抛物线焦点弦的一组性质与高考题

抛物线焦点弦的一组性质与高考题

抛物线焦点弦的一组性质与高考题 过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段叫抛物线的焦点弦.与此相关的问题在普通高中教科书（实验修订本·必修）第二册（上）（以下简称教科书）中较为频繁，高考中也经常考查，经归纳总结得：‎ 性质X Y 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、 B（x2，y2）两点，O为坐标原点，过点A作直线AA1垂直于准线L于点A1，过点B作直线BB1垂直于准线L于点B1，则 1. x1·x2=；‎ 2. y1·y2= - p2；（教科书P119习题8.5第7题）‎ 3. kOA·kOB= - 4；‎ 4. 焦点弦：|AB|=x1+x2+p；（教科书P118例3）‎ 5. 最短焦点弦：特别地，当AB垂直于x轴时，|AB|=2p，‎ 即为通径；（教科书P121）‎ 6. ‎；‎ 7. 以弦AB为直径的圆与准线L相切于线段A1B1的中点M，即∠AMB=90°；‎ 8. 以线段A1B1为直径的圆与直线AB相切于焦点F，即 ∠A1FB1=90°； （教科书P133复习参考题八（B组）第2题）‎ 9. 设直线OA交准线L于点C，则BC∥x轴；（教科书P123习题8.6第6题）‎ 10. 设直线AB的倾斜角为α，则SΔAOB = ；‎ 11. 当AB垂直于x轴时，过抛物线上任一点P作PQ垂直于x轴于点Q，则 |PQ|2=|OQ|·|AB|； （教科书P133复习参考题八（A组）第15题）‎ 与上述性质类似或相关的高考题 1. ‎（1995年全国高考试题）直线L过抛物线y2=a（x+1）（a＞0）的焦点，并且与x轴垂直，若L被抛物线截得的线段长为4，则a=——————；‎ 略解：由性质4知 a=4.‎ 2. ‎（2000年全国高考试题）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）‎ A．2a B. C. 4a D. ‎ 略解：由性质5知，选（C）.‎ 3. ‎（2001年全国高考试题）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴. 证明直线AC经过原点O.‎ 注:本题是性质8的逆命题.‎ 解题思路：本题的解法很多，采用坐标方法进行代数推理，可以证明直线OA与直线OC的斜率相等，证明|AO|+|OC|=|AC|，证明直线OC与直线BF的交点A在抛物线上，证明直线AC的方程形如y=φ（p）x，等等.每种证明又有不同的表述形式，甚至可以用极坐标法或参数方程法,采用平面几何方法进行推理,主要是运用抛物线的几何性质,可以有同一法、对顶角法、面积法等等.选用什么样的解题途径,体现出考生的知识基础、思维水平和表现技巧.‎ 证法1 如上图所示, 因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为 x=my+，代入抛物线方程得 y2-2pmy-p2=0，‎ 若记A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2=-p2 . ‎ ‎ 因为BC∥x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为（-，y2 ），‎ 故直线CO的斜率为 .‎ 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.‎ 证法2 设A（x1，y1），B（x2，y2）,因为BC∥x轴，所以C（-，y2 ）.‎ 因为A、B在抛物线上，所以 y12=2px1 ,y22=2px2 .‎ 又因为直线AB过焦点F，所以 kAF=kBF , ‎ 即 , 所以 ‎ 即 y1y2（y2-y1）=p2（y1-y2） .因为y1≠y2，所以 y1y2=-p2 .‎ 因为 kOC= ‎ 所以直线AC经过原点O.‎ 证法3 同证法1 得 y1y2=-p2.‎ 因为A（，y1），C（-，y2），即C（-，），‎ 所以直线AC方程为 , 化简得 y=.‎ 显然，原点O(0,0)适合此方程，所以原点O在直线AC上.‎ 1. ‎（1987年广东省高考题）直线L过抛物线y2=2px（p＞0） 的焦点，且与这抛物线相交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，‎ ① 求证：4x1x2=p2；‎ ② 求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线L不是CD的垂直平分线.. ‎ ‎① 证明：抛物线y2=2px的焦点为F （，0），‎ 若过点F的直线L⊥x轴，则直线L的方程为x=， x1=x2=，4x1x2=p2.‎ 若过点F的直线不垂直于x轴，则可设L的方程为y=k（x-），代入抛物线方程y2=2px得 x2-p（1+）x+ =0 , ‎ ‎ 由韦达定理得 x1x2= , 即4xx=p2.‎ ② 证法（一） 分两种情况讨论：‎ ‎（ⅰ）当直线L⊥x轴时，由于C和D在抛物线y2=2px上，所以直线CD与x轴既不平行也不重合，从而CD的垂直平分线不垂直于x轴，所以L不是CD的垂直平分线.‎ ‎（ⅱ）当直线L不垂直于x轴时，L的方程为y=k（x-）（k≠0）,‎ 如果L与CD不垂直，则L不是CD的垂直平分线.‎ 如果直线L⊥CD，依题意可知C（，c）、D（ ，d），且有c≠d，这时有k= , ‎ 因为k≠0，所以c+d≠0 . ‎ 又线段CD的中点坐标为（）,‎ 由于 这是因为c+d≠0, , 所以CD的中点不在直线L上，‎ 从而直线L不是CD的垂直平分线.‎ 证法（二） 反证法 设C、D的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），则有y3≠y4，若L是CD的垂直平分线，则L与CD的方程分别为 ， ‎ CD的中点为Q , y3+y4=k（x3+x4-p）,‎ 由于C（x3，y3），D（x4，y4）的坐标是方程组 y2=2px ‎ 的解，则方程y2+2pky-2pq=0的判别式大于0，即 ‎ Δ=4p2k2+8pq＞0 ——① ‎ 又由于y3+y4=-2pk ,‎ 从而x3+x4=（-ky3+q）+（-ky4+q）=2q+2pk2 ,‎ 由 y3+y4=k（x3+x4-p）得 –2pk=k（2q+2pk2-p）, q= -p（ +k2）, ‎ 所以 4p2k2+8pq=4p2k2-8p2（ +k2）=-4p2（1+k2）＜0， 与①式矛盾，‎ 所以直线L不是CD的垂直平分线.‎ ‎ ‎