全国高考新课标1卷文科数学试题word文档完整版小题也有详解
2014年全国高考新课标1卷文科数学试题
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|-1
0，则( )
A．sinα>0 B．cosα>0 C．sin2α>0 D．cos2α>0
3．设，则|z|=( )
A． B． C． D．2
4．已知双曲线的离心率为2，则a=( )
A．2 B． C． D．1
5．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
6． 设D,E,F分别为ΔABC的三边BC,CA,AB的中点，则( )
A． B． C． D．
7．在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③，④中，
最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的
一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
9．执行下面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=( )
A． B． C． D．
10．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0=( )
A．1 B．2 C．4 D．8
11．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a= ( )
A． -5 B．3 C．-5或3 D．5或-3
12．已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A．(2,+∞) B．(1,+∞) C．(-∞, -2) D．(-∞, -1)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，
则2本数学书相邻的概率为________.
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
15．设函数，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是______.
16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山
顶C为测量观测点. 从A点测得M点的仰角：
∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及
∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°. 已知
山高BC=100m，则山高MN=______m.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。
17．（本小题满分12分）
已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根。
(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求数列的前n项和.
18．（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(Ⅰ)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅲ)根据以上抽样调查数据，能否认为该
企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于
95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
19．(本题满分12分)
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，
B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(Ⅰ)证明：B1C⊥AB;
(Ⅱ)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，
求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
20．（本小题满分12分）
已知点P(2,2)，圆C: x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(Ⅰ)求M的轨迹方程； (Ⅱ)当|OP|=|OM|时，求l的方程及ΔPOM的面积.
21．（本小题满分12分）
设函数f(x)= alnx+-bx(a≠1)，曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0
(Ⅰ)求b; (Ⅱ)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a 的取值范围。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C：，直线l：（t为参数）
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
2014年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案
一、选择题 BCBDC AABDA BC
二、填空题 13． 14．A 15．(-∞,8] 16．150
三、解答题
17．解：(Ⅰ) 解x2-5x+6=0得的两个根为2，3，依题a2=2，a4=3，…2分
所以2d=1，故，从而， …4分
所以通项公式为an=a2+(n-2)d …6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，设的前n项和为Sn，则
，① ，② …8分
①-②得
所以， …12分
18．解：(Ⅰ)…4分
(Ⅱ)质量指标值的样本平均数为
=80×0.06+90×0.26+100×0.38
+110×0.22+120×0.08=100.
所以平均数估计值为100，…6分
质量指标值的样本方差为
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38
+(10)2×0.22+(20)2×0.08=104.
方差的估计值为104. …8分
(Ⅲ)依题0.38+0.22+0.08=0.68 < 80％，
所以该企业生产的这种产品不符合“质量指
标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。 …12分
19．(Ⅰ)证明：连接 BC1，则O为B1C与BC1的交点，
∵AO⊥平面BB1C1C. ∴AO⊥B1C， …2分
因为侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，…4分
∴BC1⊥平面ABC1，∵ABÌ平面ABC1，
故B1C⊥AB. …6分
(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，
又BCÌ平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOD，交线为AD，
作OH⊥AD，垂足为H，∴OH⊥平面ABC. …9分
∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1为等边三角形，又BC=1，可得OD=，
由于AC⊥AB1，∴，∴，
由 OH·AD=OD·OA，可得OH=，又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC 的距离为，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分
另解(等体积法)：∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1为等边三角形，又BC=1，
可得BO=，由于AC⊥AB1，∴，∴AB=1，AC=，…9分
则等腰三角形ABC的面积为，设点B1到平面ABC的距离为d，由VB1-ABC=VA-BB1C得，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分
20．解：(Ⅰ)圆C可化为x2+(y -4)2=16，所以圆心为C(0,4)，半径为4. …2分
设M(x,y)，则，，由题知，…4分
故x(2-x)+(y -4)(2-y)=0，整理得(x-1)2+(y-3)2=2，
由于点P在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2 …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心，
为半径的圆。由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的
垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM。 …8分
因为ON 的斜率为3，所以l的斜率为，直线l的方程为：，
即， …10分 又|OP|=|OM|，O到l的距离为，
，所以ΔPOM的面积为. …12分
另解：因为|OP|=|OM|，所以点P,M也在圆x2+y2=8上，
点P,M也在圆(x-1)2+(y-3)2=2，…8分 两式相减可得公共弦方程2x+6y-16=0，
即，就是线l的方程。 …10分
21．解：(Ⅰ) (x>0)，依题f '(1)=0，解得b=1， …3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= alnx+-x，，
因为a≠1，所以f '(x )=0有两根：x=1或。 …4分
(1)若，则，在(1,+∞)上，f '(x)>0，f (x)单调递增.
所以存在x0≥1，使得f(x0)<，的充要条件为，即，
解得。 …6分
(2)若，则，在 (1, )上，f '(x) <0 , f (x)单调递减，
在()时，f '(x)>0，f (x)单调递增.
所以存在x0≥1，使得f(x0)<，的充要条件为，
而，所以不合题意. …9分
(3) 若a>1，则。存在x0≥1，符合条件。…11分
综上，a的取值范围为：。 …12分
22．解：(Ⅰ) 曲线C的参数方程为（θ为参数）
直线l的普通方程为2x+y-6=0 …5分
(Ⅱ)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为，
则，其中α为锐角，且，
当sin (θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为，
当sin (θ+α)=-1时，|PA|取得最小值，最小值为. …10分
2014年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|-10，则( )C
A．sinα>0 B．cosα>0 C．sin2α>0 D．cos2α>0
3．设，则|z|=( )B
A． B． C． D．2
4．已知双曲线的离心率为2，则a=( )D
A．2 B． C． D．1
5．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )C
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
6．设D,E,F分别为ΔABC的三边BC,CA,AB的中点，则( )A
A． B． C． D．
7．在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③，④中，
最小正周期为π的所有函数为( )A
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的
一个几何体的三视图，则这个几何体是( )B
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
9．执行下面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=( )D
A． B． C． D．
10．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=，则x0=( )A
A．1 B．2 C．4 D．8
11．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a= ( )B
A． -5 B．3 C．-5或3 D．5或-3
12．已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )C
A．(2,+∞) B．(1,+∞) C．(-∞, -2) D．(-∞, -1)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，
则2本数学书相邻的概率为________.
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________. A
15．设函数，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是_____.(-∞,8]
16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山
顶C为测量观测点. 从A点测得M点的仰角：
∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及
∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°. 已知
山高BC=100m，则山高MN=______m. 150
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。
17．（本小题满分12分）
已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根。
(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求数列的前n项和.
17．解：(Ⅰ) 解x2-5x+6=0得的两个根为2，3，依题a2=2，a4=3，…2分
所以2d=1，故，从而， …4分
所以通项公式为an=a2+(n-2)d …6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，设的前n项和为Sn，则
，① ，② …8分
①-②得
所以， …12分
18．（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(Ⅰ)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅲ)根据以上抽样调查数据，能否认为该
企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于
95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
18．解：(Ⅰ)…4分
(Ⅱ)质量指标值的样本平均数为
=80×0.06+90×0.26+100×0.38
+110×0.22+120×0.08=100.
所以平均数估计值为100，…6分
质量指标值的样本方差为
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38
+(10)2×0.22+(20)2×0.08=104.
方差的估计值为104. …8分
(Ⅲ)依题0.38+0.22+0.08=0.68 < 80％，所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。 …12分
19．(本题满分12分)
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，
B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(Ⅰ)证明：B1C⊥AB;
(Ⅱ)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，
求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
19．(Ⅰ)证明：连接 BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵AO⊥平面BB1C1C. ∴AO⊥B1C，…2分 因为侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C， …4分
∴BC1⊥平面ABC1，∵ABÌ平面ABC1，故B1C⊥AB. …6分
(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，
又BCÌ平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOD，交线为AD，
作OH⊥AD，垂足为H，∴OH⊥平面ABC. …9分
∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1为等边三角形，又BC=1，可得OD=，
由于AC⊥AB1，∴，∴，
由 OH·AD=OD·OA，可得OH=，又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC 的距离为，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分
另解(等体积法)：∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1为等边三角形，又BC=1，
可得BO=，由于AC⊥AB1，∴，∴AB=1，AC=，…9分
则等腰三角形ABC的面积为，设点B1到平面ABC的距离为d，由VB1-ABC=VA-BB1C得，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分
20．（本小题满分12分）
已知点P(2,2)，圆C: x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(Ⅰ)求M的轨迹方程； (Ⅱ)当|OP|=|OM|时，求l的方程及ΔPOM的面积.
20．解：(Ⅰ)圆C可化为x2+(y -4)2=16，所以圆心为C(0,4)，半径为4. …2分
设M(x,y)，则，，由题知，…4分
故x(2-x)+(y -4)(2-y)=0，整理得(x-1)2+(y-3)2=2，
由于点P在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2 …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心，
为半径的圆。由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的
垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM。 …8分
因为ON 的斜率为3，所以l的斜率为，直线l的方程为：，
即， …10分 又|OP|=|OM|，O到l的距离为，
，所以ΔPOM的面积为. …12分
另解：因为|OP|=|OM|，所以点P,M也在圆x2+y2=8上，
点P,M也在圆(x-1)2+(y-3)2=2，…8分 两式相减可得公共弦方程2x+6y-16=0，
即，就是线l的方程。 …10分
21．（本小题满分12分）
设函数f(x)= alnx+-bx(a≠1)，曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0
(Ⅰ)求b; (Ⅱ)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a 的取值范围。
21．解：(Ⅰ) (x>0)，依题f '(1)=0，解得b=1， …3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= alnx+-x，，
因为a≠1，所以f '(x )=0有两根：x=1或。 …4分
(1)若，则，在(1,+∞)上，f '(x)>0，f (x)单调递增.
所以存在x0≥1，使得f(x0)<，的充要条件为，即，
解得。 …6分
(2)若，则，在 (1, )上，f '(x) <0 , f (x)单调递减，
在()时，f '(x)>0，f (x)单调递增.
所以存在x0≥1，使得f(x0)<，的充要条件为，
而，所以不合题意. …9分
(3) 若a>1，则。存在x0≥1，符合条件。…11分
综上，a的取值范围为：。 …12分
22．（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.
(Ⅰ)证明：∠D=∠E；
(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
且MB=MC，证明：ΔADE为等边三角形.
22．证明：(Ⅰ)证明：依题A,B,C,D四点共圆，
所以∠D=∠CBE，又CB=CE，∠CBE=∠E，
所以∠D=∠E. …5分
(Ⅱ)设BC的中点为N，连结MN，则由MB=MC，
知MN⊥BC，故O在直线MN上，又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故O M⊥AD，即MN⊥AD。所以AD∥BC，故∠A=∠CBE，又∠CBE=∠E，故∠A=∠E，由(Ⅰ)知，∠D=∠E，所以ΔADE为等边三角形。…10分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C：，直线l：（t为参数）
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
23．解：(Ⅰ) 曲线C的参数方程为（θ为参数） …3分
直线l的普通方程为2x+y-6=0 …5分
(Ⅱ)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为，
则，其中α为锐角，且，…8分
当sin (θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为，
当sin (θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为. …10分
24．（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若a>0,b>0，且
(Ⅰ)求a3+b3的最小值；
(Ⅱ)是否存在a,b，使得2a+3b=6? 并说明理由.
24．解：(Ⅰ)由，得ab≥2，且当时等号成立 …3分
所以a3+b3，且当时等号成立
所以a3+b3的最小值为. …5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，， …8分
而，从而不存在a,b，使得2a+3b=6. …10分
小题详解
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|-10，则( ) C
A．sinα>0 B．cosα>0 C．sin2α>0 D．cos2α>0
解：tanα>0，α在一或三象限，所以sinα与cosα同号，故选C
3．设，则|z|=( ) B
A． B． C． D．2
解：，故选B
4．已知双曲线的离心率为2，则a=( ) D
A．2 B． C． D．1
解：，解得a=1，故选D
5．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) C
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
A． f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解：设F(x)=f(x)|g(x)|，依题可得F(-x)=-F(x)，∴ F(x)为奇函数，故选C
6．设D,E,F分别为ΔABC的三边BC,CA,AB的中点，则( )
A． B． C． D．
解：=,故选A
7．在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③，④中，
最小正周期为π的所有函数为( ) A
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
解：由是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x，最小正周期为π；②y=|cosx|
的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A
8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的
一个几何体的三视图，则这个几何体是( )B
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
解：几何体是一个横放着的三棱柱. 故选B
9．执行下面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=( )D
A． B． C． D．
解：运行程序M,a,b,n依次为;;；输出.故选D.
10．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=，则x0=( )A
A．1 B．2 C．4 D．8
解：根据抛物线的定义可知|AF|=，解之得x0=1. 故选A
11．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a= ( )B
A．-5 B．3 C．-5或3 D．5或-3
解：联立x+y=a与x-y=-1解得交点M，z取得最值，解之得a=-5或a=3. 但a=-5时，z取得最大值，舍去，所以a=3，故选B.
12．已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )C
A．(2,+∞) B．(1,+∞) C．(-∞, -2) D．(-∞, -1)
解：依题a≠0，f '(x)=3ax2-6x，令f '(x)=0，解得x=0或x=，
当a>0时，在(-∞, 0)与(,+∞)上，f '(x)>0，f(x)是增函数。在(0,) 上，f '(x)<0，f(x)是减函数。且f(0)=1>0，f(x)有小于零的零点，不符合题意。
当a<0时，在(-∞,)与(0,+∞)上，f '(x)<0，f(x)是减函数。在(,0)上，f '(x)>0，f(x)是增函数。要使f(x)有唯一的零点x0，且x0>0，只要，即
a2>4，所以a<-2．故选C
另解：依题a≠0，f(x)存在唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于a=-t3+3t有唯一的正零根，即y=a与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记g(t)=-t3+3t，g '(t)=-3t2+3，由g '(t)=0，解得t=±1，在(-∞,-1)与(1,+∞)上，g '(t)<0，g(t)是减函数。在(-1,1)上，g '(t)>0，g(t)是增函数。要使a=-t3+3t有唯一的正零根，只要a
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