ＝ 2tan θ 2 1－tan2θ 2 ＝ －8 3 1－16 9 ＝24 7 . ∴角θ的终边在直线 24x－7y＝0 上．] 12．D [∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sin θ＋ 3cos θ＝0. ∴tan θ＝－ 3.∴θ＝kπ－π 3 ，(k∈Z)． ∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋π 3)＝±2sin 2x. ∵f(x)在[－π 4 ，0]上为减函数， ∴f(x)＝－2sin 2x，∴θ＝2π 3 .] 13.π 2 解析 ∵f(x)＝1 2[1－cos(4x－π 2)]＝1 2 －1 2sin 4x ∴T＝2π 4 ＝π 2. 14．1 解析 ∵sin αcos β＝1， ∴sin α＝cos β＝1，或 sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 15.4 2 9 解析 cos β＝－1 3 ，sin β＝2 2 3 ， sin(α＋β)＝1 3 ，cos(α＋β)＝－2 2 3 ， 故 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－2 2 3 )×(－1 3)＋2 2 3 ×1 3 ＝4 2 9 . 16．1 解析 令 x＋10°＝α，则 x＋40°＝α＋30°， ∴y＝sin α＋cos(α＋30°) ＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝1 2sin α＋ 3 2 cos α ＝sin(α＋60°)． ∴ymax＝1. 17．解 (1)sin(α＋π 2)＝－ 5 5 ，α∈(0，π)⇒cos α＝－ 5 5 ，α∈(0，π)⇒sin α＝2 5 5 . sinα－π 2 －cos3π 2 ＋α sinπ－α＋cos3π＋α ＝－cos α－sin α sin α－cos α ＝－1 3. (2)∵cos α＝－ 5 5 ，sin α＝2 5 5 ⇒sin 2α＝－4 5 ，cos 2α＝－3 5. cos(2α－3π 4 )＝－ 2 2 cos 2α＋ 2 2 sin 2α＝－ 2 10. 18．解 (1)原式＝sin 2x＋ 3cos 2x＝2(1 2sin 2x＋ 3 2 cos 2x)＝2(sin 2xcos π 3 ＋cos 2xsin π 3) ＝2sin(2x＋π 3)． ∴函数 f(x)的最小正周期为π. (2)当 2x＋π 3 ＝2kπ＋π 2 ，即 x＝kπ＋ π 12(k∈Z)时，f(x)有最大值为 2. 当 2x＋π 3 ＝2kπ－π 2 ，即 x＝kπ－5π 12(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2. (3)要使 f(x)递增，必须使 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 解得 kπ－5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12(k∈Z)． ∴函数 f(x)的递增区间为[kπ－5π 12 ，kπ＋ π 12](k∈Z)． 19．解 (1)a·b＝cos 3x 2 cos x 2 －sin 3x 2 sin x 2 ＝cos 2x， |a＋b|＝ cos 3x 2 ＋cos x 2 2＋sin 3x 2 －sin x 2 2＝ 2＋2cos 2x＝2|cos x|， ∵x∈[－π 3 ，π 4]，∴cos x>0， ∴|a＋b|＝2cos x. (2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝2(cos x－1 2)2－3 2. ∵x∈[－π 3 ，π 4]．∴1 2 ≤cos x≤1， ∴当 cos x＝1 2 时，f(x)取得最小值－3 2 ；当 cos x＝1 时，f(x)取得最大值－1. 20．解 (1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，即 4cos2B－8cos B＋3＝0，得 cos B＝1 2. 又 B 为△ABC 的内角，∴B＝60°. (2)∵cos θ＝ a·b |a|·|b| ＝－3 5 ，∴sin θ＝4 5.∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝4－3 3 10 . 21．解 (1)由题意，得 m·n＝0，所以 f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋ 3sin ωx)＝1＋cos 2ωx 2 ＋ 3sin 2ωx 2 ＝sin(2ωx＋π 6)＋1 2. 根据题意知，函数 f(x)的最小正周期为 3π. 又ω>0，所以ω＝1 3. (2)由(1)知 f(x)＝sin(2x 3 ＋π 6)＋1 2 ， 所以 f(3 2α＋π 2)＝sin(α＋π 2)＋1 2 ＝cos α＋1 2 ＝23 26. 解得 cos α＝ 5 13. 因为α是第一象限角，故 sin α＝12 13. 所以 sinα＋π 4  cos4π＋2α ＝sinα＋π 4  cos 2α ＝ 2 2 sin α＋ 2 2 cos α cos2α－sin2α ＝ 2 2cos α－sin α ＝－13 2 14 . 22．解 (1)因为 f(x)＝1 2sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－1 2sin(π 2 ＋φ)(0<φ<π)， 所以 f(x)＝1 2sin 2xsin φ＋1＋cos 2x 2 cos φ－1 2cos φ ＝1 2sin 2xsin φ＋1 2cos 2xcos φ ＝1 2(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ) ＝1 2cos(2x－φ)． 又函数图象过点(π 6 ，1 2)， 所以1 2 ＝1 2cos(2×π 6 －φ)， 即 cos(π 3 －φ)＝1， 又 0<φ<π，所以φ＝π 3. (2)由(1)知 f(x)＝1 2cos(2x－π 3)，将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2 ，纵坐标 不变，得到函数 y＝g(x)的图象，可知 g(x)＝f(2x)＝1 2cos(4x－π 3)， 因为 x∈[0，π 4]，所以 4x∈[0，π]， 因此 4x－π 3 ∈[－π 3 ，2π 3 ]， 故－1 2 ≤cos(4x－π 3)≤1. 所以 y＝g(x)在[0，π 4]上的最大值和最小值分别为1 2 和－1 4.